例析曲線的公切線及其應(yīng)用

張 平

(廣東省珠海市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

相切體現(xiàn)了曲線間的一種特殊位置關(guān)系.兩條曲線相切,既可以通過代數(shù)知識進(jìn)行描述,也可以通過幾何圖形進(jìn)行刻畫;既可以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),也可考查學(xué)生的直觀想象、數(shù)形結(jié)合思想等.在近年高考試題中,涉及兩條曲線的公切線問題的題目屢見不鮮.本文結(jié)合相關(guān)高考試題對此類問題進(jìn)行分類剖析,力求揭示此類試題的考查形式,探索它們的題型特點(diǎn),歸納其求解策略,以期幫助讀者啟迪思維,提升解決此類問題的能力.

1 公切線的基礎(chǔ)知識

1.1 公切線的定義

若直線l與曲線y＝f(x),y＝g(x)均相切,則稱直線l是曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)的公切線.

1.2 公切線的基本性質(zhì)

若直線l與曲線y＝f(x),y＝g(x)分別相切于點(diǎn)P(x0,f(x0)),Q(x1,g(x1)),則有如下性質(zhì).

性質(zhì)1若點(diǎn)P與Q重合,即

性質(zhì)2若點(diǎn)P與Q不重合,則

2 以公切線為背景的客觀題型

2.1 求參數(shù)的值

例1若一直線與曲線y＝elnx和曲線y＝mx2相切于同一點(diǎn)P,則實(shí)數(shù)m＝_________.

2.2 求公切線方程

例2(2020年全國Ⅲ卷理10)若直線l與曲線和 圓都相切,則l的方程為( ).

點(diǎn)評從例1和例2可以看出,此類問題的核心是切線的切點(diǎn),解題的基本思路:設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),借助函數(shù)知識求得切線的斜率,表示出切線方程,利用公切線方程的同一性得到切點(diǎn)的橫坐標(biāo)間的方程或方程組,通過解方程或方程組得到答案.例1主要利用性質(zhì)1,屬于簡單題;例2在利用性質(zhì)2 的同時,還考查了直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法、圓上在某點(diǎn)處切線方程的結(jié)論,在解法上提供了更多的選擇性,方法更加多元,與2022年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第14題有異曲同工之處.

2.3 求參數(shù)范圍

例3若曲線y＝x2與y＝alnx(a≠0)存在公切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ).

解析方法1設(shè)公切線與曲線y＝x2相切于點(diǎn),則該切線方程為設(shè)公切線與y＝alnx(a≠0)相切于點(diǎn)Q(x1,alnx1),則該切線方程為,從而

例4已知直線l是曲線C1:y＝x2與曲線C2:y＝lnx(0＜x＜1)的一條公切線,若直線l與曲線C1相切于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為( ).

點(diǎn)評求參數(shù)范圍類問題的解題思路:借助兩曲線的公切線方程得到與目標(biāo)參數(shù)相關(guān)的方程,將原問題轉(zhuǎn)化為方程在特定區(qū)間上有解的問題.一類是通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求解相應(yīng)函數(shù)的極值、最值或值域問題,如例3;另一類是利用函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理等知識,轉(zhuǎn)化為估算方程的根所在的區(qū)間問題,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

3 利用公切線解綜合題

3.1 利用公切線解零點(diǎn)個數(shù)問題

例5(2017年全國Ⅰ卷理21,節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.若f(x)有兩個零點(diǎn),求a的取值范圍.

解析設(shè)t＝ex＞0,則x＝lnt,由f(x)＝0 可得a(t2＋t)＝2t＋lnt,f(x)有兩個零點(diǎn)等價于曲線y＝a(t2＋t)與曲線y＝2t＋lnt在t∈(0,＋∞)上有兩個交點(diǎn).易知y＝2t＋lnt在t∈(0,＋∞)上為增函數(shù),則必有a＞0.

設(shè)曲線y＝a(t2＋t)與曲線y＝2t＋lnt相切于點(diǎn)P(t0,y0),則曲線y＝a(t2＋t)在點(diǎn)P處的切線方程為,即y＝.同理,y＝2t＋lnt在點(diǎn)P處的切線方程為),即y＝可得易知方程t0＋lnt0－1＝0只有一個根t0＝1,從而a＝1.結(jié)合圖1知曲線y＝a(t2＋t)與曲線y＝2t＋lnt在t∈(0,＋∞)上有兩個交點(diǎn)時,0＜a＜1,即若f(x)有兩個零點(diǎn),a的取值范圍為(0,1).

圖1

例6(2021 年全國Ⅱ卷文20,節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)＝a2x2＋ax－3lnx＋1,其中a＞0.若y＝f(x)的圖像與x軸沒有公共點(diǎn),求a的取值范圍.

解析由y＝f(x)的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)知a2x2＋ax－3lnx＋1＝0 在(0,＋∞)上無解,即a2x2＋ax＝3lnx－1在(0,＋∞)上無解.

設(shè)g(x)＝a2x2＋ax,h(x)＝3lnx－1,由a＞0知h(x)與g(x)均為(0,＋∞)上的增函數(shù),

則g(x)與h(x)分別為(0,＋∞)上的凸函數(shù)與凹函數(shù).設(shè)曲線h(x)與g(x)相切于點(diǎn)(x0,y0),則該切線方程為

圖2

點(diǎn)評

利用零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的范圍一直是高考壓軸題的命題熱點(diǎn)之一.解決此類問題的基本思路:通過合理構(gòu)造或分離參數(shù)得到新的目標(biāo)函數(shù),通過研究新目標(biāo)函數(shù)的圖像與性質(zhì)進(jìn)而求解問題.從例5與例6的解法看,合理利用分離函數(shù)的方法,轉(zhuǎn)化為兩條曲線相切(或公切線),通過對特殊位置的研究,再結(jié)合參數(shù)變化對圖像的影響,進(jìn)行求解,無疑是一種全新的解題思路與策略.

3.2 利用公切線解恒成立問題

例7(2020年新高考Ⅰ卷21,節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx＋lna.若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解析由f(x)≥1,得aex－1＋lna≥lnx＋1,顯然a＞0.設(shè)g(x)＝aex－1＋lna,h(x)＝lnx＋1,則h(x)與g(x)均為(0,＋∞)上的增函數(shù),h″(x)＝,則h(x)與g(x)分別為(0,＋∞)上的凹函數(shù)與凸函數(shù).設(shè)曲線h(x)與g(x)相切于點(diǎn)(x0,y0),則該切線方程為y－(lnx0＋1)＝.或該切線方程為y－(aex0－1＋lna)＝aex0－1(x－x0),即y＝aex0－1·x＋(1－x0)·aex0－1＋lna,從而且lnx0＝(1－x0)·aex0－1＋lna,則x0－lnx0),即2lnx0＋.設(shè)m(x)＝,則m(x)為(0,＋∞)上的增函數(shù)且m(1)＝0,從而x0＝1,則a＝1.結(jié)合圖3 可知 當(dāng)a≥1 時,aex－1＋lna≥lnx＋1 恒成立,即f(x)≥1恒成立,故a的取值范圍為[1,＋∞).

圖3

例8(2015年山東卷理21,節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x),其中a∈R.若?x＞0,f(x)≥0成立,求a的取值范圍.

解析由對?x＞0,f(x)≥0成立,可知?x＞0,ln(x＋1)≥－a(x2－x)成立.設(shè)g(x)＝ln(x＋1),h(x)＝－a(x2－x),易知要使?x＞0,f(x)≥0 成立,必有a≥0.又g(0)＝h(0)＝0,且g(x)在(0,0)處的切線方程為y＝x,h(x)在(0,0)處的切線方程為y＝ax.當(dāng)a＝1時,y＝x是g(x)與h(x)的公切線,且當(dāng)a＝1 時,f(x)＝ln(x＋1)＋(x2－x),從 而f′(x)＝此時f′(x)＞0在(0,＋∞)上恒成立,從而f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,則當(dāng)x＞0 時,f(x)＞f(0)＝0 恒成立.結(jié)合圖4可知,當(dāng)0≤a＜1且x＞0時,g(x)的圖像恒在h(x)的圖像上方,即當(dāng)0≤a≤1時,?x＞0,不等式ln(x＋1)≥－a(x2－x)恒成立,即f(x)≥0恒成立.從而a的取值范圍為[0,1].

圖4

點(diǎn)評解恒成立問題的基本思路是將目標(biāo)不等式通過合理變形轉(zhuǎn)化為給定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的最值問題加以解決,但此法求解過程中常常需要對參數(shù)的范圍進(jìn)行分類討論,對學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力等要求較高.例8通過對目標(biāo)不等式進(jìn)行變形得到兩個函數(shù)y＝h(x)與y＝g(x),再結(jié)合它們函數(shù)的圖像尋求y＝h(x)與y＝g(x)的公切線,從而將原問題轉(zhuǎn)化為兩個簡單的不等式問題,巧妙通過數(shù)形結(jié)合,快速求解,大大降低了運(yùn)算量.

3.3 利用公切線證明函數(shù)不等式

例9(2013 年全國Ⅱ卷理21,節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝ex－ln(x＋m).當(dāng)m≤2時,證明:f(x)＞0.

解析當(dāng)m≤2,x∈(－m,＋∞)時,ln(x＋m)≤ln(x＋2).設(shè)g(x)＝ex,h(x)＝ln(x＋2),則y＝g(x)與y＝ln(x＋2)均為定義域內(nèi)的增函數(shù).易知g(x)＝ex在點(diǎn)P(0,1)處的切線方程為y＝x＋1,y＝ln(x＋2)在 點(diǎn)Q(－1,0)處的切線方程為y＝x＋1,即直線y＝x＋1 為g(x)＝ex與h(x)＝ln(x＋2)的公切線,如圖5所示.

圖5

易證ex≥x＋1,x＋1≥ln(x＋2)且等號不能同時成立,從而當(dāng)m≤2時,ex＞ln(x＋2)≥ln(x＋m),所以當(dāng)m≤2時,f(x)＞0恒成立.

例10(2018年全國Ⅰ卷文21,節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝aex－lnx－1.證明:當(dāng)時,f(x)≥0.

解析要證當(dāng)時,aex－lnx－1≥0,即證當(dāng)時,aex≥lnx＋1.

設(shè)g(x)＝ex－1(x＞0),h(x)＝lnx＋1,則g(1)＝h(1)＝1,即函數(shù)y＝g(x)與y＝h(x)有公共點(diǎn)P(1,1),易知y＝g(x)與y＝h(x)在點(diǎn)P(1,1)處的切線方程均為y＝x,即直線y＝x為y＝g(x)與y＝h(x)的公切線.如圖6所示.易證ex－1≥x,x≥lnx＋1,則ex－1≥lnx＋1.當(dāng)時,aex≥,從而aex≥lnx＋1,所以當(dāng)時,f(x)≥0成立.

圖6

點(diǎn)評函數(shù)不等式的證明也是高考壓軸題的常客,題型可分為不含參數(shù)的不等式證明與含參數(shù)的不等式證明兩類,難點(diǎn)在于如何將目標(biāo)不等式通過等價變形轉(zhuǎn)化為比較容易研究其圖像與性質(zhì)的函數(shù),或可借助放縮法等橋梁進(jìn)行傳遞的函數(shù),對學(xué)生的分析思考能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力都有很高的要求.

可以看出合理利用兩條曲線的公切線對解決一些與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的綜合題往往會有“驚人之舉”,解題過程簡潔,運(yùn)算難度降低,展示了較高的創(chuàng)新意識.其一般解題策略歸納如下:

1)將題目所給函數(shù)合理轉(zhuǎn)化為兩個“簡單函數(shù)”間的關(guān)系,一般情況下,若所給函數(shù)含有參數(shù),通常分為含參數(shù)與不含參數(shù)兩個函數(shù);

2)研究這兩個“簡單函數(shù)”的圖像特征,尤其是在給定區(qū)間上的單調(diào)性或圖像的凹凸性;

3)找出這兩個“簡單函數(shù)”的特殊位置關(guān)系,即相切或存在公切線,并利用特殊位置確定參數(shù)的值或函數(shù)的大小關(guān)系;

4)根據(jù)參數(shù)值變化對函數(shù)圖像的影響,結(jié)合題目要求得出正確答案.

數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)科中最常見活動之一,學(xué)生要善于解題,教師更是如此.教師通過對試題的解法研究與歸類整合,讓學(xué)生從繁重的學(xué)習(xí)任務(wù)中解脫出來,成為“站在教師肩膀上的人”,這樣不但能提升學(xué)生學(xué)習(xí)的效率,同時還能培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣與探究精神,讓學(xué)生在未來的道路上能走得更穩(wěn)、更遠(yuǎn).

(完)