三軸試樣數字化測量中折射誤差校正

范蘭楊，牟春梅, b，楊 警，吳浩杰

(桂林理工大學 a. 土木與建筑工程學院，b. 廣西巖土力學與工程重點實驗室，廣西 桂林 541004)

傳統的土工三軸試驗可以獲得土體應力、強度、彈性模量等物理力學性質，通過三軸體變管排水量的換算得出飽和土的體積變化[1]。常規三軸試驗存在一定的局限性[2-5]：三軸試樣與軸向位移傳感器、基座之間存在間隙，通過加載桿測得的軸向變形包含試樣的變形和端部間隙的壓縮量；三軸試驗僅能測得飽和試樣的平均體積變化；端部接觸問題的存在使得試樣的徑向變形受剪應力的約束，土體的徑向變形不均勻，經過體變、軸變以及徑變關系得出的平均徑變并不能反映試樣的真實徑向變形。

隨著數字圖像測量技術的進步和拍攝設備質量的提高，已有眾多學者將數字圖像測量技術應用于土工三軸試驗的變形測量。數字圖像測量技術是根據二維圖像獲得目標物體的三維空間坐標，借助計算機視覺技術重構物體的三維空間模型，獲得被攝物體的幾何、位移變形的測量技術[6-7]，具有非接觸、無干擾、適用性廣等優點。

Macari等[8]將數字圖像測量技術應用于三軸試驗，為了消除三軸壓力室壁及密閉介質的折射影響，建立體積計算模型與折射校正模型，但是拍攝機位和角度都必須在拍攝過程中進行固定，才能保證相同的折射影響。由于相機方位固定而無法移動，因此只能得到特定測量平面的圖像信息，無法實現土樣全表面的測量。Gachet等[9]在Macari等[8]所提出折射誤差校正模型的基礎上，借助線性函數對多重介質的折射誤差進行校正，但是僅適用于外部環境條件一致的情況。Rechenmacher[10]為了減少光線折射對土樣成像的影響，使用非常規三軸壓力室，采用真空加壓的方式施加圍壓。該方法并不適用于大多數常規三軸試驗。Alshibli等[11]將常規壓力室罩改制為三棱柱狀玻璃壓力室，通過3個棱面對土樣進行觀測，避免折射誤差。王助貧等[12]、邵龍潭等[13]研發了三軸全表面變形圖像測量系統，基于亞像素角點識別法提高測量精度，將三軸壓力室設計為平面板狀玻璃壓力室，并在壓力室中安裝照明系統和兩面可調節方位的反光鏡，減少三軸壓力室壁和密閉介質的折射影響；但是改造壓力室價格昂貴，不便推廣，而且不能完全消除折射影響，僅局限于二維平面測量。

本文中對二維折射誤差校正模型進行改進，考慮壓力室變形因素的影響，通過光線追蹤粘貼在壓力室表面編碼點的空間坐標在不同加載階段的相對位移，重構壓力室變形后數學模型，建立三維折射誤差校正模型對折射誤差進行校正。

1 基本原理

1.1 相機標定

普通非量測相機的鏡頭制作或裝配不當時，鏡頭會產生向內或向外的彎曲，導致鏡頭畸變[14]，使得成像平面上的圖像與理想成像的圖像之間存在偏差，導致像點、投影中心點與實際空間點之間不共線，所采集的圖像產生桶狀變形或枕狀變形，如圖1所示。

(a)理想圖像(b)桶狀變形(c)枕狀變形圖1 理想圖像與采集圖像的2種變形失真

采用直接線性變換(direct linear transformation，DLT)法對相機進行校正，校正數學模型為

式中：x、y為原始圖像的位置坐標；xc、yc為校正后圖像的位置坐標；K1、K2為徑向透鏡畸變參數；P1、P2為切向透鏡畸變參數。

1.2 壓力室模型構建

拍攝光線經過壓力室壁后會發生折射。壓力室壁是重要的折射界面，但是壓力室壁在長期使用中會發生變形。為了重構壓力室變形模型，以壓力室的中心點R為原點，建立局部坐標系R-XlocYlocZloc，Yloc軸與壓力室豎直中心線重合。三軸壓力室在加載過程中的變形模型如圖2所示。

A、B、C—壓力室變形參數；R—局部坐標系原點；R-XlocYlocZloc—局部坐標系；O-XYZ—世界坐標系；XR、YR、ZR—壓力室中心在世界坐標系中的坐標。圖2 三軸壓力室在加載過程中的變形模型

壓力室壁在局部坐標系中的數學模型為

式中：A、B、C為壓力室變形參數；Xloc、Yloc、Zloc為局部坐標系R-XlocYlocZloc中的坐標。將壓力室從局部坐標系轉換到世界坐標中的數學轉化關系[15]為

式中：X、Y、Z為世界坐標系O-XYZ中的坐標；XR、YR、ZR是壓力室中心在世界坐標系中的坐標；R1為旋轉矩陣；ω、φ、κ為從世界坐標系O-XYZ到局部坐標系R-XlocYlocZloc的旋轉角度。

1.3 折射定律

根據Snell定律，計算得出光線經過壓力室壁、水、空氣時的折射率n1、n2、n3對應的入射角I1、I2、I3，即

2 三軸數字化測量

2.1 相機校正

通過PhotoModeler圖像測量軟件的Idealize Project模塊，對非量測相機iPhone 6手機進行校正，消除攝影畸變求解相機參數[16]。具體校正過程如下： 先從軟件中導出相機校準模板(見圖3)，平整地粘貼在平面上；然后保持相機與模板呈45°左右，從不同方向拍攝，不少于12張圖像，保證圖像中4個編碼點清晰；將拍攝校準模板的數字圖像導入PhotoModeler軟件中進行處理。三軸數字化測量的相機系統誤差與鏡頭誤差如表1所示。

圖3 三軸數字化測量的相機校正模板

2.2 系統設置

試驗開始前，需要在壓力室表面、荷載架和特制的橡皮膜上粘貼人工標記點。在包裹試樣的橡皮膜表面上，以10 mm的間隔粘貼8行×18列共144個直徑為0.9 mm的標記點；在壓力室表面粘貼120個標記點，上、下各2圈和3個垂直列，用于構造壓力室表面參數模型。三軸試樣制備結果與系統設置如圖4所示。

表1 三軸數字化測量的相機系統誤差與鏡頭誤差

(a)試樣制備結果

O-XYZ—世界坐標系。(b)系統設置圖4 三軸試樣制備結果與系統設置

2.3 圖像采集

系統設置完成后，正常安裝三軸試樣。在拍攝過程中，應保證外部光源充足。手持相機穩定拍攝，無須使用三腳架固定相機。先以遠離系統的站位對整個系統拍攝3～6張，每張圖像中必須捕捉到荷載架上所有的編碼點；然后控制一定距離以水平角度環拍試樣一周，共拍攝38～45張圖像，保證同一編碼點至少出現在3張不同位置拍攝的圖像中。相機站位無須固定，保證采集圖像清晰即可。三軸試樣的環繞式圖像采集方式如圖5所示。

Si—第i處相機站位，i=1,2,…,n，n為正整數；O-XYZ—世界坐標系。圖5 三軸試樣的環繞式圖像采集方式

2.4 校正模型建立

以在荷載架上粘貼的標志點為參照，建立世界坐標系O-XYZ。使用量程為0.02 mm的游標卡尺測量荷載架上相鄰2個點之間的距離作為世界坐標系的比例尺。依據1.2節中建立壓力室變形數學模型確定折射面，然后根據光線追蹤原理[17]和Snell定律，確定入射光線在壓力室壁上的交點、折射光線的方向。構建至少3條追蹤光線，確定試樣表面點的實際三維坐標。三維折射誤差校正模型如圖6所示。

2.5 數據處理

將圖像導入PhotoModeler軟件中進行識別處理。相鄰2次采集的圖像應保證重疊率大于85%。運行軟件提取每次拍攝的相機方位、標記點在圖像中的像素坐標、壓力室表面的三維世界坐標。手持校正后的相機環繞式拍攝三軸試樣的圖像處理過程如圖7所示。由于壓力室壁和密閉介質有折射放大效應，因此提取的數據必須經過三維折射誤差校正模型進行校正。使用MATLAB軟件編寫相應的計算程序進行計算，得到試樣的實際三維空間坐標。

Si—第i處相機站位, i=1,2,…,n，n為正整數；Ii—第i處圖像平面；D1、C1—光線在經過內外壓力室壁的入射角；P—物點的空間坐標。圖6 三維折射誤差校正模型

3 參數驗證

3.1 精度驗證

選取一個剛性圓柱體，在表面粘貼編碼點。分別使用量程為0.02 mm的游標卡尺以及圖像測量法測得任意2個點之間的距離，并重構試樣的三維模型。剛性圓柱體及重構模型如圖8所示。圖像測量法與游標卡尺測量結果如表2所示。從表中可以看出，圖像測量法在空氣中的平均絕對誤差為0.009 mm，平均相對誤差為0.086%，測量精度滿足要求。

(a)圖像重疊率

(b)數據提取結果圖7 手持校正后的相機環繞式拍攝三軸試樣的圖像處理過程

3.2 壓力室變形參數

三軸壓力室為圓柱形玻璃罩，長期使用會發生塑性變形。為了驗證壓力室在不同圍壓時的變形情況，分別在圍壓為0、100、200、400 kPa時構建折射面模型。不同圍壓時的壓力室變形參數如表3所示。由表可知，當圍壓為0 kPa時，A、B均不為0，說明壓力室壁在長期使用中不再是完美的剛性圓柱體；加壓到100 kPa時，壓力室徑向變形可達0.37 mm；當圍壓200 kPa時，壓力室徑向變形為0.45 mm；當圍壓400 kPa時，壓力室徑向變形為0.51 mm。由此可知，必須重構不同圍壓時壓力室變形后數學模型，消除壓力室變形造成的測量誤差。

(a)剛性圓柱體

(b)編碼點模型圖8 剛性圓柱體及重構模型

表2 圖像測量法與游標卡尺測量結果

表3 不同圍壓時的壓力室變形參數

4 三維折射誤差校正試驗

4.1 土樣參數

試驗土樣為廣西桂林地區紅黏土，土質均勻。土樣呈紅棕色，微濕，硬塑狀態，黏性強。通過室內土工試驗測得天然含水質量分數為28%，風干含水質量分數為2.3%，內摩擦角為21°，黏聚力為17 kPa。參照國家標準GB/T 50123—2019《土工試驗方法標準》，制得含水質量分數為23%、干密度為1.5 g/cm3的三軸飽和試樣，直徑為39.1mm，高度為80 mm。

4.2 試驗方案

試驗儀器為應變控制式三軸儀，在剪切速率為0.2 mm/min的條件下對飽和紅黏土進行不固結不排水(UU)三軸試驗。控制加載桿的軸向位移來控制試驗進程，達到不同的位移值時，暫停加載拍攝圖像。當試樣的整體軸向應變達到15%時，認為試樣破壞。探究干密度為1.5 g/cm3的三軸試樣在圍壓為0、100、200 kPa時，水對三軸試樣的折射放大效應與三維折射誤差校正模型的校正效果。為了便于觀察試樣不同部位的折射測量誤差，將三軸試樣(整體)按照10 mm的間距劃分為8個截面、3個部分：上部(截面編號為6、7、8)、中部(截面編號為3、4、5)、下部(截面編號為1、2)。數字化重構的三軸試樣折射誤差測量模型如圖9所示。

1,2,…,8—截面編號。圖9 數字化重構的三軸試樣折射誤差測量模型

5 試驗結果與分析

5.1 誤差校正分析

利用圖像測量法對空氣中的三軸試樣進行測量，以測量值作為真值。取試樣同一高度的數據，利用MATLAB軟件擬合成圓形，確定試樣不同截面的半徑。不同圍壓時各土段的軸向、徑向半徑測量值如表4、5所示。

從表4、5中可以看出，經折射模型校正后的徑向、軸向半徑測量值與真值極為接近。不同圍壓時各土段的軸向半徑測量值最大誤差為0.190 mm，平均誤差為0.127 mm；最大徑向半徑測量誤差為0.245 mm，平均誤差為0.143 mm。從表4、5中還可以看出，三軸試樣在軸向上受折射放大效應影響很小，平均放大倍數為1.011 4；徑向界面受折射影響最大，平均放大倍數為1.219。

軸向和徑向上折射放大倍數不一致的原因如下： 1)在徑向上，有機玻璃壓力室為弧形曲面，充水后的壓力室罩如同一個透鏡，成像光線在弧形曲面處發生較大的曲折，使得圓柱體的徑向長度在成像時明顯放大。三軸試樣的徑向不僅受多個介質的折射放大，而且受透鏡放大效應的影響；2)在軸向上，三軸壓力室壁近似平面板玻璃，而且水、有機玻璃壓力室、空氣的折射率相近。多種介質的折射對成像光線的曲折效果很小，受到折射效應的影響較小。

表4 不同圍壓時各土段的軸向半徑測量值

表5 不同圍壓時各測量截面半徑測量值

5.2 應力-應變分析

分別利用常規UU三軸試驗法和圖像測量法對干密度為1.5 g/cm3的三軸試樣進行測量。根據試樣的實測軸向變形、徑向變形數據，結合常規三軸試驗中試樣剪切的軸向力數據，繪制試樣的應力-應變曲線，如圖10所示。由圖可知，在不同圍壓時，2種方法測得的應力-應變曲線整體趨勢一致，曲線基本重合。常規UU三軸試驗法測得的初期軸向應變小于圖像測量法所測的。因為在常規UU三軸試驗的初始時刻，試樣兩端與不透水板、試樣帽之間存在間隙，所以常規UU三軸試驗測量值是試樣自身的軸向變形與端部間隙壓密產生的軸向位移之和，而圖像測量法排除了端部間隙對試樣軸向變形測量影響，為試樣的真實軸向變形。

6 結論

本文中使用校正后的非量測相機iPhone 6手機進行圖像采集，從圖像中提取壓力室實時變形參數，基于光線追蹤原理建立三維折射誤差校正模型減小折射誤差，并進行三軸折射誤差校正試驗，得到以下主要結論：

(a)圍壓為100 kPa

(b)圍壓為200 kPa圖10 干密度為1.5 g/cm3的三軸試樣的應力-應變曲線

1)基于光線追蹤原理建立的三維折射誤差校正模型能有效地消除或減小折射測量誤差，提高了數字化測量精度。

2)使用后置單孔攝像頭并經過校正的iPhone 6手機代替專業的量測相機進行圖像采集，無須對三軸儀進行改造，操作簡單，試驗成本低，具有普適性。

3)圖像測量法避開了端部誤差對軸向測量的影響，測得試樣的真實徑向變形，是一種新穎的三軸變形測量方法。