科技前沿背景下中學數學建模教學初探
——以“汽車泊車路徑規劃問題”為例

林 健

(深圳中學)

科技發展日新月異,數學建模教學亦當與時俱進.本文以前沿科技中的自動泊車技術為背景,將“汽車泊車路徑規劃問題”引入數學建模教學.學生在經歷數學建模的全過程中積累數學活動經驗,激發數學學習興趣,發展數學核心素養,開闊眼界與格局.筆者經過課堂實踐證明,這是一次數學建模教學的有益探索.

1 課堂案例

1.1 創設情境，提出問題

問題情境:汽車泊車是困擾很多司機的一大難題,特別是在較狹窄的停車場.美國密歇根大學在2006年發表的一篇論文,通過對交通事故數據庫和保險公司的事故統計資料進行調查分析,結果表明泊車導致的事故已經占到各類交通事故總數的44%,其中有65.3%的泊車碰撞是在倒車的過程中造成的.為解決泊車難的問題,很多車企推出了自動泊車技術,那么自動泊車是如何實現的呢? 探測器可以探測汽車的初始位置、停車位大小、障礙物位置,那么如何設計汽車泊車路徑呢?

通過播放視頻、展示論文等方式,教師引出實際問題情境,科普最新科學技術,并鼓勵學生思考如何設計汽車泊車路徑.

1.2 背景介紹，建模準備

背景1認識汽車

展示小汽車照片(如圖1),介紹小汽車參數.

圖1

問題1根據大家的生活經驗,司機轉動方向盤,小汽車的哪個車輪發生轉動?

小汽車的方向盤是帶動前輪轉動,所以前輪是轉向輪、后輪和車身一直保持平行.

背景2Ackermann轉向幾何原理

為避免汽車轉向時路面對汽車產生附加阻力和輪胎過快磨損,要求轉向系統能保證在汽車轉向時使所有車輪均作純滾動.德國的工程師提出著名的Ackermann轉向幾何原理:只有四個車輪路徑的圓心交會于后軸的延長線上的瞬時轉向中心,汽車所有車輪方能作純滾動? 也就是說:汽車車身上的任意一點的運動軌跡都是指向同一個圓心的圓,該圓心在汽車后軸的延長線上.

問題2汽車兩個轉向輪的轉向角相同嗎? 它們之間有什么關系呢?

圖2

背景3介紹車位

常見的車位包括垂直車位和平行車位(如圖3).

圖3

問題3如果你是司機,你會如何操作實現倒車入庫呢?

學生思考、交流、討論、分享,為后續建立數學模型奠定感性基礎,培養學生的直觀想象能力.

總結:轉動方向盤,汽車車上的所有點均作圓周運動,圓心為前輪垂線和后軸延長線的交點.方向盤轉動的角度不同,圓周運動的半徑會隨之改變.以上大家描述的倒車方法都是定性的,而自動泊車是需要提供一條準確的路徑,所以接下來我們建立數學模型,定量地研究泊車路徑的規劃問題.

1.3 分組合作，建立模型

實際問題非常復雜,在建立數學模型時應明確主要問題,抓住主要矛盾,對一些次要矛盾暫時做簡化處理,即作出一些比較合理的假設,使問題得以簡化.

問題4從數學角度看,泊車路徑規劃問題的實質是什么? 我們可以如何簡化模型?

小組內討論交流,教師在各個小組間走動,適當提示并回答各小組問題.討論結束后請若干小組上臺分享,教師補充完善.

如圖4所示,將汽車簡化為長方形,四個輪胎簡化為相等的線段.假設汽車初始位置車身與車位邊沿保持平行,前后方車位都停滿車,通車道的另一邊規定泊車邊界.

圖4

泊車要求:

1)車輛在泊車過程中不能與泊車邊界以及前后車位邊界發生碰撞;

2)如圖5所示,泊車完成時,車輛與車位左、右側邊界平行,且距離相等.

圖5

汽車在滿足上述泊車要求的情況下停入車位后可以通過前進或者后退調節汽車尾部與車位底部的距離,這是非常容易實現的,所以我們可以不考慮這個過程.

1.4 教師引導，求解模型

任務1上網收集或實地測量汽車及車位的相關參數(如圖6).

圖6

學生先前提出了多種泊車方法,為了便于求解,我們取兩種簡單的泊車方案:垂直泊車采用單圓弧法,平行泊車采用兩段圓弧法.在平行泊車中,為了騰出更多的空間用于倒車入庫,汽車泊車的最終位置為車尾到達車位底部.此處可以提示學生作圖非常關鍵,可以利用幾何畫板軟件或者尺規作圖輔助找到幾何關系.

任務2在垂直泊車方案中,請根據自己收集的汽車和車位數據,確定P1和P2的位置及圓弧半徑.

圖7

任務3在平行泊車方案中,請根據收集的汽車和車位數據,確定P1和P2的位置及兩段圓弧半徑.

圖8

學生獨立完成全部模型求解的難度較大,可以先分小組研究,然后讓部分學生上臺分享,激發靈感.學生通過相互討論,不斷完善,教師根據學生的情況適當引導.

對于垂直泊車,學生根據教師的以下引導完成模型求解.

引導1可以建立平面直角坐標系(如圖9),將復雜的幾何關系轉化為代數運算.

圖9

設初始位置P(xP,yP),則P1(R1,yP),P2(0,yP－R1).

引導2小汽車有一個重要的參數是“最小轉彎半徑”,指的是什么呢?

“最小轉彎半徑”指的是汽車方向盤轉到極限位置時,外側轉向輪的中心在地面滾過的軌跡圓半徑,也就是圖9中的O1B1,O1B1的最小值Rmin,可利用幾何關系求出后軸中心轉彎半徑R1的最小值rmin.

引導3泊車過程中汽車哪些位置存在碰撞風險?

可能碰撞點1:汽車尾部可能與車位底部相碰;

可能碰撞點2:汽車右側邊緣D1(D2)可能與前方車位的左頂點M相碰(如圖10);

圖10

可能碰撞點3:汽車左前頂點C1(C2)可能與泊車邊界相碰.

引導4三個可能的碰撞點處都不能發生碰撞,這就是約束條件,能否將它們轉化為數學關系呢?

約束條件可以轉化為線段的大小關系.

可能碰撞點1:|OP2|＞lr,即yP＞R1＋lr;

可能碰撞點2:|O1M|＜|O1D1|,即

引導5因為R1取最小值時操作最簡單,只要向右打死方向盤即可,取R1＝rmin,此時能否成功泊車?

代入收集的汽車和車位數據,綜合三個可能碰撞點可求得yP的取值范圍,即當汽車初始位置的縱坐標yP滿足該范圍時可以泊車成功.

引導6如果汽車初始位置的縱坐標yP不滿足上述范圍,該如何實現倒車入庫呢?

將yP代入以上不等式組,若關于R1的該不等式組有解,則可通過改變轉彎半徑R1實現倒車入庫;否則無法成功泊車.

對于平行泊車,教師可按下述步驟引導學生完成模型求解.

引導7兩段圓弧是什么關系?

根據Ackermann轉向幾何原理,汽車圓周運動的圓心O1和O2應該都落在后軸延長線上,所以O1,O2,P2三點共線,因此兩段圓弧相切.

由|O1O2|＝R1＋R2,可得

圖11

引導8和垂直車位類似,平行泊車中,汽車哪些位置存在碰撞風險呢? 寫出對應的數學關系.

可能碰撞點1:汽車右側邊緣A1(A2)可能與前方車位的左頂點M(如圖10)相碰;|O1M|＜|O1A1|,即

可能碰撞點2:在第二段圓弧中,汽車右前頂點B2(B)可能與前方車位的左頂點M相碰;|O2M|＞|O2B|,即

可能碰撞點3:第一段圓弧中,汽車左前頂點C1(C2)可能與泊車邊界相碰|O1N|＞|O1E|,即

引導9R2越小,碰撞點1和2發生碰撞的可能性是越大還是越小?

利用代數知識,我們很容易發現R2越小,碰撞點1和2越不容易發生碰撞,所以我們可以取R2＝rmin,此時約束條件變為

關于R1的不等式組有解,則可實現基于兩段圓弧的平行泊車.

1.5 回歸現實，檢驗模型

數學建模的結果最終要回歸現實生活,現實是復雜的,我們需要帶著批判思維重新審視我們的模型.

1)各小組根據互相提供的小汽車參數、車位數據及小汽車初始位置設計汽車泊車路徑.

2)小組討論:在實際自動泊車的路徑規劃中運用上述數學模型可能存在哪些問題?

學生經過小組討論提出各種可能存在的問題:

a)規劃的路徑較為簡單,且規定泊車過程中汽車不能觸碰前后車位邊界的要求過于嚴苛,導致遇到較大尺寸的汽車或者小尺寸的車位時,無法設計泊車路徑;

b)該數學模型的前提是汽車轉向時不發生側滑,但在實際泊車中較難實現,導致汽車無法按規劃的路徑行駛;

c)實際應用中,距離探測存在誤差,造成規劃的路徑出現偏差.

1.6 課堂小結，延伸拓展

1)課堂小結

問題1通過該課題的研究,你對數學建模有了怎樣的認識? 請談談你的體會.

數學建模就是根據實際問題建立數學模型,對數學模型進行求解,然后根據結果去解決實際問題.

問題2根據你的體驗,請總結完整的數學建模過程.

完整的數學建模過程如圖12所示.

圖12

2)課后延伸

思考1對于較大尺寸的汽車或者較小尺寸的車位,如何規劃泊車路徑呢? 請繼續優化我們的方案.

思考2除垂直車位和平行車位外,還存在斜車位.查找資料或實地觀察,了解斜車位的相關信息,設計針對斜車位的泊車路徑.

2 科技前沿背景下中學數學建模教學開展思路

數學建模教學選取的問題情境應貼近生活、生動有趣,有廣度、有深度,以科技前沿為背景設計數學建模教學,既能充分調動學生的研究興趣和探索欲望,又能極大開闊視野與格局,提高科學素養.對于開展思路,筆者有以下建議.

2.1 留心生活，關注前沿

數學建模的很多案例來自于生活,“汽車泊車路徑規劃問題”就來自于筆者“開車容易泊車難”的生活體驗.同時筆者比較關注科技前沿,對自動泊車技術有所了解,因此萌生出研究該背景下的數學建模教學.

2.2 查閱資料，先行研究

根據生活經驗和查閱大量的文獻資料,筆者發現“汽車泊車路徑規劃問題”非常適合作為高中生的數學建模課題.筆者在參考部分文獻的基礎上,先行完成對“汽車泊車路徑規劃問題”的研究.廣大教師應當與時俱進,保持終身學習的良好習慣.我們希望培養學生的數學核心素養和探究能力,廣大教師應該率先具備這些素養和能力.

2.3 結合學情，優化案例

教師應該結合高中生的知識水平和能力水平對數學建模案例進行適當改進,比如簡化問題情境、預備理論知識、借助軟件工具等.“汽車泊車路徑規劃問題”涉及的數學知識包括三角函數、平面幾何、解析幾何、不等式等都是《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》中界定的內容,數學能力包括運算能力、空間想象能力、邏輯推理能力等,這些也都在高中生的能力范圍內.

2.4 分解任務，層層遞進

對于復雜問題,學生較難獨立完成,教師可采用問題引導式的教學方法,引導學生抽絲剝繭,層層遞進,在親身體驗中積累數學活動經驗.

2.5 回歸現實，拓展留疑

數學建模最終需要回歸現實生活并反思結果,對于尚未解決的問題可以留給學生課后繼續研究,教師也可進一步拓展,拋出更多問題,開闊學生視野,呵護學生的好奇心和求知欲.

(完)