基于Realized GARCH模型已實現波動率預測研究
——以滬深300指數為例

胡 倩，錢星曌

(安徽大學 經濟學院，合肥 230031)

中共十一屆三中全會以來，社會主義市場經濟的廣度與深度不斷提升，中國經濟高速發展，社會對資本的探索不斷加大。上交所、深交所的成立標志著證券市場時代已然到來，然而證券市場作為金融市場，會受到來自各方的干擾產生波動。對投資者來說，波動情況與資產價格直接相關，是其進行投資的依據。同時，對于股市的劇烈波動如果不加以防范，必然會使市場不穩定，對社會經濟的發展造成危害。鑒于此，金融資產的波動性研究就成為眾多學者的研究熱點。

一、文獻綜述

由于金融產品收益率序列具有異方差性和波動聚集效應，Engle提出了自回歸條件異方差(ARCH)模型[1]。Bollerslev對ARCH模型作出改進，提出了廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型[2]，該模型被廣泛應用。徐立霞將GARCH族模型用于中國股市波動性的研究，運用GARCH、TGRCH和EGARCH模型擬合中國股市的波動性，結果表明，股票收益率序列存在尖峰厚尾、波動聚類的特性，GARCH族模型能很好地擬合股市波動性0。但是，上述模型大多使用低頻數據，屬于低頻波動率模型。隨著科學技術的發展，獲取數據的技術越來越成熟，高頻數據的收集呈現爆炸性發展，眾多學者開始研究高頻波動率模型。

Andersen和Bollerslev最早提出了已實現波動率(Realized Volatility，簡記為RV)的概念，并首次明確了高頻數據波動率的測度指標[4]。Torben和Andersen將RV和條件協方差矩陣聯系起來，并用美元、日元等匯率的高頻數據進行擬合，發現擬合效果很好[5]。此后學者們在此基礎上提出了各種已實現測度，如Martens和van Dijk根據金融資產價格極值理論提出了已實現極差波動率(RRV)[6]；Ole和Barndorff構造RV的核密度估計表達式，提出了已實現核波動(RK)[7]；Christensen、Oomen和Podolskij基于分位數提出了新的已實現測度[8]。同時，如何把波動率和已實現測度有效結合且具有良好的預測效果成為學者們探究的重要問題。Hansen、Zhuo和Shek提出了Realized GARCH模型[9]，添加已實現測度到GARCH模型中，并通過測量方程將條件方差與已實現測度聯系起來。此后，王天一和黃卓擴展了在數據分布形態呈厚尾分布的情況下已實現GARCH模型，并發現t分布下擬合的模型具有更高的預測精度[10]。黃友珀、唐振鵬和周熙雯研究了Realized GARCH模型在偏t分布下的擬合效果[11]。玄海燕等發現Realized EGARCH模型在t分布和偏t分布下的擬合效果顯著優于正態分布[12]。Louzis、Xanthopoulos和Refenes將改進的已實現測度引入Realized GARCH類模型中進行分析[13]。于孝建和王秀花提出了針對混頻數據的Realized GARCH模型，發現預測效果很好[14]。蔣偉和顧研引入廣義已實現測度，數據選取上證綜指和滬深300指數，發現廣義已實現波動率能夠提高Realized GARCH模型對市場風險的預測能力[15]。

在已實現GARCH類模型中，已實現測度的選擇十分重要。目前大多數文獻使用RV作為已實現測度。受上述文獻啟發，基于滬深300指數的5分鐘高頻數據，建立Realized GARCH模型，基于已實現測度RV和改進后的RMV的模型分別在正態分布、t分布、GED分布下展示其擬合效果。結果表明：不論是基于RV還是改進后的RMV，似然函數值都在t分布下最大，模型擬合效果最優，正態分布下效果最差；而且基于RMV擬合的模型相比基于RV在估計精度上有所提高，風險價值VaR的預測效果也表現更好。

二、模型及方法

(一)Realized GARCH模型

本文所使用的Realized GARCH模型是在GARCH模型的基礎上進行拓展的，所以下面先給出GARCH模型的一般形式：

式(1)(2)統稱為均值方程，式(3)稱為方差方程。GARCH模型中過多的對于參數的限制條件使得實際估計起來可能達不到理想效果，而且用GARCH模型來擬合高頻數據，可能無法擬合出數據的真實波動情況。

為此，選擇Realized GARCH模型，其具體形式如下：

(二)已實現波動率的改進

由Andersen和Bollerslev提出的已實現波動率(RV)[4]，將波動率的研究對象從低頻數據轉向高頻數據。本文在已實現測度的形式上結合方差的思想，納入平均水平，基于RV，得到改進后的已實現波動率(Realized Mean Volatility，簡記為RMV)，具體計算步驟如下：

(7)

第二步，計算金融資產第t個交易日的收益率，rt,i表示第t個交易日內金融資產在第i個區間的對數收益率，見式(8)。與已實現波動率RV相比，其區別就在于用日內平均收盤價代替前一間隔區間的收盤價。

(8)

第三步，將第二步中計算得到的t個交易日的收益率進行平方后加總，如式(9)所示：

(9)

(三)樣本外預測

為了檢驗Realized GARCH模型對滬深300指數的波動率預測效果，本文使用滾動時間窗口方法以獲得樣本外預測值，具體步驟如下：

(1)將滬深300指數的收益率序列按照4∶1的比例劃分為估計樣本和預測樣本。

(2)用估計樣本對Realized GARCH模型進行估計，預測次日波動率，滾動周期為一天。

(3)重復(2)中的操作，依次重復滾動預測，得到與預測樣本同樣數量的波動率預測值，將得到的預測值與真實值進行比較，采用均方誤差MSE和平均絕對誤差MAE這兩個預測評價標準來反映預測效果如何。

MSE和MAE的具體形式分別如式(10)和式(11)所示：

(10)

(11)

(四)Kupiec失敗率檢驗

VaR(Value at Risk)作為衡量金融市場風險的指標，表示在給定的置信水平下，金融資產在某一時期可能遭受的最大損失：

Prob=(ΔP>VαR)=1-α

(12)

其中，ΔP表示金融資產在時間區間△t內的損失額，α為給定的置信水平。

Kupiec提出了一種針對VaR模型的失敗率檢驗方法，其基本思想是：假設VaR序列彼此相互獨立，若VaR估計值小于實際損失額，記為失敗，反之記為成功[16]。該檢驗通過檢驗實際失敗次數和預期失敗次數的接近程度，來避免過于低估或者高估風險。檢驗原假設為H0:P=P*，提出檢驗統計量表達式(13)：

(13)

其中，P=N/T，N為失敗天數，T為總檢驗天數，置信水平為1-α，期望失敗率P*=α。而且LR值越小，模型估計越準確，效果越好。

三、實證分析

(一)數據來源與描述性分析

本文選取2014年1月3日—2020年12月30日共1 705個交易日的滬深300指數5分鐘高頻數據。數據來源于JoinQuant聚寬量化交易平臺。股市每日交易時間為4小時，即每日Ln1n有48個高頻數據，總共81 840個高頻數據。收益率采用“收盤價-收盤價”的方式并且通過對數計算，形式如式(14)所示：

rt=lnPt-lnPt-1

(14)

其中，Pt為當前時刻收盤價，Pt-1為前一時刻收盤價。

圖1-a5分鐘收盤價的時序圖顯示滬深300指數的價格波動幅度較大，尤其在2014年—2015年這兩年的波動程度非常劇烈；圖1-b、c、d日收益率序列、RV序列和改進的RMV序列的時序圖則顯示每個序列都有明顯的波動聚集效應。通過圖2滬深300指數日收益率序列的頻率分布圖顯示其分布的大致形態，其結果顯示，與標準正態分布相比，滬深300指數的日收益率序列分布具有尖峰厚尾特征，說明該序列并不符合傳統的正態分布假設。

圖1-a

圖2 日收益率頻率分布圖

表1給出了日收益率r、RV、改進后的RMV的基本描述統計量的信息。從均值看，三者的均值都接近0，可以忽略不計；從偏度上看，日收益率r分布左偏但是偏度較小，RV和RMV都呈右偏分布且偏度較大；從峰度上看，三者都呈尖峰分布，與圖2尖峰厚尾分布形態也是吻合的；從J-B統計量和P值上看，這三個序列都顯著拒絕了正態分布的假設，表明各序列都不服從正態分布。從ADF檢驗的結果看，日收益率r、RV和改進后的RMV都顯著拒絕了原假設，即三者都是平穩序列。而且使用Ljung-Box檢驗驗證收益率序列是否適合用GARCH族模型建模，發現給定5%的顯著性水平，在從1到10的滯后階數下，不存在ARCH效應的原假設都被顯著拒絕。因此更加明顯地驗證了日收益率具有顯著的ARCH效應，可以進行下一步的建模。

表1 日收益率r、RV、RMV的基本統計量

(二)模型參數估計

前面已經檢驗ARCH效應的存在，但由于滯后階數過多會導致模型不穩定，因此本文選擇Realized GARCH(1,1)模型進行實證研究。表3顯示了基于RV和改進后的RMV的Realized GARCH(1,1)在三種不同分布下的參數估計結果。

表3 基于RV和RMV的Realized GARCH(1,1)模型參數估計

從結果來看，發現不論是改進前還是改進后，每種情況下三種分布的各參數估計結果都比較接近，這說明建立的Realized GARCH模型具有穩健性；基于RV下的模型估計參數在正態分布、t分布和GED分布下的標準誤差幾乎都大于基于RMV下的模型參數的估計標準誤差，基于RMV的參數估計誤差普遍較小，例如，基于RV的模型估計標準誤差在各分布下都在0.16左右，而基于RMV的模型估計標準誤差在各分布下則在0.05左右，GED分布下甚至只有0.005，標準誤差顯著降低。通常似然函數值可以體現模型的擬合效果，不論是基于RMV還是RV的似然函數值，都在t分布下取得最大值，表現最好，其次是GED分布，且遠勝于正態分布下的擬合效果。這表明收益率序列具有尖峰厚尾特征，確實不符合正態分布的假設，用t分布擬合可以得到更好的擬合效果。

(三)波動率的樣本外預測

采用滾動時間窗口方法進行樣本外預測，將2014年1月3日至2020年12月30日共1 705個滬深300指數收益率數據按照4∶1的比例劃分。估計樣本長度為1 364，預測樣本長度為341。其中，i表示滾動周期，當i=0時，則使用序列對Realized GARCH模型進行估計，預測次日波動率。本文選擇滾動周期為一天，即i=1,依此重復滾動預測，得到341個波動率預測值。將得到的341個波動率預測值與真實值進行比較，采用均方誤差MSE和平均絕對誤差MAE這兩個預測評價標準來反映預測效果如何。從表2的結果來看，基于RV的估計結果中MSE顯示正態分布最好，這可能與收益率序列偏度不大有關，MAE則顯示GED分布最好；基于RMV的估計結果中不論是MSE還是MAE，都選擇了GED分布，其次是t分布，正態分布最差。另外，改進后的RMV在三種分布下的估計殘差基本都略小于RV下的模型估計殘差。

表2 預測殘差

(四)VaR風險度量

模型擬合完成之后，投資者往往會關心模型對風險度量的效果如何。為此選擇Kupiec失敗率檢驗法來比較每個模型在不同置信水平下的VaR預測效果。其中，LR值越小，P值越大，模型越精確，可信度越高。

從表4可以看出，在顯著性水平α=0.05時，基于RV的Realized GARCH模型在三種不同分布下LR值都較大，且檢驗的P值均小于0.05，拒絕原假設，說明得到的失敗率與給定置信水平下的失敗率相差較大，風險度量效果較差；而基于RMV的模型在三種分布下LR值明顯減小，且P值都大于0.05，說明風險度量效果較好。在顯著性水平α=0.01時，基于RV下的Realized GARCH模型只有在t分布下的P值較大，大于0.01，可以認為t分布下的風險度量效果稍好一些，在正態分布和GED分布下的P值都小于0.01；而基于RMV下的模型在三種分布下的LR值都很小，且P值遠大于0.01，風險度量效果較好。

表4 預測樣本上Kupiec失敗率檢驗結果

圖3(a)-(f)展示了在99%的置信水平下三種不同分布下RV和RMV的VaR擬合效果。可以看出不同分布下基于RV的收益小于VaR的部分都要少于基于RMV下的部分，說明基于RV的模型與基于RMV的模型相比更低估了風險價值，這和Kupiec失敗率檢驗結果也是一致的。

圖3-a 正態分布下基于RV的VaR預測

四、結論

已實現波動率是高頻波動率模型中體現數據波動的重要測度，本文在RV的基礎上做出改進，得到改進后RMV，以滬深300指數為例，利用Realized GARCH模型對其波動率進行預測研究，得到以下結論。滬深300指數的收益率序列具有明顯的波動聚集特征，且基于正態分布、t分布和GED分布的參數估計結果具有穩健性；由于收益率序列并不符合正態分布假設，兩者都是在t分布下似然函數值最大，模型擬合效果最優，正態分布下效果最差；改進后的已實現波動率相比之前的已實現波動率在殘差上要有所降低，估計精度提高，并且在VaR的預測效果上更好。針對股市高頻數據的波動率的建模，對投資者掌握市場動向具有重要意義，對已實現波動率進行改進并且取得較好的預測效果意味著對已實現測度的選擇仍可以拓展思路，可以通過改進其形式不斷提高模型的擬合效果。