關注對數函數、指數函數常見解題誤區

劉 洋

(天津市第三十二中學)

學生在求解與對數函數、指數函數有關的問題時,常陷入各種解題誤區,以下對常見的解題誤區加以歸類解析,以期幫助學生全面準確地理解、認識對數函數和指數函數的圖像與性質,提高解題效率和解題能力.

1 未注意對數函數的定義域而致錯

例1函數的單調遞減區間是_________.

剖析錯解的根源在于忽視了對數函數y＝log3u單調遞增,必須滿足u∈(0,＋∞).

求解與對數函數y＝logax(a＞0,a≠0)有關的函數的定義域和單調區間時,應優先考慮其本身的約束條件,即x＞0.

2 未注意函數圖像的漸近線而致錯

例2設a＞1,則曲線y＝|loga(x＋1)|與直線x＝－3的公共點共有________.

錯解如圖1所示,在同一平面直角坐標系中分別作出函數y＝|loga(x＋1)|和x＝－3的圖像,由圖觀察即知所求曲線與直線的公共點共有1個.

圖1

剖析上述錯解的根源在于沒有注意到對數函數y＝logax圖像的漸近線——y軸,即直線x＝0,從而所作曲線y＝|loga(x＋1)|的圖像不準確,由此致錯.

正解如圖2 所示,先準確地作出函數y＝|loga(x＋1)|的圖像,注意該函數圖像的漸近線為x＝－1;然后再作直線x＝－3,則由圖觀察即知所求曲線與直線的公共點共有0個.

圖2

值得注意的是,在利用指數函數、對數函數的圖像解題時,準確地作出函數圖像是解題的關鍵所在.

3 未注意函數特性的靈活運用而致錯

例3對數函數y＝logax與二次函數y＝(a－1)x2－x在同一平面直角坐標系內的圖像可能是( ).

錯解如果0＜a＜1,則因為二次函數圖像的開口向下,所以對數函數單調遞減,故選C.

剖析錯解的根源在于沒有注意到當0＜a＜1時,二次函數與x軸的兩個交點滿足:一個是坐標原點,一個在x軸負半軸上.故考查二次函數的圖像時,不但要注意開口方向,而且要注意函數圖像與x軸交點的具體情形.

正解當0＜a＜1 時,二次函數圖像的開口向下,且與x軸的兩個交點:一個是坐標原點,一個在x軸負半軸上,所以選項C錯誤.

當a＞1時,二次函數圖像的開口向上,且與x軸的兩個交點:一個是坐標原點,一個在x軸正半軸上,所以選項B錯誤,又因為此時對數函數單調遞增,所以選項D 也錯誤.故選A.

遇到二次函數與對數函數在圖像方面的交會問題時,要注意認真觀察函數的圖像,靈活運用函數的特性,加以準確分析.

4 未注意底數對函數單調性的影響而致錯

例4如果函數y＝a2x＋2ax－1(a＞0,a≠0)在區間[－1,1]上的最小值為,求a的值.

剖析錯解的根源在于分析t的取值范圍時,誤以為指數函數t＝ax在[－1,1]上單調遞增.實際上,因為底數a＞0,且a≠1,所以指數函數t＝ax在[－1,1]上的單調性不確定,故應加以討論分析.

正解當a＞1時,同錯解,可得a＝3.

當0＜a＜1時,因為指數函數t＝ax在[－1,1]上單調遞減,所以,所以當t＝a時,由題設知,又0＜a＜1,解得

綜上,a的值為3或.

利用指數函數的單調性解題時,首先要注意底數與1的大小關系,若不確定,則應分情況討論.一般地,若底數a＞1,則有ax＞ay?x＞y;若底數0＜a＜1,則有ax＞ay?y＞x.

5 未注意對數函數的值域為R 必須滿足真數取遍所有的正數而致錯

例5若函數f(x)＝ln(ax2＋2x＋1)的值域為R,求實數a的取值范圍.

錯解依題設,應使ax2＋2x＋1＞0在R 上恒成立,所以解得a＞1.

綜上,所求實數a∈(1,＋∞).

剖析當真數大于零時,并不能保證真數一定取遍所有的正數,從而對應函數的值域也就不一定是R.例如:函數y＝lg(x2＋1)中的真數x2＋1≥1＞0,但對應的y≥lg1＝0,即函數的值域是[0,＋∞),顯然就不是R.上述錯解,實際上是分析了當函數f(x)的定義域為R時,實數a∈(1,＋∞).

正解依題設,應使函數g(x)＝ax2＋2x＋1的函數值取遍所有的正數.

當a＝0 時,在原函數f(x)的定義域{x|x＞的約束下,函數g(x)的函數值顯然可以取遍所有的正數.

當a≠0時,要使二次函數g(x)的函數值取遍所有的正數,則應使解得0＜a≤1(注意此時原函數f(x)的定義域可由g(x)＞0求得).

綜上,實數a的取值范圍是[0,1].

求解本題的關鍵在于,分析題設得到真數ax2＋2x＋1必須取遍所有的正數.

綜上,借誤導悟,有利于迅速提高學生對對數函數、指數函數圖像和性質的認識與理解,同時也有利于進一步提升學生的直觀想象素養、數學運算素養以及邏輯推理素養.

(完)