函數(shù)圖像及性質(zhì)在解題中的應用

董夢茹

(山東省鄒平市第一中學)

函數(shù)圖像及性質(zhì)是高考中的重要考點.部分習題較為抽象,解題需要運用一定的技巧.為提高學生的解題能力,教師應結(jié)合近年來高考?？碱}型,為學生講解函數(shù)圖像及性質(zhì)在解題中的具體應用,進一步深化學生對函數(shù)圖像及性質(zhì)的理解,促使其積累不同題型的解題經(jīng)驗與技巧,促進其解題能力的提升.

1 比較數(shù)值大小

解答該類習題主要運用函數(shù)的單調(diào)性,部分問題還會涉及函數(shù)的奇偶性、對稱性等,當題目中給出的函數(shù)為抽象函數(shù)時往往還需要學生結(jié)合題干已知條件構(gòu)造新的函數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性.

例1已知f(x)是定義在(0,＋∞)上的減函數(shù),其導函數(shù)為f′(x).若,則下列不等式成立的是( ).

解析該題涉及的函數(shù)為抽象函數(shù),具有一定的難度.解題時應認真觀察,冷靜分析.因題干中涉及導函數(shù),因此可考慮構(gòu)造函數(shù).

2 確定零點個數(shù)

函數(shù)零點問題是近年來高考的熱點,主要考查學生運用數(shù)形結(jié)合思想求解問題的能力.解答該類問題首先應明確零點表示的含義,能夠根據(jù)已知條件對零點問題進行合理轉(zhuǎn)化,化陌生為熟悉,如將復雜函數(shù)進行拆分,將零點問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖像交點問題.同時,在繪制函數(shù)圖像時應注重把握兩個細節(jié):其一,明確不同定義域內(nèi)函數(shù)的表達式;其二,能夠結(jié)合題干條件繪制準確的函數(shù)圖像.

例2已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且滿足f(1＋x)＝f(x－1),當x∈[－1,1]時,f(x)＝1－則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－5,5]內(nèi)的零點個數(shù)為( ).

解析題目僅給出了f(x)在[－1,1]上的表達式,需要研究其周期.分段函數(shù)給出的函數(shù)較為常見,不難畫出其圖像,因此,解題時可在同一直角坐標系中畫出f(x)和g(x)的函數(shù)圖像,再觀察其在[－5,5]內(nèi)的交點個數(shù)即可.

因為f(1＋x)＝f(x－1),所以將x換為x＋1,可得f(x＋2)＝f(x),所以f(x)的周期為2.畫出兩個函數(shù)的圖像,如圖1所示.

圖1

由函數(shù)圖像可以清晰地看到兩個函數(shù)圖像在[－5,5]內(nèi)的交點個數(shù)為8,因此,函數(shù)h(x)的零點個數(shù)為8,故選B.

3 解不等式

不等式是高考的必考知識點.問題類型多樣且靈活多變,難度也存在較大差別,解題時應注重聯(lián)系函數(shù)性質(zhì),充分挖掘題干隱含條件,對要求解的問題進行合理轉(zhuǎn)化.同時,運用函數(shù)的單調(diào)性、對稱性等性質(zhì),化復雜為簡單.

例3已知f(x)＝ex－1－e1－x＋(x－1)3＋x是定義在R 上的函數(shù),則不等式f(x－4)＋f(2－3x)≥2的解集為( ).

A.(－∞,－2] B.(－∞,2]

C.[－2,2] D.[2,＋∞)

解析根據(jù)經(jīng)驗需要借助函數(shù)的奇偶性、對稱性以及單調(diào)性,將比較函數(shù)值的大小問題轉(zhuǎn)化為比較函數(shù)自變量的大小問題.

令t＝x－1,則f(t)＝et－e－t＋t3＋t＋1,令g(t)＝et－e－t＋t3＋t,顯然其為單調(diào)遞增的奇函數(shù),則f(x)關(guān)于點(1,1)對稱,滿足f(2－x)＋f(x)＝2,又因為f(x－4)＋f(2－3x)≥2,所以f(x－4)≥2－f(2－3x)＝f(3x),即x－4≥3x,解得x≤－2,故選A.

4 求解函數(shù)值

該類問題要求學生求解較大自變量的函數(shù)值或求多個函數(shù)值之和,解答該類題一般不要直接將自變量的值代入,應充分運用已知條件找到函數(shù)的周期,借助函數(shù)的周期性進行解答.

例4已知f(x)是定義在R 上的奇函數(shù),且滿足f(x)＝f(2－x),當x∈[0,1]時,f(x)＝4x－1,則的值為( ).

解析題目僅給出了當x∈[0,1]時函數(shù)f(x)的解析式,而并不在該定義域中,因此,需要根據(jù)已知條件“f(x)＝f(2－x)”推導出函數(shù)的周期性.

因為f(x)＝f(2－x),所以將x換成x＋2可得f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x).再將x換成x＋2可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x),則f(x)的周期為4,所以,又x∈[0,1]時,f(x)＝4x－1,則,故選C.

5 求解參數(shù)的范圍

求解參數(shù)的范圍是高中數(shù)學的熱門考點,問題情境復雜多變.該類問題常常要轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題.需要注意的是該類問題中的恒成立與存在性問題之間的區(qū)別與聯(lián)系,避免將兩個問題混淆,確定求解問題是求最大值還是最小值.

例5若關(guān)于x的不等式在[2,4]上有解,則實數(shù)m的取值范圍是( ).

解析需要注意的是該題屬于存在性問題,分離變量后應注重求解對應函數(shù)的最大值而非最小值.運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時,若求導后無法判斷導函數(shù)與零的關(guān)系,需再次構(gòu)造函數(shù),直到能夠判斷出函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性為止.

6 小結(jié)

高中數(shù)學函數(shù)圖像以及性質(zhì)內(nèi)容較多,教師既要鼓勵學生積極動手畫出常見的函數(shù)圖像,進一步加深其印象,又要鼓勵學生推導、總結(jié)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對稱性的數(shù)學表達式,真正吃透函數(shù)性質(zhì),進而在解題中能夠從已知條件中迅速地判斷出函數(shù)的性質(zhì).另外,針對較為復雜的函數(shù),應注重提高導數(shù)應用意識,借助導數(shù)判斷其單調(diào)性,力求高效、順利地求解相關(guān)問題.

(完)