賞析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下一道高考函數(shù)零點(diǎn)真題

王斌斌

(甘肅省靜寧一中)

函數(shù)的零點(diǎn)問題是函數(shù)與方程中的重要內(nèi)容,主要涉及已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍.若方程可解,則可以通過解方程求得參數(shù)的取值范圍,但有時會遇到方程難以求解甚至不可求解的情況,此時可以通過構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題.

母題(2020 年天津卷9)已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4個零點(diǎn),則k的取值范圍是( ).

解析由g(0)＝0,結(jié)合已知將問題轉(zhuǎn)化為y＝|kx－2|與有3 個不同的交點(diǎn),再分k＝0,k＜0,k＞0這三種情況討論即可得到答案.

注意到g(0)＝0,所以要使g(x)恰有4個零點(diǎn),只需方程恰有3 個實(shí)根即可.令,則y＝|kx－2|與的圖像有3個不同的交點(diǎn).

當(dāng)k＝0 時,此時y＝2,如圖1 所示,y＝2 與有1個交點(diǎn),不滿足題意.

圖1

當(dāng)k＜0 時,如圖2 所示,此時y＝|kx－2|與有3個不同交點(diǎn),滿足題意.

圖2

當(dāng)k＞0時,如圖3所示,當(dāng)y＝kx－2與y＝x2相切時,聯(lián)立方程得x2－kx＋2＝0.

圖3

令Δ＝0,得k2－8＝0,解得(負(fù)值舍去),所以

【數(shù)學(xué)建模】本題所設(shè)計(jì)的模型主要有兩個,一是函數(shù)的構(gòu)造,這里需要根據(jù)方程的形式進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化;二是考查了函數(shù)模型中的分段函數(shù)模型,分段函數(shù)作為中學(xué)的一個重要函數(shù),能夠較好地考查學(xué)生的推理論證能力.

【數(shù)學(xué)運(yùn)算】本題思維量較大,首先要討論題目中的參數(shù),再對各類情況進(jìn)行討論,要求學(xué)生能夠正確地進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算.

【邏輯推理】在此問題的求解過程中,要能夠?qū)＝0,k＞0和k＜0這三種情況進(jìn)行分析,正確地畫出函數(shù)圖像,從而準(zhǔn)確地求出參數(shù)的取值范圍.

【空間想象】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,是一道中檔題.解題的關(guān)鍵就在于能夠正確地繪制函數(shù)圖像,這里間接地考查學(xué)生的空間想象能力.

其實(shí),分析近年來的高考試題,不難發(fā)現(xiàn),以分段函數(shù)為模型,以零點(diǎn)個數(shù)為載體考查參數(shù)的取值范圍是天津卷高考試卷中的常考試題,獨(dú)具特色.

例1(2021年天津卷9)設(shè)a∈R,函數(shù)

若f(x)在區(qū)間(0,＋∞)內(nèi)恰有6個零點(diǎn),則a的取值范圍是( ).

解析因?yàn)閤2－2(a＋1)x＋a2＋5＝0最多有2個根,所以cos(2πx－2πa)＝0至少有4個根.由,可得(k∈Z).由,可得

若x≥a,則f(x)＝x2－2(a＋1)x＋a2＋5,所以

當(dāng)a＜2時,Δ＜0,f(x)無零點(diǎn).

當(dāng)a＝2時,Δ＝0,f(x)有1個零點(diǎn).

當(dāng)a＞2時,令f(a)＝a2－2a(a＋1)＋a2＋5＝－2a＋5≥0,則,此時f(x)有2個零點(diǎn),若,f(a)＜0,則f(x)有1個零點(diǎn).

本題的2020年天津卷的高考真題相類似,考點(diǎn)相同.首先由x2－2(a＋1)x＋a2＋5＝0最多有2個根,可得cos(2πx－2πa)＝0至少有4個根,分別討論當(dāng)x＜a和x≥a時兩個函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)情況.

點(diǎn)評例2函數(shù)f(x)是定義在R 上的奇函數(shù),且f(x－1)為偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時,,若函數(shù)g(x)＝f(x)－x－b有3個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是( ).

解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R 上的奇函數(shù),且f(x－1)為偶函數(shù),所以f(x－1)＝f(－x－1)＝－f(x＋1),則f(x－1)＝f(x＋3),所以f(x)的對稱軸為x＝－1且周期為4,函數(shù)f(x)的圖像如圖4所示.

圖4

g(x)＝f(x)－x－b有3個零點(diǎn),即函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝x＋b有3個交點(diǎn).當(dāng)x∈[0,1]且直線y＝x＋b與函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,1)處相切時,有2個相等的實(shí)數(shù)根,即x2＋(2b－1)x－b2＝0有2個相等的實(shí)數(shù)根.

由Δ＝0,求得.由數(shù)形結(jié)合可得g(x)＝f(x)－x－b有3個零點(diǎn)時,實(shí)數(shù)b滿足,故求得b的取值范圍為

再根據(jù)函數(shù)f(x)的周期為4,可求得b的取值范圍為(k∈Z),故選C.

(完)