構造直角三角形及其外接圓解決物理問題
——從2022年全國乙卷理綜第16題談起

王棟然

(寧夏銀川市第九中學)

高中物理習題常見以“圓形”為載體的情境,例如光滑圓軌道、半圓形玻璃磚等.巧妙利用圓形中蘊含的幾何規律往往是行之有效的解題策略.在以“圓形”為情境載體的物理習題中,利用“直徑所對應的圓周角為直角”這一規律來構造直角三角形是解決問題的常用方法.2022年全國乙卷理綜第16題的解題方法就利用了該規律.

1 尋找距離關系

例1(2022年全國乙卷)固定于豎直平面內的光滑大圓環上套有一個小環,小環從大圓環頂端P點由靜止開始自由下滑,在下滑過程中,小環的速率正比于( ).

A.它滑過的弧長

B.它下降的高度

C.它到P點的距離

D.它與P點連線掃過的面積

圖1

解析本題考查的物理情境是豎直平面內的圓周運動,其依托的數學圖形即為“圓形”.題目探究與小環速率成正比的物理量.本題是一道半定量問題,需要利用物理方程求解.求解小環的速率,應當選擇動能定理.設小環下滑高度為h,則由動能定理得.可見,速率的平方與下降高度成正比.

那么速率與什么物理量成正比呢? 如圖2所示,假設小環下滑到M點,作過P點的直徑,交圓于另一點Q,設大圓環半徑為R,則PQ＝2R.連 接MP、MQ,構 造Rt△MPQ,過M點作PQ的垂線,垂足為N.由題意得PN為下降高度h,PM為環到P點的距離d.

圖2

因為△MPQ∽△NPM,所以

綜上,在小球下滑過程中,小環的速率正比于它到P點的距離.答案為C.

2 探尋重力場中“等時圓”模型規律

高中物理中的“等時圓”模型的建立也利用了“直徑所對應的圓周角為直角”這一規律.如圖3-甲所示,A為豎直平面內的圓周頂點,B、C、D為圓周上的點,AE為直徑.AB、AC、AD為三個光滑斜面.以AD為例進行研究,如圖3-乙所示,設AD與AE間的夾角為α,連接DE,構造出Rt△ADE,則AD＝2Rcosα,物塊在AD上由靜止下滑時,有mgcosα＝ma,,與α無關,所以物塊沿以A點為起點的光滑弦斜面下滑,時間相同.同理可證,在圖3-丙中物體從光滑弦斜面DA、CA、BA下滑時間也是相等的.這就是重力場中的“等時圓”模型.在證明其等時性時需要構造直角三角形及其外接圓.

圖3

例2如圖4所示,AB和CD為兩條光滑斜槽,它們各自的兩個端點均分別位于半徑為R和r的兩個相切的圓上,且斜槽都通過切點P.設有一重物先后沿兩個斜槽從靜止出發,由A滑到B和由C滑到D,所用的時間分別為t1和t2,則t1與t2之比為( ).

圖4

解析本題是“等時圓”模型的拓展與變形,可將“等時圓”模型的處理方法遷移過來.如圖5 所示,選擇AB斜槽展開研究,設過P點的直徑分別交大、小圓于M、N點,AB與豎直方向夾角為α,連 接AM、BN,構 造Rt△AMP與Rt△BNP,則AB＝2Rcosα＋2rcosα,重物在AB槽由靜止下滑時,有mgcosα＝ma,,聯立解得,與α角無關,所以重物沿兩個斜槽從靜止出發下滑時間相等.答案為B.

圖5

3 探尋惠更斯“等時圓”規律

如圖6-甲所示,一束白光以入射角θ由空氣射到半徑為R的半圓形玻璃磚表面的A處,AB是半圓的直徑,白光折射后色散的邊界紅光為AD,紫光為AC.選擇紅光進行研究,如圖6-乙所示,連接BD,構造Rt△ADB,設紅光的折射角為α,則紅光的光程r＝AD＝2Rsinα,若玻璃磚對紅光的折射率為n,根據折射定律有,紅光在玻璃磚中的速度,光程r＝vt,聯立解得.可見時間t是定值,與折射率無關,即色散后各色光到達玻璃磚圓弧面的時間相等.

圖6

其實,上述結論也可用惠更斯原理證明(惠更斯原理:介質中任一波面上的各點,都可以看作發射子波的波源,其后任意時刻,這些子波在波前進方向的包絡面就是新的波面).如圖6-丙所示,過B點作A點入射光線的平行光線BB′,過A點作BB′垂線,垂足為M.由惠更斯原理可知,A與M點位于同一波面,介質中紅光AD的D點與B點位于同一波面.紫光AC的C點也與B點處于同一波面,其他色光同理.所以無論是紅光還是紫光或是其他色光,從A點傳播到玻璃磚圓弧面的時間都等于白光在真空中從M點傳播到B點的時間.我們將玻璃磚圓弧面所在的圓平面稱為“惠更斯等時圓”.它的物理規律的探尋也同樣需要構造三角形及其外接圓.

例3(2008年全國Ⅰ卷)一束由紅、藍兩單色光組成的光線從一平板玻璃磚的上表面以入射角θ射入,穿過玻璃磚自下表面射出.已知該玻璃對紅光的折射率為1.5,設紅光與藍光穿過玻璃磚所用的時間分別為t1和t2,則在θ從0°逐漸增大至90°的過程中( ).

A.t1始終大于t2

B.t1始終小于t2

C.t1先大于后小于t2

D.t1先小于后大于t2

解析本題如用解析法計算將非常復雜,但是利用惠更斯等時圓則可以巧妙解決.如圖7所示,因為玻璃對紅光的折射率為1.5,所以紅光的最大折射角的正弦值,紅光的最大折射角小于45°,藍光的最大折射角必然小于45°.

如圖7所示,構建惠更斯等時圓.從圖中可見紅光的實際光程小于與藍光AL等時的光程AH,所以在平板玻璃磚中紅光傳播的時間始終小于藍光傳播的時間.答案為B.

圖7

在以“圓形”為載體的物理情境中,“圓形”往往起著提供幾何關系的作用,在解題時,不妨試著利用“直徑所對應的圓周角是直角”這一規律,或許可以使解題更便捷.

(完)