與指數函數、對數函數有關的最值(值域)問題

宋月英

(甘肅省蘭州市第十四中學)

本文擬通過歸類舉例的形式,具體說明如何準確求解以指數函數、對數函數為載體的最值(值域)問題,旨在幫助學生鞏固所學知識,并靈活應用所學方法求解問題,進一步提高處理此類問題的能力,進而提升數學運算與邏輯推理等核心素養.

1 求函數的最值

例1已知函數y＝4－x＋21－x－5,當－1≤x≤0時,求該函數的最小值和最大值.

求解本題的關鍵在于通過換元變形將原問題轉化為熟悉的一元二次函數在某區間上的最值問題,再借助“配方”變形即可順利獲解.

例2已知函數f(x)＝2－log3x(x∈[1,9]),且函數g(x)＝[f(x)]2＋f(x2),求函數g(x)的最小值和最大值.

注意到函數f(x)與f(x2)必須同時有意義,從而應滿足解得x∈[1,3].因此,函數g(x)的定義域為[1,3].

因為g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2－log3x)2＋2－log3x2＝(log3x)2－6log3x＋6,所以令t＝log3x,則由x∈[1,3],可得t∈[0,1],且

于是,當t＝1,即x＝3 時,g(x)取得最小值,gmin(x)＝1;當t＝0,即x＝1時,g(x)取得最大值,gmax(x)＝6.

求解本題需要關注兩點:一是準確分析函數g(x)的定義域,要注意該函數的定義域并不是函數f(x)的定義域;二是在實施換元變形的基礎上,需要等價轉化目標問題.

2 求函數的值域

例3求下列函數的值域:

(1)因為x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2,所以,所以根據指數函數在R上單調遞減,可得

求解復合函數的值域時,需要先求出復合函數內層函數值的取值范圍,然后靈活運用外層函數——指數函數(或對數函數)的單調性加以靈活分析.

3 由給定的最值，求參數的值

例4已知當x∈[1,3]時,函數y＝ax2－3x＋3(a＞0,a≠1)有最大值8,求實數a的值.

因為x2－3x＋3＝,所以當x∈[1,3]時,易知,從而可得

又因為底數a與1的大小關系不確定,所以需要進行分類討論.

若a＞1,則ax2－3x＋3≤a3,所以根據已知條件“當x∈[1,3]時,函數有最大值8”可得a3＝8,解得a＝2(滿足前提條件a＞1).

若0＜a＜1,則,所以根據已知條件“當x∈[1,3]時,函數有最大值8”可得,解得a＝16,這與前提條件0＜a＜1矛盾.

綜上,實數a的值為2.

盡管本題給定函數的最大值,但是仍要按照求函數最大值的方式去思考.利用指數函數、對數函數的單調性解題時,如果不能確定底數a與1的大小關系,那么需要分兩種情況(a＞1和0＜a＜1)進行討論.

4 由給定的值域，求參數的取值范圍

例5已知函數f(x)＝log2023[(a2－1)x2＋2(a＋1)x＋1]的值域為R,求實數a的取值范圍.

要滿足函數f(x)的值域為R,則應使g(x)＝(a2－1)x2＋2(a＋1)x＋1的函數值能夠取遍所有的正數.

又因為a2－1與0的大小關系不確定,所以需要進行分類討論.

當a＝1時,因為函數g(x)＝4x＋1,其函數值的值域為所有的正數(此時f(x)的定義域為＋∞)),所以a＝1滿足題意.

當a＝－1時,因為g(x)＝1,其函數值不能夠取遍所有的正數,所以a＝－1不滿足題意.

當a≠±1時,因為g(x)是二次函數,所以由題意可知該二次函數的圖像開口向上,且與x軸相切或相交.設方程g(x)＝0 的兩個實數根為x1,x2,且x1≤x2,此時原函數的定義域為{x|x≤x1或x≥x2},因而可得不等式組

解得a＞1.

綜上,實數a的取值范圍為[1,＋∞).

1)本題易出現錯解:根據函數f(x)的值域為R,先得到不等式(a2－1)x2＋2(a＋1)x＋1＞0恒成立,再據此進行分析.請思考:如此對函數的值域進行轉化,為什么是不可行的.

2)如果對數型函數f(x)＝logm(ax2＋bx＋c)的值域是R,那么當a＝0 時,有b≠0;當a≠0 時,有

結合上述舉例剖析可知:準確理解指數函數和對數函數的圖像與性質,有助于順利破解有關函數的最值(值域)問題.此外,解題時還需靈活應用等價轉化思想、分類與整合思想以及二次函數的圖像與性質等.

鏈接練習

1.定義max{a,b,c}為a,b,c中的最大值,設M＝max{2x,2x－3,6－x},則M的最小值是( ).

4.已知函數f(x)＝|log3x|,0＜m＜n,且f(m)＝f(n),若函數f(x)在[m2,n]上的最大值為2,則

鏈接練習參考答案

(完)