具有附屬質量和剛度的梁振動特性分析*

王 明，高芳清,2，陳良杰

(1.西南交通大學 力學與航空航天學院，四川 成都 611756； 2.西南交通大學 應用力學與結構安全四川省重點實驗室，四川 成都 611756)

0 引 言

梁結構是工程中應用最為廣泛的一種力學模型，梁結構橫向剛度較小，極易在服役期間產生共振現象，從而導致結構損壞。

W. L. LI[1]提出了改進傅里葉級數的方法，該方法在傳統傅里葉級數方法的基礎上增加了一項輔助多項式函數，成功解決了梁在邊界上存在的不連續性問題。Ece等[2]研究了變截面各向同性梁的振動問題。M. ICHIKAWA等[3]研究了多跨梁的動力學特性。Lin等[4]研究了具有多個彈簧-質量的梁的自由振動。方宇等[5]針對火炮發射對炮管的振動，研究了移動質量對懸臂梁結構振動的影響。鮑四元等[6]使用改進的傅里葉級數法研究了彈性邊界對單跨梁振動的影響。肖偉等[7]分析了彈性邊界對梁結構振動頻率的影響，計算了一般邊界條件下梁結構受迫振動的響應特性。宋超等[8]用傳遞矩陣法研究彈性邊界對多跨量結構振動的影響。陳正能等[9]研究了帶有集中質量的懸臂梁結構自由端對梁固有頻率的影響。陳玉坤等[10]研究了幾何尺寸、材料屬性和邊界條件對FGM梁振動特性的影響規律。陳明飛等[11]基于一階剪切變形理論，采用等幾何有限元方法對任意曲率的功能梯度曲梁進行自由振動分析。劉瑞杰等[12]針對正交各向異性梁的振動問題，基于卡雷拉定理建立了多種邊界下正交各向異性梁結構的振動分析模型。高晟耀等[13]為了解決各向異性直梁和曲梁自由振動分析問題，依據三維理論、采用等幾何有限元方法建立了振動分析理論模型。楊莎莎等[14]基于三維彈性理論，建立了受任意邊界條件約束的功能梯度梁的自由振動分析模型。Zhang等[15]使用改進的傅里葉級數對具有任意耦合角的三維梁結構進行了自由振動分析。Chen等[16]建立了彈性邊界下旋轉梁的傅里葉級數解。

現有研究的梁結構主要關注彈性邊界梁、功能梯度梁，對具有附屬結構梁的研究較少。實際工程中存在著大量可簡化為具有附屬結構的梁模型，如在橋梁上行駛的車輛、工作中的塔吊結構等。筆者以具有附屬質量、附屬剛度的梁為研究對象，以改進的傅里葉級數法為研究方法，研究附屬結構對梁振動特性的影響。為實際工程中復雜梁結構的簡化計算提供了理論依據。

1 具有附屬結構梁的理論模型

1.1 彈性邊界梁的理論模型

考慮細直梁的彎曲振動。如圖1所示，設梁的長度為l，截面面積為s，材料的密度為ρ，彈性模量為E。在梁的兩端分別布置位移約束彈簧和旋轉約束彈簧，位移約束彈簧的剛度系數記作k0、k1，旋轉約束彈簧的剛度系數分別記作K0和K1。通過改變約束彈簧的剛度系數即可模擬固定、簡支、自由等多種約束的組合形式以及彈性邊界條件。

圖1 彈性邊界梁模型

等截面梁結構的控制方程為：

(1)

經典梁結構理論中，在對結構進行振動分析時，往往將結構的邊界條件取為自由、簡支、固定等幾種邊界條件的組合形式以方便計算，而實際結構的邊界條件更多的是彈性邊界。

1.2 梁結構的位移函數

傳統的傅里葉級數的導數在端點處會產生不連續現象，通過增加四項輔助正弦函數使位移容許函數滿足求解域內2階導數連續且3階導數存在，從而有效地克服邊界上可能存在的不連續性問題。梁結構的位移函數可表示為：

(2)

式中：Am，Bn為未知的傅里葉系數；λm=mπ/l，λn=nπ/l。

將上式用矩陣形式表示為：

Y=Nδ

(3)

式中：N=[cosλmx，…，sinλnx]，表示改進傅立葉級數系；δ=[Am，…，Bn]T，表示廣義的位移變量。

1.3 根據Rayleigh-Ritz能量法的求解過程

首先對梁結構系統的能量進行描述，包括梁結構的彎曲應變能、動能、邊界彈簧所存儲的勢能和外部激勵所做的功。細直梁結構忽略了旋轉和剪切效應，因此系統的彎曲應變能可表示為：

(4)

系統的動能表示為：

(5)

根據式(4)、(5)，即可求得系統的剛度矩陣和質量矩陣。

1.4 具有附屬結構梁的振動

附屬結構包括附屬質量、附屬剛度、附屬支撐等，梁的邊界條件可歸類為位于邊界位置的附屬支撐。如圖2所示為彈性邊界梁模型。

圖2 彈性邊界梁模型

下面給出附屬結構能量的表達式，附屬質量所存儲的附加動能表示為：

(6)

式中：Cm為控制附屬質量的系數；x0、x1為附屬質量的位置區間。

當附屬質量變為集中質量時，可表示為：

(7)

式中：xc為附屬集中質量的作用位置。

附屬剛度所存儲的附加應變能表示為:

(8)

式中：Ck為附屬剛度控制系數；x0、x1為附屬剛度的作用區間；xc為附屬集中剛度的作用位標注置。

彈簧所存儲的勢能包括位移和旋轉所引起的勢能，彈簧存儲的位移勢能表示為：

(9)

彈簧存儲的旋轉勢能表示為：

(10)

式中：ks和Kr分別為位移約束彈簧和旋轉約束彈簧的剛度；xc為彈簧的位置。

在梁結構原有的動能或變形能中增加附屬結構的附屬動能或附屬勢能，即可得到結構總的動能和勢能，分離出廣義位移變量δ即可得到系統的質量矩陣M和剛度矩陣K。梁結構系統振動的標準特征式為：

(K-ω2M)δ=0

(11)

通過求解方程的特征值和特征向量，即可得到系統的固有頻率和振型。

2 方法的收斂性分析

梁結構橫向振動的固有頻率與梁結構的長度、抗彎剛度、密度以及截面面積有關，計算結果采用結構的圓頻率進行描述，同時對結果進行無量綱處理，無量綱圓頻率公式為：

(12)

為方便后續描述邊界條件，將各個邊界條件記作：固定(C)、簡支(S)、自由(F)、彈性(E)。

2.1 彈簧剛度的設置

彈簧剛度的取值與邊界條件的模擬有關。為探討彈簧剛度的取值問題，需要研究彈簧剛度與梁系統無量綱頻率之間的關系。按照表1所給出的彈簧剛度進行分析。

表1 彈簧邊界條件設置

如圖3所示，給出了改變旋轉約束彈簧剛度時，梁結構橫向振動的前五階固有頻率的變化規律。隨著彈簧剛度的增加，固有頻率逐漸收斂。當k在0～4時，無量綱固有頻率值存在一段較為緩慢的上升區域，在此之后逐漸保持不變或者改變量極?。划攌取值大于6時，計算結果已收斂或者滿足精度要求，因此，下文中將取k值為8，表示完全的旋轉位移約束。

圖3 旋轉約束剛度與梁無量綱頻率的關系

如圖4所示，給出了位移約束彈簧剛度改變對梁結構橫向振動的前五階固有頻率的影響。從圖中可以看出，當k取值為0～2時，梁結構的無量綱頻率緩慢增加；當k取值在2～5時，梁結構的無量綱頻率具有較為明顯的上升階段；當k取值大于6時，梁結構的無量綱頻率幾乎不再具有明顯的變化。對比各階頻率，低階頻率上升階段緩慢，上升區間較窄，這反應了彈性邊界對高階頻率的影響更大，在計算高階頻率時選擇彈性邊界條件會更精確。下文中將取k為8，表示梁結構橫向位移的完全約束，取值k為4，表示梁結構位移的彈性約束。

圖4 位移約束剛度與梁無量綱頻率的關系

2.2 傅里葉級數截斷值的設置

表2給出了改進的傅里葉級數展開階數在4～11時，兩端固定梁結構的前四階無量剛頻率。隨著截斷數值M的增加，無量綱頻率逐漸趨近于精確值。對于低階頻率，即使在展開階數較小時仍具有很好的計算精度，表明了文中方法的有效性和收斂性。傅里葉級數的展開階數會影響結果的計算效率和精度，選取合適的截斷值可以在滿足計算精度的基礎上盡可能地減少計算量，提升計算效率。在同時考慮計算效率和精度時，文中選取展開階數為6進行分析計算。

表2 C-C邊界下展開階數與無量綱頻率的關系

2.3 經典邊界下梁的頻率計算

為更好地對比本方法的有效性，以幾種經典邊界下的梁結構為計算模型，將文中方法所得結果與有限元解對比。如表3所列。有限元計算采用商業軟件ABAQUS，梁模型長度為1 m，單元數量為20，單元類型為b21。

表3 經典邊界下梁的振動特性

觀察表3中給出的經典邊界條件下梁的前四階無量綱頻率，發現文中所給方法是有效且高效的。

3 附屬結構對梁的振動特性影響

以懸臂梁為研究的基礎模型，在懸臂梁上增加附屬質量或附屬剛度，分別研究附屬質量、附屬剛度的大小、位置對梁結構振動特性的影響。

3.1 附屬質量對梁振動的影響

在懸臂梁的中點位置增加附屬集中質量，通過改變系數計算梁的前四階頻率。

表4給出了附加集中質量點的懸臂梁前四階頻率。觀察表中數據，梁的第一階、第二階及第四階頻率明顯下降，但梁的第三階頻率保持不變。

表4 具有附屬集中質量梁的頻率

為研究附加集中質量位置對梁結構頻率的影響，在懸臂梁固定端，每l/5間隔增加附屬集中質量，系數Cm=0.5。

表5給出了不同位置下附屬質量對梁頻率的影響，圖5給出了梁的前四階頻率。相比于無附屬質量的梁，梁的頻率減小。當附屬集中質量靠近振型的節點時，對梁的對應頻率影響較小。觀察圖中懸臂梁結構的第三階振型，其中一個節點位于0.5l附近，這也解釋了上文中發現的懸臂梁此處增加附加質量時，結構的頻率幾乎未改變的現象。

表5 不同位置附屬質量梁的頻率

圖5 懸臂梁前四階振型系

3.2 附屬剛度對梁振動的影響

在懸臂梁距離固定端0.4l～0.6l的區間內增加附屬局部剛度。

表6給出了具有附屬剛度梁的頻率。隨著附屬剛度的增加，梁的頻率也增大。

表6 具有附屬剛度梁的頻率

在研究附屬剛度位置對梁頻率的影響時，將懸臂梁均勻劃分為五個區間，在每個區間內分別增加附屬剛度，區間由固定端向自由端編號，編號順序為1～5。表7給出了不同位置下附屬剛度對梁頻率的影響。

表7 不同位置附屬剛度梁的頻率

圖6給出了梁前四階頻率的二階導數。由數學知識可知，振型的二階導數反應了振型不同位置的彎曲程度，當附屬剛度位于振型曲率較大的位置時對相應的頻率影響更大。因此在實際機械設計和應用中，可以針對梁結構的服役環境頻率，對梁結構的相應振型做出優化和控制。

圖6 梁前四階振型的二階導數

4 結 論

文中基于改進的傅里葉級數法建立了具有附屬質量和附屬剛度的梁系統模型。通過數值計算，主要有以下結論。

(1) 通過驗證計算模型，表明彈性邊界條件會影響梁的頻率，特別是梁的高頻計算使用彈性邊界更精確。將改進的傅立葉級數法應用于梁結構的振動分析，可以高效地求解任意邊界梁的振動特性，為機械結構的設計、優化和控制提供理論依據。

(2) 增加附屬質量會降低梁的頻率，當集中質量點靠近梁振型的節點時影響較小，反之影響較為明顯。根據不同的目的可以選擇合適的位置進行附加質量，如安裝監測類儀器時需要保證自身的穩定，可選擇節點附近進行安裝；對梁結構的振動檢測和控制時應避開節點位置。

(3) 通過增加附屬剛度會增加梁的頻率，當附屬剛度位于振型較為彎曲的位置時，對相應頻率影響更大。在工作頻率相對應的振型較為彎曲的位置附加剛度，可以有效地提高頻率，避免結構因共振造成損失。