“誰先到達”時間類模型面面觀

鄭令元

(山東省濟南市章丘中等職業學校)

高中物理學習過程中,經常會碰到一類問題,涉及的問題情境為幾個物塊從不同的軌道上同時下滑,求哪個物塊先到達指定位置.為了更好地解答該類試題,筆者對該類試題加以概括和總結,希望對讀者有所幫助.

1 等邊模型

模型背景1如圖1所示,三個相同的物塊在a、b、c三個光滑傾斜軌道頂端靜止釋放,a、b、c三個光滑傾斜軌道與水平面的夾角分別為60°、45°、30°,問哪個物塊先到達底端?

圖1

解析設三個斜面的共同底邊長度為L,任一斜面的長為s,則,因斜面光滑,所以物塊做加速度a＝gsinθ的勻加速直線運動.由公式得小球運動的時間為t＝.由三角函數知識得,當θ＝45°時,時間有最小值,為,即b物塊運動到底端時間最短.

模型背景2如圖2所示,三個相同的物塊在a、b、c三個光滑傾斜軌道頂端由靜止釋放,a、b、c三個光滑傾斜軌道與水平面的夾角分別為30°、45°、60°,問哪個物塊先到達底端?

圖2

解析設三個斜面的共同高度為h,則任一斜面的長,因斜面光滑,所以小球做加速度a＝gsinθ的勻加速直線運動.由,得小球運動的時間為

由三角函數知識得,θ越大,物塊下滑的時間越短,即c物塊運動到底端的時間最短.

例1(2021 年全國甲卷)如圖3所示,將光滑長平板的下端置于鐵架臺水平底座上的擋板P處,上部架在橫桿上.橫桿的位置可在豎直桿上調節,使得平板與底座之間的夾角θ可變.將小物塊由平板與豎直桿交點Q處由靜止釋放,物塊沿平板從Q點滑至P點所用的時間t與夾角θ的大小有關.若角θ由30°逐漸增大至60°,物塊的下滑時間t將( ).

圖3

A.逐漸增大 B.逐漸減小

C.先增大后減小 D.先減小后增大

解析設PQ的水平距離為L,由運動學公式可知可得,可知θ＝45°時,t有最小值,故當θ由30°逐漸增大至60°時下滑時間t先減小后增大.答案為D.

例2如圖4所示,圓柱形的桶內有三塊長度不同的滑板AO、BO、CO,其下端都固定于底部圓心O,而上端則擱在桶側壁上,三塊滑板與水平面的夾角依次是37°、45°、53°.若有三個滑塊同時從A、B、C處開始下滑(忽略阻力),則( ).

圖4

A.A、B處滑塊同時到O點

B.A處滑塊最先到O點

C.C處滑塊最先到O點

D.B處滑塊最先到O點

解析根據牛頓第二定律,可得滑塊在斜面上有mgsinθ＝ma,加速度a＝gsinθ.斜面的長度則有

即tB＜tA＝tC,即滑塊從B下滑先到O點,從A、C下滑同時到O點.答案為D.

2 等時圓模型

模型背景如圖5 所示,一條光滑弦與水平方向的夾角為α,圓的直徑為d.物體沿光滑弦做初速度為零的勻加速直線運動,加速度a＝gsinα,位移x＝dsinα,故運動時間t0＝,即沿同一起點或到達同一終點的各條光滑弦運動時間相等,與弦的傾角、長短無關.

圖5

例3如圖6所示,有一半圓,其直徑水平且與另一圓的底部相切于圓心O點,現有兩條光滑軌道AB、CD,兩軌道都經過切點O,A、B、C、D四個點分別位于上下兩圓周上,現讓一物塊先后從兩軌道頂端A、C由靜止下滑,經O點至底端B、D,則物塊在兩段傾斜軌道下滑經歷的時間關系為( ).

圖6

A.tAO＜tCOB.tAO＞tCO

C.tAB＞tCDD.tAB＝tCD

解析設AB與水平方向的夾角為θ,上邊的圓半徑為R,下面的半圓半徑為r,如圖7所示.由前文結論得tAO＝,所以tAO＝tCO.AB的長度為L＝2Rsinθ＋r,根據運動學公式可得,解得

圖7

可見,傾角越大,sinθ越大,滑塊下滑的時間越短,所以有tAB＞tCD,選項C 正確,選項D 錯誤.答案為C.

3 單擺模型

模型背景在通常情況下,很多物體的運動模型可等效為單擺模型.等效單擺的周期公式可以廣義地表示為,式中l′為等效擺長,g′為等效重力加速度.如果擺球的運動軌跡點是一小段圓弧,其軌道半徑R與等效擺長l′相等,即l′＝R.

例4如圖8 所示,傾角為θ的斜面MN上的B點固定一光滑圓弧槽AB(對應的圓心角小于10°),其圓心在B點正上方的O點,另外,光滑斜面OC和OD的下端亦在MN上,讓可視為質點的小球分別無初速度出發,從A點到達B點的時間為tB,從O點到達C點的時間為tC,從O點到達D點的時間為tD.比較這三段時間,正確的是( ).

圖8

A.tB＝tC＝tDB.tD＞tC＞tB

C.tB＞tD＞tCD.tB＞tC＝tD

解析構建等效單擺模型,由單擺運動的等時性可知,從A點到達B點的時間OD垂直于MN,由幾何知識可知OD與豎直方向夾角為傾角θ,則OD段為解得.分析可知OC與OB的夾角α小于θ,則OC段為,則tC＜tD,所以tB＞tD＞tC,故選項C 正確,選項A、B、D 錯誤.答案為C.

總體來看,“誰先到”時間類題目,其實就是牛頓第二定律的應用,要知道物體受力,再求物體的運動.當然,有些題目需要作適當的輔助線才能解答.

(完)