基于Copula函數的漢江流域降水徑流豐枯遭遇研究

王飛宇，張彥，王偲，應其霖，陳婷，于飛龍

基于Copula函數的漢江流域降水徑流豐枯遭遇研究

王飛宇1，張彥2*，王偲3，應其霖4，陳婷5，于飛龍3

（1.中國科學院 地理科學與資源研究所 陸地水循環及地表過程院重點實驗室，北京 100101；2.中國農業科學院 農田灌溉研究所，河南 新鄉 453002；3.江蘇省水文水資源勘測局，南京 210009；4.國網東北分部綠源水力發電公司，沈陽 110170；5.武漢大學 水資源與水電工程科學國家重點實驗室，武漢 430072）

【目的】漢江作為長江最大的支流，探究其流域內降水徑流豐枯遭遇風險對漢江流域水資源科學管理具有重要意義。【方法】基于漢江流域4個水文站徑流及其控制流域的降水數據，利用二維和三維Copula函數構建降水徑流豐枯遭遇聯合分布模型，分析了流域降水徑流豐枯遭遇風險概率。【結果】漢江上游石泉站和白河站徑流量及控制流域降水量間的豐枯同步概率較大，分別為73.06%和73.45%，中游黃家港站豐枯異步概率最大，達45.21%；漢江上中游石泉站、白河站和黃家港站豐枯同步概率呈現出同枯＞同豐＞同平，而下游仙桃站為同平＞同枯＞同豐。漢江上中游石泉站、白河站和黃家港站組合下控制流域降水量間的豐枯同步概率較大，為72.88%；流域內不同站點組合下控制流域降水量的豐枯同步概率呈同平＞同枯＞同豐，徑流量的豐枯同步概率均呈同枯＞同豐＞同平。【結論】漢江流域上游徑流量及控制流域降水量的豐枯一致性較好，下游的豐枯一致性相對較好，而中游的豐枯一致性較差；不同站點組合下控制流域降水量的豐枯具有相對較好的一致性，而徑流量的豐枯同步、豐枯異步概率差異性不顯著。

漢江流域；Copula函數；降水徑流；豐枯遭遇；風險概率

0 引言

【研究意義】受全球氣候變化和人類活動的影響，流域水循環過程發生顯著變化，改變了流域降水徑流關系，對流域水資源管理及社會經濟發展造成影響[1]。降水徑流豐枯遭遇的實質就是同一區域或不同區域間氣象水文變量的組合問題[2]，明晰流域內降水徑流發生豐水或枯水的概率可為流域水資源規劃管理提供理論依據。【研究進展】目前，Copula函數在洪水頻率計算[3-4]、水沙豐枯遭遇分析[5-6]、干旱特征分析[7-8]、水資源供需風險[9]、降水頻率計算[10-11]、水質水量聯合分布[12-14]以及水生態環境穩態關系[15]等方面得到了廣泛的應用，如李子遠等[16]利用Archimedean Copula函數分析了黃河和清水河洪峰發生時間和量級遭遇的風險；何英等[17]、李榮波等[18]和范嘉煒等[19]利用Copula函數分別在葉爾羌河流域、長江流域和潖江河大廟峽流域計算了洪峰流量與洪水歷時的聯合頻率；王深等[20]利用Copula函數建立了渭河流域多水庫聯合洪水風險分布；謝華等[21]利用Copula函數計算了長江、淮河和黃河流域徑流量的聯合概率和條件概率；梁希金等[22]利用三維Copula函數構建了多變量聯合概率模型并分析了雅礱江、鮮水河和慶大河的洪水遭遇風險；陳心池等[23]利用多種Copula函數篩選了漢江中上游流域降水和洪水聯合分布的最優概率模型；馬盼盼等[24]選用Copula函數分析了漢江干支流徑流的豐枯遭遇組合概率。【切入點】結合漢江流域受到氣候變化和人類活動的影響以致其水文情勢比較復雜的現實狀況，開展降水徑流豐枯遭遇研究對漢江流域水資源合理開發利用具有重要意義。【擬解決的關鍵問題】本文基于1965—2018年漢江流域石泉站、白河站、黃家港站和仙桃站等4個水文站的實測徑流數據及流域內氣象站點降水數據，首先優選構建流域內降水量和徑流量的邊緣分布函數，其次利用Copula函數構建流域內各水文站降水徑流的二維和三維聯合分布模型，進而分析漢江流域降水徑流豐枯遭遇的風險概率，研究成果以期為漢江流域水資源管理、防災減災規劃和社會經濟發展提供理論參考和決策支持。

1 材料與方法

1.1 研究區及數據來源

漢江（106°E—114°E，30°N—34°N）是長江最大的支流，同時也是南水北調中線工程、引漢濟渭等跨流域調水工程的水源地，其起源于陜西省漢中市寧強縣，在湖北省武漢市匯入長江，全長約1 577 km，流域面積為15.9萬km2，約占長江流域總面積的9.2%[25-26]。漢江流域地處亞熱帶季風區，氣候溫和濕潤，年平均氣溫為16 ℃，多年平均降水量為887 mm[27]。漢江流域以丹江口以上為上游，地形起伏較大；丹江口至鐘祥為中游，地勢相對平坦；鐘祥以下為下游，地勢平坦形成了江漢平原。

本文基于漢江流域66個氣象站點1965—2018年逐月降水資料，以及石泉站、白河站、黃家港站和仙桃站等4個水文站同時期逐月實測徑流數據，利用Copula函數構建了降水徑流豐枯遭遇聯合分布模型，分析了流域降水徑流豐枯遭遇風險概率。降水資料來源于中國氣象數據網（http://data.cma.cn），對于缺失的降水數據采用線性內插或外延方法進行插補延長。4個水文站徑流數據來源于水文年鑒和長江水利委員會水文局，其中石泉站和白河站位于漢江上游，黃家港站位于漢江中游，仙桃站位于漢江下游。水文站控制流域的面均降水量采用泰森多邊形法推求。漢江流域氣象站點和水文站點分布示意圖如圖1所示。

圖1 漢江流域水文氣象站點分布示意圖

1.2 研究方法

1.2.1 降水量和徑流量豐平枯劃分

目前針對流域降水量和徑流量豐平枯水平年劃分的方法包括基于保證率劃分和距平百分率劃分[28-30]。為了確保流域年降水量和徑流量劃入各等級的年數不能過小，本文在中長期定性預報等級表的基礎上將流域降水量和徑流量根據距平值大小分為豐、平、枯3個等級，距平值小于-10%為枯，距平值在-10%至10%之間為平，距平值大于10%為豐（如表1所示）。

表1 各水文站徑流量及控制流域降水量豐平枯劃分

1.2.2 降水量和徑流量邊緣分布函數建立

在利用Copula函數建立降水量和徑流量的二維或三維聯合分布函數時，首先需構建變量的邊緣分布函數。本文基于指數分布、伽馬分布、對數正態分布和威布爾分布等單變量分布函數形式對各水文站徑流及控制流域降水量進行擬合，并利用Kolmogorov-Smirnov（K-S）檢驗確定最優的邊緣分布函數。降水量和徑流量間的相關性采用Kendall秩相關系數和Spearman秩相關系數[31-32]來衡量。

1.2.3 Copula聯合分布類型

目前Copula函數有多種聯合分布類型，本文的二維聯合分布函數主要采用Gaussian、Frank、Clayton、Gumbel和Copula等5種Copula函數形式，三維聯合分布函數主要采用Gaussian和Copula等2種Copula函數形式，其二維和三維Copula函數聯合分布類型具體的表達式詳見文獻[33]。

1.2.4 Copula函數擬合檢驗和擬合優度評價

Copula函數的選取需依據Copula函數的擬合優度檢驗,本文選用K-S檢驗對Copula函數進行擬合優度檢驗。擬合優度評價方法選取均方根誤差法（RMSE）、AIC準則法和BIC法[33]，其準則均為值越小，擬合優度越好。其中利用K-S對Copula函數擬合優度檢驗的統計量計算式為：

式中：C表示為聯合觀測樣本x=（1k,2k,3k）的Copula函數值；m為聯合觀測樣本中滿足≤x，即同時滿足1≤1k，2≤2k，3≤3k的聯合觀測值的個數。

1.2.5 基于Copula函數的豐枯聯合風險概率計算

本文根據建立的二維及三維聯合分布函數，參照相關文獻[28]推導出二維、三維豐枯聯合風險概率計算公式如表2所示，其中二維豐枯遭遇類型主要有同豐、同平、同枯、一豐一平、一豐一枯和一平一枯6種，三維豐枯遭遇類型主要有同豐、同平、同枯、一豐一平一枯、一豐二平、一豐二枯、二豐一平、二豐一枯、一平二枯和二平一枯9種。

表2 二維、三維豐枯聯合風險概率計算公式

注 在二維豐枯聯合風險概率計算中，豐與枯分別表示某一水文站所控制流域降水量的豐與平、枯與平的臨界值，豐與枯分別表示同一水文站徑流量的豐與平、枯與平的臨界值；在三維豐枯聯合風險概率計算中，豐、豐和豐分別表示第一、第二和第三水文站所控制流域降水量（徑流量）豐與平的臨界值，枯、枯和枯分別表示第一、第二和第三水文站所控制流域降水量（徑流量）枯與平的臨界值。

2 結果與分析

2.1 邊緣分布建立

根據指數分布、伽馬分布、對數正態分布和威布爾分布等邊緣分布函數，對各水文站徑流量及控制流域降水量的邊緣分布函數進行K-S檢驗,可得各水文站徑流量及控制流域降水量對數正態分布函數為最優概率分布函數（圖2）。對各水文站徑流量及控制流域降水量的分布函數進行Spearman和Kendall秩檢驗可知，各水文站徑流量及控制流域降水量間的Spearman秩相關系數均大于0.75，Kendall秩相關系數都大于0.53，且2種秩相關系數在0.01水平（雙側）上顯著相關；各水文站控制流域降水量間的Spearman秩相關系數均大于0.75，Kendall秩相關系數基本上都大于0.51，且2種秩相關系數在0.01水平（雙側）上顯著相關；各水文站徑流量間的Spearman秩相關系數均大于0.77，Kendall秩相關系數基本上都大于0.59，且2種秩相關系數在0.01水平（雙側）上顯著相關。上述研究表明各水文站徑流量及控制流域降雨量間以及各水文站徑流量間或控制流域降水量間均具有較高的相關性，可利用Copula函數構建各水文站徑流量和控制流域降水量間的聯合分布函數。

圖2 各水文站徑流量及控制流域降水量的經驗和理論邊緣分布

2.2 Copula函數的選擇

本文選用Gaussian、Frank、Clayton、Gumbel和Copula函數構建漢江流域各水文站徑流量和控制流域降水量間的二維聯合分布模型，采用Gaussian和Copula函數構建各水文站徑流量或控制流域降水量間的三維聯合分布模型。二維和三維聯合分布模型的參數估計、K-S檢驗以及擬合優度評價結果分別如表3和表4所示。由表3和表4可知，取K-S檢驗的95%置信水平（<（=54，=0.05），各水文站不同Copula函數的統計量均小于0.2617，表明所選Copula函數均通過了K-S檢驗。

利用均方根誤差法（RMSE）、AIC準則法及BIC法對各Copula函數進行擬合優度評價。由表3可知，對于各水文站徑流量和控制流域降水量間的二維聯合分布模型，石泉站、黃家港站和仙桃站Gumbel Copula函數的RMSE、AIC和BIC值最小，表明Gumbel Copula函數擬合優度最好；白河站Frank Copula函數的RMSE、AIC和BIC值最小，表明Frank Copula函數擬合優度最好。

對于各水文站降水量間的三維聯合分布模型，站點組合I、II、III下Copula函數的RMSE、AIC和BIC值最小，故Copula函數擬合優度最好；站點組合IV下Gaussian Copula函數的RMSE、AIC和BIC值最小，故Gaussian Copula函數擬合優度最好。對于各水文站徑流量間的三維聯合分布模型，站點組合I、II、III、IV下Gaussian Copula函數的RMSE、AIC和BIC值均最小，故Gaussian Copula函數擬合效果最優。因此，分別選擇擬合優度最好的Copula函數構建各水文站徑流量和控制流域降水量間的二維聯合分布模型以及各水文站徑流量或控制流域降水量間的三維聯合分布模型。

表3 各水文站徑流量及控制流域降水量間的二維聯合概率分布擬合優度評價

注為對角線上的元素全為1的2階對稱正定矩陣；為Copula函數中描述2個變量相互關系的參數；為自由度。

表4 各水文站徑流量或控制流域降水量間的三維聯合概率分布擬合優度評價

注為對角線上的元素全為1的3階對稱正定矩陣；為Copula函數中描述3個變量相互關系的參數；為自由度。

由圖3和圖4可知，各水文站徑流量和控制流域降水量間的二維聯合概率函數以及各水文站徑流量或控制流域降水量間的三維聯合概率函數的理論頻率與經驗頻率值的擬合情況均較好，表明構建的二維和三維聯合分布模型較為合理。

圖3 各水文站徑流量及控制流域降水量間的理論與經驗頻率擬合圖

圖4 各水文站徑流量或控制流域降水量間的理論與經驗頻率擬合圖

2.3 豐枯遭遇風險分析

2.3.1 各水文站徑流量及控制流域降水量間的豐枯遭遇風險概率

基于優選的Copula函數建立各水文站徑流量及控制流域降水量間的二維聯合分布模型，得到各水文站徑流量及控制流域降水量的聯合分布概率(≤,≤)（圖5）。

由圖5可知，在各水文站徑流量和控制流域降水量都增大時，其聯合分布概率值均呈增大的趨勢，且增大趨勢呈現先緩后急速增加最后變緩的過程。根據表2中二維豐枯聯合風險概率的計算公式計算各水文站徑流量及控制流域降水量間的豐枯遭遇風險概率。由表可知石泉站、白河站徑流量及控制流域降水量的豐枯同步概率均較大，分別為73.06%和73.45%；仙桃站次之，為60.73%；黃家港站最小，為54.79%。而黃家港站徑流量及控制流域降水量的豐枯異步概率最大，為45.21%；仙桃站次之，為39.27%；石泉站和白河站均較小，分別為26.94%和26.55%。綜上所述，漢江流域上游水文站徑流量及控制流域降水量的豐枯一致性較好，下游豐枯一致性相對較好，而中游豐枯一致性較差。另外，漢江中游黃家港站徑流量和控制流域降水量的豐枯同步、豐枯異步的概率接近且豐枯同步的概率稍高，表明黃家港站受到人類活動的影響較大，如丹江口水庫調蓄的影響等。

圖5 各水文站徑流量及控制流域降水量二維聯合概率分布圖

對各水文站徑流量及控制流域降水量的豐枯同步概率分析可知，石泉站、白河站和黃家港站呈現出同枯＞同豐＞同平，而仙桃站呈現出同平＞同枯＞同豐；石泉站同枯概率最大，為31.80%；仙桃站同枯概率最小，為20.41%；仙桃站同平概率最大，為21.48%；黃家港站同平概率最小，為11.02%；白河站同豐概率最大，為23.28%；仙桃站同豐概率最小，為18.84%。對各水文站點徑流量及控制流域降水量的豐枯異步分析可知，石泉站、白河站、黃家港站和仙桃站一平一枯概率均最大，分別為14.83%、15.45%、27.03%和22.71%；黃家港站和仙桃站一豐一平的概率相對較大，分別為15.32%和14.92%；石泉站和白河站一豐一平的概率相對較小，分別為11.94%和10.94%；黃家港站和仙桃站一豐一枯的概率相對較大，分別為2.86%和1.64%；石泉站和白河站一豐一枯的概率較小，分別為0.17%和0.16%。可見，漢江流域中下游水文站徑流量及控制流域降水量豐枯異步的概率大于上游。

表5 各水文站徑流量及控制流域降水量豐枯遭遇風險概率

2.3.2 各水文站徑流量或控制流域降水量間的豐枯遭遇風險概率

基于優選的Copula函數建立各水文站徑流量或控制流域降水量間的三維聯合分布模型，得到各水文站徑流量或控制流域降水量間的聯合分布概率（≤,≤,≤）如圖6所示，其豐枯遭遇風險概率如表6和表7所示。根據各水文站控制流域降水量間的豐枯遭遇風險概率（表6）可知，站點組合I豐枯同步概率較大，為72.88%；豐枯異步概率相對較小，為27.12%；站點組合II、III、IV的豐枯同步和豐枯異步概率均相差不大，豐枯同步概率分別為60.29%、60.15%和60.92%，豐枯異步概率分別為39.71%、39.85%和39.08%，說明4種水文站組合控制流域的降水量具有相對較好的一致性。在豐枯同步中，4種水文站組合的豐枯同步概率呈現出同平＞同枯＞同豐，站點組合I同豐、同平和同枯的概率最大，分別為17.17%、31.91%和23.80%；站點組合III同豐的概率最小，為13.43%；站點組合II同平的概率最小，為26.63%；站點組合IV同枯的概率最小，為18.76%。在豐枯異步中，4種水文站組合的一平二枯概率最大，其次為一豐二平、二豐一平和二平一枯，一豐一平一枯、一豐二枯和二豐一枯的概率最小；站點組合I一豐二平、二豐一平、一平二枯和二平一枯的概率最小，分別為4.07%、5.78%、11.38%和5.54%；站點組合II一豐二平和二豐一平的概率最大，分別為6.77%和9.06%；站點組合III一平二枯的概率最大，為16.78%；站點組合IV二平一枯的概率最大，為9.88%。

圖6 各水文站徑流量或其控制流域降水量間三維聯合概率分布圖

根據各水文站徑流量間的豐枯遭遇風險概率（表7）可知，站點組合I、II、III、IV豐枯同步概率分別為59.72%、53.46%、52.82%和59.73%，豐枯異步概率分別為40.28%、46.54%、47.18%和40.27%，可見4種水文站組合下徑流量豐枯同步和豐枯異步的概率接近，且豐枯同步的概率稍高。在豐枯同步中，4種水文站組合豐枯同步概率呈現出同枯＞同豐＞同平，站點組合IV同豐的概率最大，為21.95%；站點組合II同豐的概率最小，為18.41%，且同平的概率最大為5.07%；站點組合Ⅰ同平的概率最小，為3.14%，且同枯的概率最大為35.13%；站點組合II同枯的概率最小，為29.98%。在豐枯異步中，4種水文站組合下一平二枯的概率最大，其次為一豐二平、二豐一平、二平一枯和一豐一平一枯，而一豐二枯和二豐一枯的概率最小；站點組合I一豐一平一枯的概率最大，為4.09%；一豐二平、二豐一平、一平二枯和二平一枯的概率最小，分別為6.07%、8.00%、13.13%和5.93%。站點組合II一豐二平和二豐一平的概率最大，分別為7.41%和10.06%；站點組合III一平二枯和二平一枯的概率最大，分別為15.75%和7.68%；站點組合IV徑流量一豐一平一枯的概率最小，為2.83%。

表6 各水文站控制流域降水量間的豐枯遭遇風險概率

表7 各水文站徑流量間的豐枯遭遇風險概率

3 結論

1）漢江上游石泉站和白河站的徑流量及控制流域降水量豐枯一致性較好，下游仙桃站豐枯一致性相對較好，而中游黃家港站豐枯一致性較差；漢江中游黃家港站徑流量和控制流域降水量的豐枯同步、豐枯異步的概率接近且豐枯同步的概率稍高；漢江上中游石泉站、白河站和黃家港站豐枯同步概率呈現出同枯＞同豐＞同平，下游仙桃站豐枯同步概率呈現出同平＞同枯＞同豐；漢江中下游水文站徑流量及控制流域降水量豐枯異步的概率大于上游。

2）漢江上中游石泉站、白河站和黃家港站控制流域降水量間的豐枯同步概率較大，為72.88%，且豐枯同步概率呈同平＞同枯＞同豐，豐枯異步概率相對較小，為27.12%。漢江流域4種水文站組合下徑流量豐枯同步、豐枯異步的概率差異性不顯著且4種水文站組合下徑流量豐枯同步概率呈現出同枯＞同豐＞同平，其中站點組合IV的徑流量同豐概率最大，為21.95%。

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Using Copula Model to Analyze Consecutive Wetting-drying Occurrence in Rainfall-runoff in Hanjiang Basin

WANG Feiyu1, ZHANG Yan2*, WANG Cai3, YING Qilin4, CHEN Ting5, YU Feilong3

(1.Key Laboratory of Water Cycle and Related Land Surface Processes, Institute of Geographic Sciences and Natural Resources Research, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100101, China; 2. Farmland Irrigation Research Institute,Chinese Academy of Agricultural Sciences, Xinxiang 453002, China; 3. Jiangsu Province Hydrology and Water Resources Investigation Bureau, Nanjing 210009, China; 4. State Grid Luyuan hydropower company, Shenyang 110170, China;5. State Key Laboratory of Water Resources and Hydropower Engineering Science, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

【Objective】Hanjiang is the largest tributary of the Yangtze River. The purpose of this paper is to analyze the consecutive occurrence of wetting-drying in rainfall and runoff in order to improve water resource management in this basin. 【Method】The analysis was based on runoff data measured from four hydrological stations and precipitation measured from a control catchment in the basin. The joint distribution of wetting-drying for rainfall and runoff was constructed using the two- and three-dimensional Copula functions. The risk probabilities of occurrence of wetting-drying for rainfall and runoff were calculated.【Result】The probability of consecutive occurrence of wetting and drying between runoff and rainfall at Shiquan and Baihe stations in the upper reaches in the basin were higher, being 73.06% and 73.45% respectively. The probability of consecutive occurence of wetting and drying at Huangjiagang station in the middle reaches of basins was the highest, reaching 45.21%. The probabilities of consecutive occurrence of wetting and drying at Shiquan, Baihe and Huangjiagang stations in the upper and middle reaches of basin was ranked in the order of dryness > synchronous wetness > synchronous normal, while at Xiantao station in the lower reaches, the synchronous wetness-dryness probability showed the synchronous normal > synchronous dryness > synchronous wetness. The synchronous wetness-dryness probabilities of rainfall in the control catchment for the combination of Shiquan, Baihe and Huangjiagang stations in the upper and middle reaches of the HRB were higher, 72.88%; the synchronous wetness-dryness probabilities of rainfall in the control catchment under different combinations of stations showed the synchronous normal > synchronous dryness > synchronous wetness, and that of runoff showed the synchronous dryness > synchronous wetness > synchronous normal.【Conclusion】The consistency of wetness and dryness for runoff and rainfall in the upper and lower reaches of the basin was good and fairly good, and is poor in the middle reaches. The wetness-dryness of rainfall in the control catchment under different stations has relatively good consistency, while the difference between the synchronous and asynchronous wetness-dryness probabilities of runoff was not significant.

Hanjiang River Basin; Copula function; rainfall and runoff; wetness-dryness encountering; risk probability

王飛宇, 張彥, 王偲, 等. 基于Copula函數的漢江流域降水徑流豐枯遭遇研究[J]. 灌溉排水學報, 2022, 41(8): 95-105.

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1672 - 3317（2022）08 - 0095 - 11

P333

A

10.13522/j.cnki.ggps.2021546

2021-11-05

美麗中國生態文明建設科技工程專項資助項目（XDA23040304）；河南省自然科學基金項目（212300410310）；河南省科技攻關項目（212102311144）；中央級公益性科研院所基本科研業務費專項項目（FIRI2022-01）

王飛宇（1992-），女。博士，主要從事流域水循環模擬研究。E-mail: wangfy.14s@igsnrr.ac.cn

張彥（1989-），男。助理研究員，主要從事水資源與水環境研究。E-mail: zhangyan09@caas.cn

責任編輯：趙宇龍