多角度探究極值點偏移問題
——基于2022年全國甲卷理科第21題分析

孫 璪

(貴州省遵義四中)

極值點偏移問題因為其綜合性強、難度大,經常作為壓軸題出現在高考試卷中.面對復雜多變的極值點偏移問題,應總結處理該問題的通性通法.本文以2022年全國甲卷理科第21題為例,總結解決極值點偏移問題的方法.處理極值點偏移問題一般有四種解法:構造輔助函數法、對稱化構造函數、對數均值不等式、雙變量齊次化構造.四種方法各有優劣,其中構造輔助函數和對稱化構造函數是解決極值點偏移問題的通法,是從“形”的角度解決問題.對數均值不等式是優法,通過進一步優化構造函數的方法把極值點偏移問題轉化為對數平均的問題,是從“數”的角度解決問題.雙變量齊次化構造是妙法,通過引入參數t減元,將其轉化為單變量不等式問題,最后結合分析法證明不等式.

例1已知函數.證明:若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2＜1.

分析lnx－a,令x－lnx＝t,則g(t)＝et＋t－a(t≥1),故f(x)是以t(x)＝x－lnx(x＞0)為內層函數,g(t)＝et＋t－a(t≥1)為外層函數的復合函數.又t(x)＝x－lnx在(0,1)上單調遞減,在(1,＋∞)上單調遞增,g(t)＝et＋t－a在(0,＋∞)上單調遞增,故f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,＋∞)上單調遞增,且fmin(x)＝f(1)＝e＋1－a,則當f(1)＜0,即e＋1＜a時,存在x1,x2,使得f(x1)＝f(x2)＝0.

1 構造函數——輔助函數

對于例1可以通過構造輔助函數h(x)＝f(x)－直接證明,詳細證明如下.

點評構造輔助函數的核心是把要證問題中的多元變量不等式x1x2＜1轉化為證明單元變量不等式),即判斷h(x)＝f(x)－與0的大小關系.該方法通過構造函數巧妙地把多變量問題轉為化為單變量問題,但是在探究輔助函數)與0的大小關系時,由于原函數f(x)的解析式比較復雜,導致輔助函數h(x)解析式更為復雜,從而成為學生的一個難點.因此在后面的方法中進一步轉化問題,簡化函數.

轉化問題此題可轉化為內層函數t(x)＝xlnx的極值點偏移問題,由題目分析可知:若a＞e＋1,外層函數g(t)＝et＋t－a在(1,＋∞)上單調遞增,則存在唯一的實數t0∈(1,＋∞)使得g(t0)＝0;又因為內層函數t(x)＝x－lnx在(0,1)上單調遞減,在(1,＋∞)上單調遞增,則例1可轉化為例2.

2 數形結合——對稱化構造函數

2.1 極值點偏移的本質

從形的角度看,如果一個函數關于x＝a(其中a為函數的極值點)對稱,則該函數不會發生極值點偏移.而一旦出現如圖1、圖2所示的情況,則會發生極值點偏移,其中圖1(快減慢增)極值點左偏,即a＜,圖2(慢減快增)極值點右偏,即

如圖1所示,函數f(x)在x＝a左側切線斜率變化速率比右側變化速率快,極值點向左偏移,圖像“左快右慢,單峰不對稱”,對于任意x＞0,f(a－x)＞f(a＋x),若f(x1)＝f(x2),且x1＜a＜x2,令ax＝x1,則a＋x＝2a－x1(2a－x1＞a),則f(x1)＝f(x2)＞f(2a－x1),由f(x)在(a,＋∞)上單調遞增可知x2＞2a－x1,即x1＋x2＞2a.

圖1

如圖2所示,函數f(x)在x＝a左側切線斜率變化速率比右側變化速率慢,極值點向右偏移,圖像“左慢右快,單峰不對稱”,對于任意x＞0,f(a－x)＜f(a＋x),若f(x1)＝f(x2),且x1＜a＜x2,令a＋x＝x2,則a－x＝2a－x2(2a－x2＜a),則f(2a－x2)＜f(x1)＝f(x2),由f(x)在(－∞,a)上單調遞減可知x1＜2a－x2,即x1＋x2＜2a.

圖2

若f(x)＝c的兩個解分別是x1,x2,且x1＜a＜x2,要證明x1＋x2＞2a或x1＋x2＜2a,實質上是證明極值點左偏或右偏的問題.證明此類問題的本質就是對稱化構造函數將自變量轉移到極值點的同側,再利用單調性比較大小.

2.2 對稱化構造函數解題

例2對于函數t(x)＝x－lnx,若存在0＜x1＜1＜x2,使得t(x1)＝t(x2)＝t0,證明:x1x2＜1.

證明由于0＜x1＜1＜x2,要證x1x2＜1,即證lnx1x2＜ln1＝0,即lnx1＋lnx2＜0,令lnx＝z(z∈R),則x＝ez,函數t(x)＝x－lnx轉化為新函數m(z)＝ez－z(z∈R),函數m(z)在(－∞,0)上單調遞減,在(0,＋∞)上單調遞增,則問題轉化為存在z1＝lnx1＜ln1＜lnx2＝z2,即z1＜0＜z2,使得m(z1)＝m(z2),故只需證明z1＋z2＜0.函數m(z)的圖像如圖3所示.

圖3

構造對稱函數h(x)＝m(x)－m(－x)(x＞0),下面比較h(x)與h(0)＝0的大小.由于

即h′(x)＝ex－1＋e－x－1＝ex＋e－x－2＞0,h(x)在(0,＋∞)上單調遞增,則h(x)＞h(0)＝0.當x＞0時,m(x)－m(－x)＞0,即m(x)＞m(－x).令x＝z2,則m(z2)＞m(－z2),又m(z1)＝m(z2),即m(z1)＞m(－z2).又m(z)在(－∞,0)上單調遞減,故z1＜－z2,即z1＋z2＜0.因此,x1x2＜1成立.

2.3 對稱化構造函數解決極值點偏移問題的推廣

圖4

圖5

3 代數變形——對數均值不等式

從上面的分析可知,證明x1＋x2＜a(＞a),都是雙變元的不等式問題,從不等式的結構可以看出涉及算數平均、幾何平均、調和平均、平方平均等,因此極值點偏移的問題可考慮對數均值不等式.

3.1 對數均值不等式

兩個正數a和b的對數平均數的定義如下:

證明當a＝b時,等號顯然成立.

3.2 利用對數均值不等式解題

在處理原函數中含有ex或lnx的極值點偏移問題時,可通過取自然對數等適當變形,將原問題轉化為對數均值不等式模型,將不同的問題化歸為同一類型,這樣可以簡化解題過程,利用對數均值不等式證明例2的具體解法如下.

對稱化構造函數與對數均值不等式解決極值點偏移問題實質上都是把兩個變元的不等式轉化為一元問題求解,本質上都是構造函數.對稱化構造函數是利用對稱性構造函數,對數均值不等式解法是利用捆綁構造函數(證明對數均值不等式的方法).但是如果不能找到題目中的極值點,對稱化構造函數就失效了,此時可利用對數均值不等式來解決.

4 轉化化歸——雙變量齊次化構造

對于極值點偏移問題,可以考慮依據已知條件f(x1)＝f(x2)列方程組,通過兩式作差或作商消去參數,將問題轉化為只含x1,x2的式子,再利用比值換元)或差值換元(即t＝x1－x2)化歸為關于t的函數解題.

以下利用比值換元法和差值換元法證明例2.

4.1 比值換元法

4.2 差值換元法

上面兩種解法都是巧引參數t,通過對含有x1,x2的方程組變形分別得到x1,x2關于參數t的等量關系式,最后從結論入手,結合分析法進行證明.這種利用比值換元和差值換元(x1－x2＝t)將x1,x2統一為只含變量t的關系式的方法是一種常見的減元方法,通過換元將雙變量問題轉化為單變量問題.該解法沒有分析原函數的圖像性質,而是另辟蹊徑構造關于參數t的函數,進而將要證問題轉化為關于t的函數進行證明.只要找到x1,x2關于參數t的等量關系,不僅可以證明對稱結構x1x2＜a(＞a),x1＋,對于不對稱的結構ax1＋bx2＞c(＜c),alnx1＋blnx2＞c(＜c),也可進行證明.但是此方法也存在一定的局限性,即有些題目無法順利找到x1,x2關于參數t的等量關系.

(完)