含移動副間隙曲柄滑塊機構動態特性研究*

張楷源，李圣雨，楊羽中，彭 柱，尹來容

(1.長沙理工大學 汽車與機械工程學院，湖南 長沙 410114; 2.衡陽泰豪通信車輛有限公司，湖南 衡陽 421099；3.湖南九宮格智能科技有限公司，湖南 長沙 410205)

0 引 言

受加工誤差、工作磨損、機械設計間隙配合等客觀因素的影響，間隙不可避免的存在于機械結構中，并為系統帶來沖擊、混沌、精度下降等負面效應。移動副是機械系統中最為常見的運動副，存在于其中的間隙不可忽略。移動副間隙最早由Wilson和Fawcett關注，由于柴油機活塞與氣缸套內壁之間存在間隙，因此導致了振動與噪聲問題[1]。Farahanchi和Shaw[2]研究了不同間隙尺寸、軸承摩擦、曲柄轉速和沖擊參數對系統周期響應的影響。Flores[3]提出了一種含移動副間隙剛體多體系統建模方法。Zhuang和Wang[4,5]給出了基于經典庫侖摩擦定律的移動副多剛體系統動力學的LCP(線性互補法)及HLCP(水平線性互補法)建模及數值方法，將移動副幾何約束視為雙邊約束，有效捕捉到了滑塊低速運動時的粘-滑轉變現象。Wang等[6]將移動副中的滑塊視為柔性體，由于柔性滑塊與導軌接觸狀態和摩擦情況比較復雜，因此采用有限元建立了柔性滑塊的力學模型，給出含移動副間隙機械系統動力學方程的數值算法。Wu等[7]聚焦于空間移動副特有的滑塊和導向表面之間的不完整面接觸的情況，以簡化曲柄壓力機模型為研究對象，采用變剛度接觸力模型計算面接觸力。Qian等[8]建立了帶間隙移動副的三維模型，根據滑道與滑塊接觸段尖端的矢量關系，提出了一種區分碰撞過程中兩個元素之間位置關系的接觸檢測方法。

筆者采用數學方法描述含間隙移動副中滑塊與導軌之間發生的碰撞、分離、連續接觸等非線性行為，并結合仿真結果，預測含移動副間隙機構動力學行為，定性分析移動副間隙對機械系統動態特性的影響。對于機械設計、機械性能改善、機械裝備開發等具有指導意義。

1 移動副間隙數學模型

圖1為移動副間隙模型，H為導軌上下邊界的垂直距離、W為滑塊寬度、L為滑塊長度、c為間隙尺寸，其大小為c=(H-W)/2。

圖1 移動副間隙模型

由于移動副間隙會導致滑塊與導軌之間發生接觸碰撞，因此建立有效的接觸檢測模型是研究的關鍵。圖2為接觸檢測模型，將移動副間隙分為滑塊1和導軌2兩部分，P為導軌上表面一端點，A、B、C、D為滑塊四個角點，設定單位法向量n=[0,1]T，單位水平向量t=[1,0]T。由于導軌為水平放置，單位法向量垂直于導軌。以滑塊角點A的接觸檢測為例，存在幾何關系為：

圖2 接觸檢測

(1)

假設導軌上距離A最近的點為潛在接觸點A′，存在幾何關系為：

(2)

其中：

(3)

當角點A發生侵徹時存在關系為：

nTδ<0

(4)

侵徹值大小可表示為：

(5)

點A速度vA可表示為：

(6)

點A法向速度即為侵徹速度，其表達式為：

(7)

點A切向速度vTA可表示為：

vTA=(tTvA)t

(8)

2 接觸力模型

滑塊與導軌之間存在多種接觸形式，為提升所建立模型的精度，需針對不同接觸形式，采用適合的法向接觸力模型來衡量法向接觸力。對于角接觸，由于接觸區域很小，在滑塊拐角處可視為存在一個小圓角，因此可視為球面與平面的接觸，采用考慮能量耗散效應的L-N接觸力模型[9]：

(9)

(10)

(11)

對于面接觸，如圖3所示，由于接觸區域為矩形且有效尺寸相對于接觸物體尺寸及表面相對曲率較大，因此不滿足赫茲接觸假設前提條件[10]。文中采用變剛度彈性接觸力模型，接觸剛度與接觸面積有關[7]。以滑塊上表面為例，當發生面接觸時，有如下關系：

圖3 面接觸矩形接觸區域

(12)

S=4ab

(13)

2a=Ls

(14)

式中：S為接觸矩形區域面積；a和b為接觸區域矩形的寬與長的一半；Ls為滑塊厚度。

面接觸力計算公式為：

Fn=Kδ

(15)

廣義接觸剛度K與接觸面尺寸的變化相關，可由下式表示：

(16)

摩擦力作為一種復雜的作用力對系統的動態響應產生顯著影響，選擇合理的摩擦力模型至關重要。為充分考慮相對運動速度較低時摩擦力的高度非線性特點，采用Peter Brown提出的粘滯-滑移轉變的連續摩擦力模型[11]，圖4為其特性曲線，它的表達式如下：

圖4 考慮粘-滑轉變的連續摩擦力模型

(17)

式中：Ft為切向摩擦力；vr=‖vT‖/vt，vT為相對運動速度，vt是過渡速度，表示由粘滯階段向滑移階段開始轉變的速度；μd和μs分別為動摩擦系數和靜摩擦系數。

3 含移動副間隙曲柄滑塊機構多體動力學建模

圖5為含移動副間隙的曲柄滑塊機構，曲柄長度L1=0.05 m、質量m1=0.3 kg、轉動慣量J1=0.000 1 kg·m2；連桿長度L2=0.12 m，質量m2=0.21 kg，轉動慣量J2=0.000 25 kg·m2；滑塊長度L=0.05 m、滑塊寬度W=0.05 m、滑塊厚度Ls=0.05 m、質量m3=0.14 kg、轉動慣量J3=0.000 1 kg·m2；恢復系數e=0.9、彈性模量Ek=207 GPa、泊松比vk=0.3。

圖5 含移動副間隙曲柄滑塊機

平面多體系統獨立位置約束方程組形式為：

φ(q,t)=0

(18)

式中：t是顯式時間變量，方程組的數量等于系統中存在的獨立約束的個數。

上述方程組對時間求一階導，可得系統速度約束方程為：

(19)

上述方程組對時間繼續求導得到系統加速度約束方程為：

(20)

根據第一類拉格朗日方程可得到表達式為：

(21)

式中：M為廣義質量矩陣；λ為拉格朗日乘子數組；Q為外力數組。

通過聯立式(19)、(20)，得到多體動力學增廣方程式為：

(22)

4 仿真分析與結果討論

采用MATLAB內置的ode45變步長積分算法求解系統微分方程組，可以在保證精度的同時有效避免因步長過小而導致積分效率低的問題。

為探究間隙尺寸對含移動副間隙曲柄滑塊系統的影響，分別對不同間隙尺寸的系統進行仿真，曲柄輸入速度均為500 r/min，選取同一時間區間數據繪制曲線圖。如圖6所示，隨著間隙尺寸逐漸減小，滑塊質心加速度曲線波動峰值逐漸減小，這說明間隙尺寸的減小會顯著降低滑塊碰撞接觸力的大小，因為較小的間隙可以限制驅動力或外力對滑塊非理想運動方向做功，從而限制了滑塊在碰撞方向獲得動能的能力。通過進一步觀察發現，隨著間隙尺寸的減小，滑塊質心加速度曲線由碰撞導致的波動由大幅值低頻率向小幅值高頻率轉變，這說明較小的間隙尺寸會導致高頻率的微小碰撞，據此可以推斷小尺寸間隙有助于增加滑塊與導軌的接觸頻率。

圖6 不同間隙尺寸滑塊質心X方向加速度曲線

衡量系統動態行為的一個重要指標是系統運動的周期性，圖7展示了不同間隙尺寸下滑塊質心Poincaré圖，包含了系統穩定后的三個連續驅動周期。通過觀察發現隨著間隙尺寸減小，局部峰值發生位置隨驅動周期由分散轉變為聚集直到重疊，這說明在驅動速度等其他參數不變的前提下系統響應隨間隙尺寸減小而逐漸呈現周期性。

圖7 不同間隙尺寸滑塊質心Poincaré圖

驅動速度作為系統的關鍵要素對系統性能產生不可忽視的影響，為探究驅動速度與系統運動特性的關系，分別在曲柄處施加不同大小的勻速驅動，截取并記錄系統在穩定運行后的兩個周期，圖8展示了曲柄不同轉速下滑塊質心X方向加速度曲線。加速度局部峰值隨轉速降低而減小，而峰值發生頻率隨轉速降低而增加，這說明當曲柄轉速降低時，滑塊處發生的非線性行為由劇烈而稀疏的碰撞轉變為微小而密集接觸。進一步觀察，發現當驅動速度為低速時(100 r/min)，加速度曲線中波動方向始終與滑塊運動方向相反，這說明滑塊在低速運動時受重力作用只與導軌下表面發生接觸，摩擦力成為影響系統運動特性的主要因素。圖9為曲柄不同轉速下滑塊質心Poincaré對比圖。

圖8 不同驅動速度滑塊質心X方向加速度曲線

圖9 不同驅動速度滑塊質心Poincaré圖

通過觀察發現曲柄轉速在1 500 r/min、1 000 r/min、500 r/min三種狀況下局部峰值散布程度并沒有較為明顯區別，當曲柄轉速為100 r/min時，局部峰值的出現呈現明顯的均勻散步，并且三個驅動周期峰值發生位置具有重疊的趨勢。這說明系統低驅動轉速下更趨向于周期性響應。

5 結 論

文中建立了移動副間隙的數學模型，針對不同接觸形式采用合理的接觸力模型描述滑塊與導軌間的接觸行為。將所建立的間隙模型引入曲柄滑塊機構多體動力學模型中，并開展了仿真分析，結論如下。

(1) 文中所建立的間隙模型是有效的，能夠準確捕捉含間隙系統的復雜的動力學行為。

(2) 較小的間隙尺寸有助于減輕系統的混沌程度，緩解沖擊的劇烈程度，但間隙尺寸過小將導致高頻振蕩。驅動速度對于滑塊與導軌間的接觸行為產生顯著影響，較低的驅動速度有助于獲得周期性響應。

(3) 在工程實際中需要充分考慮移動副間隙的影響，可以通過合理限制間隙尺寸與驅動速度來改善含間隙機械系統動態特性。