時變需求下基于隨機干擾和部分預支付的易腐品庫存控制

陳金葉，彭揚

（1.浙江經濟職業技術學院，浙江 杭州 310018；2.浙江工商大學，浙江 杭州 310018）

0 引言

庫存管理是企業為提高庫存使用效率并降低庫存成本而采取的一系列策略。庫存控制系統的主要目標是在不降低顧客滿意度和服務水平的前提下提高企業的總利潤。Harris于1913年提出第一個庫存模型，即經典的經濟訂貨批量（EOQ）模型。而庫存管理中經典的訂貨批量模型都是基于每批次生產或接收的產品都符合所有質量要求這一假設，與實際情況存在差異，是傳統EOQ庫存模型研究中的一個重要限制。近年來，庫存管理實踐過程中出現的“供應干擾”問題吸引了眾多研究者的關注，拓展出更多數學模型應用于現實庫存控制問題。此外，由于供應商之間競爭加劇、上漲的通貨膨脹率以及取消訂單等因素，供應商通常會要求零售商提前預付。

Parlar和Berkin在經典訂貨批量模型中考慮了供應中斷問題，假設僅供應商，構建了考慮機器故障的生產與庫存模型。Yano和Lee的研究重點是供應過程的中斷及其對產量不確定性的影響。Parlar和Perry提出了隨機干擾下的雙供應商庫存控制模型，他們假設在不同的參數下，可以使用指數概率分布函數來模擬供應商的供應中斷。Babich研究了供應商的相互依賴和風險如何影響供應鏈、制造商的采購和生產、供應商的定價策略以及供應鏈中每個成員的利潤。Chen，等將庫存控制模型擴展到兩個可靠和不可靠的供應商，第一個供應商可能會被中斷，但是第二個供應商在中斷期間提供有限的供應能力。Hishamuddi，等運用數學模型研究了生產過程中斷下供應鏈的恢復問題，提出一種啟發式算法求解最佳的修復方案，使供應鏈的總成本最小化。Wang，等對存在隨機中斷的多階段庫存控制問題進行了周期性回顧。Snyder將確定性需求和隨機供應中斷引入經典的EOQ模型，研究了最優訂購策略。供應中斷可能由不同的原因（運輸問題、工人罷工、自然問題等）而引發。近年來，研究人員已經開始關注庫存控制系統中的供應中斷問題和延遲交付。Skouri，等研究了帶有延遲訂單的單級庫存模型，其中有一批有缺陷的產品被拒絕，該模型類似于考慮供應中斷干擾的經濟訂貨批量問題。Salehi，等提出了一個部分延遲訂貨的EOQ模型，考慮了由于質量問題導致的供應鏈中斷，他們采用“全部或無”策略，即該批次產品完全被接受或者完全被拒絕。Taleizadehet，等考慮了現實情況中可能發現的供應鏈中斷情況，研究了部分延遲支付和隨機中斷下的庫存成本結構變化，并給出了最優的訂購策略。Konstantaras，等考慮了獨立內生供應中斷的經典訂貨批量問題，采用獨立的伯努利過程研究了由（S,T）庫存策略控制的單級庫存配置問題。

而對于高季節性的產品或者易于腐敗變質的產品來說，賣方通常會要求買方預付一定的采購費用來降低風險，而作為回報，買方得到準時的交貨保證或價格折扣等。Zhang建立了考慮固定預付費用的庫存控制模型，推導出最優訂購策略。Maiti，等研究了預付策略下具有價格依賴需求的隨機庫存控制模型。Teng，等認為針對有季節性需求的變質商品，供應商通常要求零售商預付采購成本的一部分作為定金，而變質商品的保質期是買方作出購買決定的重要因素。在研究中假設隨著保質期的臨近，產品的變質率逐漸增加，構建了季節性需求產品庫存控制模型，并給出全局最優決策。

國內對于易腐品庫存控制的研究主要是將經典的訂貨批量模型拓展到不同的需求函數或不同的支付策略。賈濤，等研究了在銷售單一品種的易腐品供應鏈中，假設銷售商在獲得供應鏈上游供應商延時還款的同時，也從供應鏈下游顧客處獲得了部分預付款，分三種情況討論了銷售商的成本構成，并由此建立數學模型以求解最優訂貨周期，使得銷售商單位時間總成本最小化。段永瑞，等主要對需求受展示區庫存水平影響的易腐品訂購和轉運問題進行了研究。李嘉音，等基于需求依賴庫存的一般商品的庫存模型，以單一易腐品為研究對象，考慮零售貨架空間有限和商品在零售商倉庫及貨架腐敗速率的差異，建立了單一易腐品模型，并分析了零售商如何尋求最優訂貨策略和補貨策略的問題。彭揚，等構建了基于部分預付策略，不允許缺貨、部分短缺以及完全短缺三種情況下的易腐品庫存控制模型，給出了零售商最優訂貨周期和最優訂購批量的求解算法。崔玲，等考慮到市場需求不僅受零售商庫存量的影響，而且常依賴于零售商的延期支付策略，研究了易腐商品需求同時依賴于庫存量與延期支付期限的兩級延期支付庫存策略問題。周熙登考慮了兩層次延期支付，其供貨商提供給批發商延期支付期策略，同樣批發商提供給零售商延期支付策略，建立了在商業信用條件下具有隨機缺陷率產品的庫存決策模型，然后得出批發商在不同情況下的最優訂貨周期、訂購數量的簡單判定方法。林峰，等基于商業信用額度構建了零售商關于易腐品的訂購決策模型。通過分析零售商資金機會成本的不同形式，得到零售商關于易腐品的五種不同的成本函數表達式。結合數學證明可以得到零售商五種目標函數的性質，以及在商業信用額度條款下零售商最優的訂購決策。曹裕，等研究了具有保質期的易變質產品批量訂貨決策，考慮了不存在缺貨與缺貨部分積壓問題，引入零售商向供應商提前支付購置成本的支付方式，探究了零售商對于易變質產品的庫存控制策略。

根據上述文獻綜述，基于部分預支付和部分延遲訂購下同時針對買方可能面臨的隨機中斷情況的易腐品經濟訂貨批量問題研究不多，并且相關研究中鮮少考慮預支付所產生的資金成本和部分延遲訂購產生的延期交貨成本。在易腐品市場中，供應商如何通過部分預付策略降低經營風險，獲取采購保證以及零售商需要面臨供應隨機中斷情況下的訂購風險等都是實際訂購中需要考慮的問題，均可成為易腐品庫存控制的研究方向。本文建立了基于隨機干擾和部分預支付條件下部分延遲交貨的經濟訂貨批量模型?？偝杀竞瘮蛋ü潭ㄓ嗀洺杀尽⒉少彸杀?、庫存持有成本、資金成本、變質成本、延期交貨成本和損失的銷售機會成本。給出了具體的模型以及零售商最優訂貨周期與最大收益的決策算法，并且在推導出理論結果后進行了數值實驗和靈敏度分析，最后從管理分析角度提出了決策建議。

1 符號表示與條件假設

1.1 符號表示

模型中所用到的主要符號見表1。

表1 模型參數與變量

1.2 條件假設

模型的假設條件為：（1）供應鏈內有一個供應商銷售單一產品給零售商，計劃期無限長，瞬時補貨，不考慮訂貨提前期和運輸能力限制；（2）供應商要求零售商在訂單下達時將采購費用按照一定次數分批預支付，零售商可在預付期內分批將的采購費用分成期支付，在零售商收到訂貨后，需要按照合同立即支付貨款比例的(1)給供應商；（3）產品為易腐品，市場需求率與時間以及庫存有關，且產品僅在庫存階段出現變質情況，變質率為常數(01)；（4）考慮允許缺貨且缺貨部分延遲情況；（5）供應商不完全可靠，供貨批次低于質量標準的概率是固定的（缺陷交付），缺陷交付事件是相互獨立的；（6）每次供貨到貨后都要進行檢驗，如果發現有缺陷，就予以拒收，整個系統實行“全接收或全退回”策略；（7）無緊急交付，不合格批次的總數量按常規添加到下一個交付周期。

2 模型構建

圖1 T'=2T時基于隨機干擾和部分預支付的易腐品庫存控制模型

本文的需求方程中，假設在庫存降為零以后，由于拖后率是等待時間的遞減函數，即存在部分顧客由于等待時間過長而造成銷售機會損失，則其需求率可由式（1）表示：

則訂購批量(0)()。

在一個訂貨周期[0]內，庫存系統的成本包括：固定訂貨成本、庫存持有成本、采購成本、資金成本、延遲交貨成本、變質成本、機會成本，除固定訂貨成本外，其余成本分別為：

由泰勒公式可知：

總成本為以上幾部分的總和，即為：

平均成本為：

則目標函數平均成本可以轉換為以下形式：

其中：

情形一：

方程Δ()可寫成：

由于()0無根，則()在定義域上嚴格大于0或者嚴格小于0，又因為(0)≤0，則()在定義域[01]上應嚴格小于等于0。

由計算可得：

情形二：

方程Δ()可寫成：

由于()0無根，則()在定義域上嚴格大于0或者嚴格小于0。(0)≤0，則()在定義域[01]上嚴格大于0。將()代入Δ()中，則：

將代入()中，可得：

3 數值實驗和靈敏度分析

3.1 數值實驗

本文數值試驗參數設置見表2。

表2 參數賦值

計算可得最優解為：=0.147 7，=0.754 3，=187.055 3，=339 86。

3.2 靈敏度分析

為了研究各參數值變化對最優解的影響，進行以下數值分析。

由于庫存系統成本中有部分成本項目相同，包括固定訂貨成本、采購成本、資金成本、庫存持有成本、延遲交貨成本、變質成本、機會成本，所以本文將對部分相關參數的靈敏度進行分析，將各參數分別變化-60%、-30%、30%、60%，令其他參數不變，逐一進行計算，結果見表3。根據表3的計算結果，可得以下結論：

表3 靈敏度分析

隨著參數的變化，未出現變化，、和都出現明顯變化；隨著參數d增加，最優訂貨周期降低，而最優訂貨批量增加，反之亦然；總成本出現與參數d相似的改變。

隨著參數的變化，未出現變化，和出現明顯變化，出現較小變化；隨著參數A增加，最優訂貨周期和最優訂貨批量隨之明顯增長，總成本出現微弱增長趨勢，反之亦然。這是因為隨著固定訂貨成本的增加，為了平衡總成本，庫存系統會相應減少采購次數，提高訂購批量和延長訂購周期。

隨著參數的變化，、和出現較小變化，變化不明顯（靈敏度較小，可忽略不計）；隨著參數增長，最優訂貨周期、和最優訂貨批量均隨之小幅度降低，反之亦然。這是因為隨著變質率上升，庫存系統需要減少平均庫存量來降低整體庫存損耗，所以最優訂貨周期和訂貨批量都會降低。

隨著參數的變化，、、和均出現較小變化，隨著參數增加，最優訂貨周期、最優訂貨批量和總利潤出現微弱的增長趨勢，出現微弱的降低趨勢，反之亦然。這是因為隨著單位時間資金成本率的增加，庫存系統中的資金成本增加，所以總成本會有所降低，反之亦然。

隨著參數的變化，、、和均出現較小變化，隨著增加，最優訂貨周期、最優訂貨批量和總成本出現微弱的增長趨勢，出現微弱的降低趨勢，反之亦然。這是因為供應商要求零售商提前支付的采購成本比例增加會導致整個庫存資金成本的增加。

隨著參數C的變化，、和均出現較小的變化趨勢，變化不明顯（靈敏度較小，可忽略不計）。隨著C增加，最優訂購周期、和最優訂購批量均出現下降趨勢，總成本出現微弱的增長趨勢，反之亦然。

隨著參數r的變化，、、和均出現一定程度的變化。隨著r增長，最優訂購周期出現明顯下降趨勢，和最優訂購批量出現明顯增長趨勢，總成本出現較小程度的增幅。這是因為庫存周期控制依賴于每批次由于不合格而被拒收的概率，若概率增加，零售商將通過縮短訂購周期和提高訂貨批量以應對隨機干擾風險。

隨著參數的變化，、、和變化不明顯（靈敏度較小，可忽略不計）。

隨著參數的變化，、、和均出現較小程度的變化。隨著增加，、和出現較小的增幅，出現較小幅度的降低，反之亦然。

4 管理分析

本文定量地分析了隨機干擾情況下易腐品供應鏈中的經濟訂貨批量和庫存控制問題，在部分預支付條件下對零售商成本構成進行了詳細分析。分別從供應商和零售商的角度出發，提出最優決策，從而降低各自的經營和采購風險。綜合以上模型的數值實驗和算例分析可知，對于零售商而言，更傾向于選擇批次處理不合格概率更低、預付比例更少、預付周期更短、預付款分批次數更多的供應商。對于供應商來說，如果產品質量和供應保障能力較高，可以適當要求零售商支付部分采購成本，這樣可以降低供應商經營風險，獲取采購保證。在應對供應商要求提供更高百分比的預付款的，零售商可以通過向供應商要求延長預付款支付周期長度來平衡這種利益關系。

5 結語

對于易腐品，常用的庫存管理策略僅適用于正常的市場環境中，在庫存管理決策面臨隨機干擾時，最終決策往往不受限于最優性決策。由于易腐品的特殊性，考慮實踐中的隨機干擾情況，現有的庫存控制模型并不能滿足庫存管理決策需要，基于此，本文建立了隨機干擾下的經濟訂貨批量模型。考慮在庫存控制系統中，零售商在接受每個批次之前均進行抽樣檢查，如果檢驗員在該批次中發現一件次品，則該批次貨物不合格，零售商將拒絕接受。假設每批次出現貨物不合格為隨機事件，服從概率分布，則庫存系統的周期取決于批次不合格的概率。拒收后直接導致所需物品的供應中斷。為使模型適用于現實情況，還考慮了供應商要求部分預支付條件下部分延遲交貨的經濟訂貨批量模型。構建了具體的模型以及零售商最優訂貨周期與最大收益的決策算法，并且在推導出理論結果后進行了數值實驗和靈敏度分析，最后從管理分析角度給出決策建議。但是在模型構建中未考慮供應商中斷對產品價格的影響，也未考慮常見的提前銷售策略。在未來的研究中，可以從總利潤角度出發，考慮基于延遲支付策略和隨機干擾影響產品價格的最優庫存控制決策。