自適應事件觸發機制下飽和系統的跟蹤問題

李紅超，張 楠，鄧惠敏

(河北工業大學 人工智能與數據科學學院，天津 300401)

在實際系統中普遍存在非線性特性，飽和是一種常見的非線性特性。飽和會導致系統性能劣化，因此該類特性不可忽視。關于飽和系統的鎮定研究已經取得了豐碩的成果，例如全局鎮定、半全局鎮定和局部鎮定問題[1-3]。已有研究結果中有大量不同類型的飽和處理方法。Da Silva等[4]給出了抗積分飽和補償器增益的設計方法，并采用扇區條件處理飽和約束，引入的抗積分飽和補償器可以擴大對稱飽和系統的吸引域。Ding等[5]研究了對稱飽和系統具有延時情況下的輸入到狀態鎮定問題，利用凸包對系統中的對稱飽和特性進行處理。此外，不同類型的Lyapunov函數可應用于對稱飽和系統分析與綜合問題[6-8]。

在分析線性反饋系統的跟蹤問題時，快速性與穩定性是一對矛盾體。線性控制律無法同時滿足調節時間和超調量的性能指標，因此為了改善系統的暫態性能，Lin等[9]設計了復合非線性反饋控制律，可以同時減少系統的上升時間和超調量。復合非線性反饋控制律由線性部分和非線性部分組成。線性部分可以提供較小的阻尼比，使系統響應迅速；而非線性部分提供較大的阻尼比抑制超調。復合非線性反饋控制在多變量系統、非線性系統、切換系統、時滯系統等系統中也得到廣泛運用。針對具有執行器飽和的系統，He等[10]分析狀態反饋控制方法和輸出反饋控制方法，給出了復合非線性反饋控制律的設計過程，并通過設計的控制器，減少了系統的上升時間。文獻[11-12]中針對非線性系統的跟蹤問題，設計復合非線性反饋控制律，改善了系統的暫態性能。針對切換系統的跟蹤問題，復合非線性反饋控制律可以使系統控制輸入漸近地跟蹤階躍信號[13]。Mobayen[14]研究了魯棒跟蹤控制問題，針對多變量時滯系統，應用復合非線性反饋控制律，并采用Lyapunov-Krasovskii函數，得到了保守性更弱的條件。

在實際系統中，傳輸信號的增多及系統規模的增大加大了系統通信負擔。在保障系統性能的前提下，可以運用事件觸發機制減少不必要的信息傳輸。此類機制只有事件觸發條件滿足時，信息才可以傳輸。相關事件觸發機制可以有效減少事件觸發次數，如周期事件觸發機制、分布式事件觸發機制、動態事件觸發機制均可以進一步減少信息傳輸次數。系統結構或參數有時會因自身或外界因素而發生變化，導致設計的觸發機制不匹配變化后的系統，為此可以采用自適應觸發機制。自適應事件觸發條件的參數可以根據系統信息進行動態調整[15-17]。文獻[18]中采用事件觸發復合自適應模糊輸出反饋控制，實現了自主水面艦艇的路徑跟蹤。

本文中研究基于自適應觸發機制的復合非線性反饋控制器，在改善飽和系統暫態性能的同時，減少事件觸發的次數；利用具有更高自由度的自適應觸發機制參數，削弱結果的保守性；提出一種新型的基于自適應事件觸發機制的復合非線性反饋控制律，實現飽和系統對階躍信號的跟蹤，并改善系統的暫態性能。

1 系統結構

考慮具有以下結構的飽和系統，

(1)

(2)

其中ui(t)為u(t)的第i個元素，σi>0為σ的第i個元素。

引理1[20]死區函數φ[u(t)]滿足

φ[u(t)]=satσ[u(t)]-u(t)

。

(3)

對于任意向量v和z，屬于集合

Γ(v,z)={v,z∈m||vi-zi|≤σi},i=1, 2, …,m,

則存在任意對角正定矩陣Θ，使不等式關系

φT(v)Θ[φ(v)+z]≤0

(4)

成立，其中vi、zi為v、z的第i個元素。

存在矩陣P>O(O為零矩陣)與ι>0，定義橢球域為

ε(P,ι)={x(t)|xT(t)Px(t)≤ι}

。

(5)

1.1 復合非線性反饋控制律

在系統跟蹤問題中，系統輸出的快速性和超調量是不可兼得的一對矛盾體。本文中采用的復合非線性反饋控制律可以同時改善系統輸出的快速性和平穩性。自適應復合非線性控制律為

u(t)=Fx(t)+Gr-ρ[r,y(t)]BT[x(t)-xe] ,

(6)

其中

ρ[r,y(t)]=βe-α|y(t)-r|，

(7)

式中：F∈m×n為待設計增益矩陣；α>0；β>0；r為需要被跟蹤的參考輸入，本文中定義r為階躍信號；矩陣G和平衡點xe滿足

G=-[C2(A+BF)-1B]-1

,

(8)

xe=-(A+BF)-1BGr

。

(9)

備注1ρ[r,y(t)]的值與系統測量輸出y(t)有關。當系統測量輸出接近參考輸入r時，復合非線性反饋控制器會提供較大的阻尼減小系統輸出的超調量；反之，當系統測量輸出與參考輸入差值較大時，ρ[r,y(t)]的值很小，以提供較小的阻尼使系統輸出快速響應。在控制器的作用下，系統狀態最終會收斂到平衡點xe。

1.2 自適應事件觸發機制

與傳統靜態事件觸發條件相比，自適應事件觸發條件中的參數可以根據系統的狀態進行動態調整，進而減少事件觸發次數。自適應事件觸發機制的條件為

δ(t)[x(t)-xe]TΦ2[x(t)-xe]≥eT(t)Φ1e(t),

(10)

(11)

式中：δ(t)為可變參數，其初值滿足0<δ(0)≤1；tk為上一觸發時刻，k=0,1,2,…為事件發生的次數；e(t)=x(tk)-x(t)為上一觸發時刻的系統狀態與當前時刻的誤差；φ≥1；Φ1∈n×n、Φ2∈n×n為待設計自由權矩陣。

當觸發條件(10)成立時，信號x(tk)、y(tk)不更新。當觸發條件不成立時，事件生成器才允許信號傳輸，此時信號x(tk)、y(tk)更新為當前時刻的x(t)、y(t)。

備注2系統狀態x(t)和測量輸出y(t)均為可測信號，并且x(t)在y(t)之前傳輸。

備注3文獻[21]中的事件觸發條件為

eTΩe(t)≤δ(t)xT(t)Ωx(t)

。

(12)

式中Ω∈n×n為自由權矩陣。與式(12)相比，本文中事件觸發條件(10)引入自由權重矩陣Φ1、Φ2，有更高的設計自由度。此外，本文中關于Zeno現象的討論與文獻[21]中的相似，不再贅述。

2 主要結果

根據1.2節中提出的自適應事件觸發機制，飽和系統漸近跟蹤參考輸入的條件如下。

|Hir|≤σi,i=1, 2, …,m

,

(13)

(14)

(15)

證明： 引入自適應觸發機制后，復合非線性反饋控制器為

u(t)=[Fx(tk)+Gr]-

ρ[r,y(tk)]BT[x(tk)-xe] ,

(16)

ρ[r,y(tk)]=βe-α|y(tk)-r|

。

(17)

(18)

定義Fxe+Gr為Hr，則

{F-ρ[r,y(tk)]BT}e(t)+Hr。

(19)

根據死區函數(3)的定義，可以得到

{BF-ρ[r,y(tk)]BBT}e(t)+Ew(t)+

Bφ[u(t)]+Axe+BFxe+BGr,

(20)

其中Axe+BFxe+BGr≡0(詳見備注4)。

{BF-ρ[r,y(tk)]BBT}e(t)+Ew(t)+Bφ[u(t)]。

(21)

選取Lyapunov函數

(22)

該函數的導數為

由引理1，設

{F-ρ[r,y(tk)]BT}e(t)+Hr,

{F-ρ[r,y(tk)]BT}e(t) ,

可知扇區條件成立，即

φT[u(t)]Θφ[u(t)]+φT[u(t)]Θ{F-

φT[u(t)]Θ{F-ρ[r,y(tk)]BT}e(t)≤0。

(23)

從事件觸發機制條件可知，當t∈[tk,tk+1)時，

{F-ρ[r,y(tk)]BT}e(t)}≤

2φT[u(t)]Θφ[u(t)]-2φT[u(t)]{ΘF-

2φT[u(t)]{ΘF-ρ[r,y(tk)]ΘBT}e(t) 。

(24)

其中

Ξ11=He{PA+PBF-ρ[r,y(tk)]PBBT}+Φ2+

Ξ21=FTBTP-ρ[r,y(tk)]BBTP,

Ξ31=BTP-ΘF+ρ[r,y(tk)]ΘBT,

則有

(25)

成立，則系統在干擾信號w(t)下是L2穩定的，即滿足L2性能。

(26)

利用Schur補引理，式(26)可變換得到條件(14)。

根據L2性能要求可知，

。

(27)

。

(28)

(29)

定理1證畢。

備注4Axe+BFxe+BGr≡0，證明過程如下：

Axe+BFxe+BGr=-A(A+BF)-1BGr+

B[I-F(A+BF)-1B]Gr=-A(A+BF)-1BGr+

[I-BF(A+BF)-1]BGr≡0。

(30)

備注5基于式(17)，ρ[r,y(tk)]是有界的，即0≤ρ[r,y(t)]≤ρ*，ρ*>0為ρ[r,y(tk)]的數值上界，定義ρ*=max{ρ[r,y(tk)]}。如果條件(14)成立，那么所有ρ[r,y(tk)]也可以保證條件(14)成立。

3 仿真算例

通過仿真算例驗證定理1中提出的自適應觸發機制下復合非線性反饋控制律的有效性。

由定理1，可得

S=2.513 4 ,

通過參數Q、W得到控制器的增益

F=(-2.090 9 -1.856 6) 。

圖2所示為控制輸入u(t)及飽和控制輸入satσ[u(t)]的變化過程。從圖中可以看出，發生飽和并不會影響系統的穩定性。給定參考輸入r為單位階躍。系統在復合非線性反饋控制律和線性反饋控制律下，飽和系統的測量輸出如圖3所示。從圖中可以看出，在復合非線性反饋控制器的作用下，系統測量輸出的超調量比線性控制器作用下的小，并且響應更快。復合非線性反饋控制和線性反饋控制下系統測量輸出的調節時間及超調量如表1所示。

(a)狀態量x(t)的軌跡

t—時間；u(t)—控制輸入；satσ[u(t)]—飽和控制輸入。圖2 控制輸入及飽和控制輸入的變化過程

圖4所示為自適應事件觸發機制的事件觸發時刻。由圖可知，在系統輸出逐漸穩定到參考輸入時，觸發頻率降低。圖5所示為自適應參數δ(t)隨時間的變化。從圖中可以看出，給定δ(0)=0.01，δ(t)的值會根據系統狀態動態調整，自適應參數逐漸穩定到0.194 1。相比給定常量，這種動態變化可以根據實際需求動態調節事件觸發頻率，減少不必要事件觸發的次數。

t—時間；y(t)—測量輸出。圖3 飽和系統的測量輸出

表1 系統測量輸出的調節時間及超調量

t—時間；τk—觸發時間間隔，τk=tk+1-tk，tk為上一觸發時刻，k=0,1,2,…為事件發生的次數。圖4 自適應事件機制的事件觸發時刻

圖5 自適應參數δ(t)隨時間t的變化

當δ(t)≡0.194 1時，事件觸發條件退化為靜態事件觸發條件。事件觸發間隔時間的平均值為0.490 3 s，小于本文中設計的自適應事件觸發條件的事件觸發間隔時間平均值0.474 6 s。

綜上所述，相較于靜態事件觸發機制，本文中設計的自適應觸發機制可以減少事件發生次數，并且有更好的響應平穩性及快速性。

4 結論

本文中針對飽和系統設計了基于自適應事件觸發機制的復合非線性反饋控制器，基于Lyapunov穩定性分析方法，得到以下主要結論：

1)與線性反饋控制器相比，復合非線性反饋控制器可以減少干擾作用下飽和系統的調節時間及超調量。自適應事件觸發的自適應參數可以根據系統狀態自動調整。

2)通過設計基于自適應事件觸發機制的復合非線性反饋控制器，實現了飽和系統對階躍信號的漸近跟蹤。

3)通過仿真算例說明基于自適應事件觸發機制的復合非線性反饋控制器可以有效改善飽和系統的暫態性能。通過對比自適應事件觸發機制與靜態事件觸發機制的事件觸發間隔時間平均值，說明自適應事件觸發機制在節約傳輸資源方面優于靜態事件觸發機制。