解構·結構·建構
——基于“圓的認識”單元探討“空間與圖形”的有效教學

浙江省杭州市杭州師范大學附屬競潮小學 倪燦東

“圓的認識”是小學階段唯一的曲線平面圖形單元，也是小學數學教材中非常傳統的一個內容，它涉及的知識點包括認識圓的基本概念以及各部分名稱，學會畫圓，熟練掌握圓的周長、面積計算，會用圓的知識解釋生活中的問題。可見，這個單元知識點密集、目標諸多。筆者在教學該單元后，針對學生在單元練習中的種種錯誤進行了錯因分析（見表1）。

表1 “圓的認識”單元練習題常見錯誤統計

諸多現狀值得深思，再次面對這個教學內容時，筆者試圖從整體教學視角開始思量它的改進之法。

一、溯源思考——重新審視單元目標定位

整體教學側重對單元教學目標的理解和把控。回到原點思考，“圓的認識”這一單元教學究竟是為了什么？“圓的認識”屬于空間與圖形的領域，與其他幾何圖形類似，其核心要求是學生對幾何圖形自身表征的認識及圖形的測量等相關內容的掌握。通過本單元的學習讓學生掌握圓的概念，知道圓的周長和面積的求法，并能解決相關的實際問題，同時發展學生的空間觀念。

上述狀況的出現，是教育的理想與現實之間的落差，也就是目標定位的問題。細究產生落差原因，對教師來說主要是缺乏主導的自信，被分數所牽，在教學中處于“被教”的狀態；對學生來說主要是空間的表象支撐不夠，為題目所累，缺少認知間的連結能力，思維產生定勢。

如何適時適當適度地加以改進，既兼顧知識技能的獲得，又實現空間能力的培養呢？筆者提出以下兩點教學設想：

1.知識間的網絡式的結構，不僅有助于知識的習得，更使學生在貫與聯的學習方法中形成有效的知識鏈。嘗試從單元整體教學入手，把對形的認識和度量用聯系的觀念適當整合。本單元以圓的教學為內容，既包容了圖形的一維空間（形的認知）又兼容二維空間（形的度量）的認識，是小學階段較為集中的空間觀念的學習，具有一定的典型性。

2.六年級的學生已經積累了一定的學習空間圖形的經驗，可以讓學生從特定的角度，采用一定的學習方式，利用先前學習的經驗，充分發揮主觀能動性進行學習。

二、實踐策略——精心構建空間認知體系

1.活動經驗——解構圓形的美

對學生來說，圓是一個并不陌生的圖形，生活中處處可見，但它又與由直線構成的圖形有所區別。因此在由線段構成的平面圖形經驗逐漸固化時，曲線圍成的圖形的出現必然會產生認知上的沖突。這些看似有利或不利的經驗均可以作為教學的助推點。

（1）解構教材體系，明確教學目標

本單元的主要內容包括：圓的特征、圓的周長和面積計算。作為知識的基礎便是平面圖形的認知。知識技能是顯性的要求，而從更為寬泛的要求看，學生的空間觀念、空間思維能力等都要獲得同等發展，兩者又相互作用，不能顧此失彼。因此，教師無論在教學哪塊知識時，都要與總體要求掛鉤，與總目標加以聯系，做到胸有成竹，既不失偏頗，又游刃有余。

學生對于圓的知識有一定的生活經驗，并不陌生，所以“學習開始的地方不一定在課堂”，教師要充分利用和調動學生的生活經驗，強化概念的建立。

比如，教學完“圓的認識”一課后，出示一組數據，讓學生說說圓的直徑或半徑是多少，然后想一想，這樣的圓會是生活中的什么物體。

?

學生知識儲備的差異和個性的差異，往往會影響到他們參與學習活動的整個過程。這樣的練習不是單純地找直徑與半徑的關系，而是與生活中的現象聯系起來，同時也為學習圓的周長或面積埋下了伏筆。

又如，車輪為什么都是圓形的？以這樣一個與生活緊密相連的問題作為對圓的認識的總結，引發學生的思考，不單只為解決與此相關的一個問題，其實是引導學生整合自然、社會、歷史等各個領域將“圓”的功能有效地挖掘，放大圓的文化特性和實用價值，在與生活對話中挖掘圖形所散發的獨特功能魅力。

（2）多重感官參與，豐富表象積累

對于一個概念的認識，尤其是幾何圖形表征的建立，更要充分調動學生的視覺、觸覺、聽覺等各種感官來共同參與，才能對空間與圖形的特征準確清晰地把握。

在教學圓的認識時，筆者以“畫”為載體，充分挖掘和調動學生的各方面能力，把對圓的認識由表及里，由模糊到清晰的過程展示出來。

試水“畫”：布置課前作業，要求學生試著去畫圓，想想你能用哪些方法畫，能畫出大小不一樣的圓嗎？

作業展示，互評。

生：因為圓是由一條曲線圍成的，十分的光滑，不能徒手畫，要有工具的。

師：那你們是怎么畫的？

生1：我是用一個圓形蓋子，繞一圈畫成的。

生2：我是用圓規畫的……

交流畫法的過程，其實就是對圓的感性認識加理性識別的過程。

畫圓是認識圓的一個基本要求，所以課堂上的練習必不可少。標注圓心，畫上直徑與半徑等均可讓學生在手指間的操作中完成，在交流畫不同大小和位置的圓時，我們也可畫得更生活化一些，如引出五環，重疊的圓環等。

圓心決定圓的位置

半徑決定圓的大小

從畫同樣大小但不同位置的圓到畫不同大小卻同一圓心的圓，教師利用這樣的畫圓經歷引導學生對圓的知識點有了新的認識，而且立足于不同的學生對于圓的初步印象，有的放矢地加以引導，達到對圓由表及里的認識。

提升“畫”：在介紹圓的認識時，我們會以“一中同長也”這一句古話作為圓的本義的再次應用。如果讓學生體驗到“一畫可識圓也”的異曲同工之妙，印象深刻，回味無窮。

讓學生嘗試畫一畫。在開始的試畫中，教師已讓學生明白“沒有規矩無以成方圓”這句話中的“矩”就是圓規。事實上當第一節課出現用圓規畫圓后，學生已鮮有機會再用圓規畫圓。因此，讓學生有足夠的機會和時間用尺規畫圓顯得很有必要。于是，筆者重新梳理一些組合圖形讓學生畫一畫（主要內容均可從后續教材中求周長、面積中獲得）。

圖1

圖2

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

對于圖3這樣的圖形，學生由不會到會，由不規范到規范，有一個過程。在畫中學生再次認識到圓的特征，明白了它與我們學過的圖形的結合方式，為組合圖形的學習奠定了基礎。教師還可以出示如下的圖形，讓學生想象并說說它們是怎樣畫出來的。

圖3

圖A

圖B（注：左邊的圖均為畫的過程。）

在操作圓規的過程中，學生收獲的不僅是我會畫了，重要的是知道了圖形間的關系是怎么組成，并潤物無聲地為后續學習圓的周長和面積做了準備。

2.思維歷練——結構空間觀念

學習過程中充分調動學生的主觀能動性，讓思維參與其中，才是真正意義上的學習。對于圓的教學要求，我們不單是讓學生會算周長和面積，會解決一些簡單的問題，重要的是在這樣的練習和思考過程中形成一種思辯的數學思維。

（1）殊途同歸促思考，再進一步現意境

在教學周長的內容時，一道讓學生疑惑的題引起了筆者的重視。

如果只是單純地解決這個問題并不是很困難，只需將兩條路徑計算出來對比即可。當學生對計算的結果將信將疑，滿臉帶著“為什么會這樣”的神情時，老師問：“難道這是巧合嗎？”

學生隨即想出幾種方案：（1）換一組數據再計算。（2）用字母代替計算。結果發現計算的結果都一樣。而且從字母代表的數據中更能發現這個規律。設橙色小圓的直徑為a。那么螞蟻B所走的路徑就是一個直徑為a的圓的周長，就是πa。螞蟻A所走的路徑就是半徑為a的半圓周，即2πa÷2＝πa。

隨之拓展：那如果下方的兩個半圓不一樣大呢？如果再多幾個半圓呢？

接下來的思考變得更有趣了，學生在探索的過程中，漸漸明白其中的道理，更體會著數學學習的樂趣。一道看似簡單的問題，由疑問開啟一個不同尋常的意境。

（2）化圓為方找共通，體驗轉化顯思維

聯系和溝通是關系學中的重要一環，其實我們的學習又何嘗不是呢？圓的面積這塊內容，能充分體現一個圖形與曾經學過的圖形間的關系，而這種關系蘊含著諸多的因素。首先，圓是個曲邊圖形，與我們以前學習的平面圖形有所不同。其次，圓面積公式的推導要比長方形、平行四邊形、三角形等直邊圖形面積推導困難些。其模式可設定為“化歸思想”助學生經歷一個“直覺的極限過程”——在“觀察有限分割”的基礎上“想象無限分割”。

課堂教學要化難為易，抓住問題的核心來解決。

第一環節：

師出示學過的平面圖形：同學們，這些平面圖形的面積都會求嗎？回憶一下它們的面積公式是怎么來的？簡要概括都是通過轉化變成長方形（或平行四邊形）而來的。

師繼續提問：今天我們要學習求圓的面積，你覺得剛才這些平面圖形的面積求法對你有什么提示或幫助？因為有了教材的閱讀和課外的部分經驗，馬上有學生說把圓分割成大小相等的扇形，再拼成長方形就可以了。一部分同學馬上贊同。

師：可以平均分割成幾份呢？

生1：四份、八份……

生2：越多越好，這樣我可以把這些小扇形看作是小三角形，三角形面積是底乘高除以2，這些拼起來后就是圓的周長乘高（半徑）除以2，求出圓的面積。

生3：還可用這些扇形拼成別的圖形。

第二環節：

教師根據學生的提議操作，可能拼成什么呢？

看著這些“四不像”的圖形，部分學生有些疑惑。

生1：如果分得多一點的話，會更像。

看似不經意的一句話，學生的思維實則跨出了一大步。

第三環節：

師補問：那你們想象一下，除了可以拼成長方形，還能拼成其他圖形嗎？

師：課后嘗試把一個圓平均分，像今天上課這樣拼成長方形，再拼成你所想到的圖形。

第三環節會有一定難度，但事實證明學生是感興趣的，而且表現出很大的探索欲望。這也是“讓不同的人在數學上得到不同的發展”的一種體現。

3.循序漸進——建構數學素養

有人說，數學學習的真正目的就是為了培養學習者的數學素養。那么在幾何與圖形的學習過程中我們又可以培養學生的哪些數學素養呢？

（1）滲透思想沁本源，有的放矢慢積累

“化曲為直”、滲透“極限思想”、在變化中尋找變與不變的數量，既是空間知覺的鍛煉，也是辯證關系的滲透。前面論述中圓的面積公式的推導中就蘊含著重要的數學思想。我們以前學過的平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式的得出，都是運用轉化的思想把圖形轉化成會求面積的圖形。而本單元的圓的面積計算公式的推導，仍要運用到這一重要的數學思想。以等積變形的思想為例，在圓與其他圖形的組合中，幻生出更多的變化，而這些變化卻有萬變不離其宗的規律。

比如，我們在教學中可以讓學生通過舉例歸納等方法，探究一個正方形中最大的內接圓與正方形的關系（見表2）。

表2 正方形中最大的內接圓與正方形的關系

通過討論，學生發現此時正方形的面積與圓的面積之比是4∶π。

隨即我們可以繼續出示：諸如這樣的圖形，它們又是什么關系呢？

第一層：大小有變化，數量關系沒變。

第二層：形狀有變化，面積沒變。

第三層：只要正方形的周長不變，所有陰影部分的面積總是相等的。

在不斷的深入與變化中，等積守恒的思想在學生心中慢慢生成。可見，幾何圖形的具象性為化解抽象而隱性的思想提供了很好的圖表說明。

（2）重視語言表思路，互為關聯言行思

在幾何概念的教學中，數學語言的培養也很重要。數學化的語言交流和符號表達是揭示事物共同屬性的思維形式。小學生的年齡特征，決定了他們對圖形的識別活動處于以表象為主的直觀辨認水平逐步向以特征為主的初級概念判斷水平發展的階段，這種發展的中介就是用語言概括、描述形體的特征。我們要以學生發展的長遠目標出發，在日常教學中重視這種素養的培養，讓學生在同伴的引領、師生的糾錯和自我的調整中，提高數學語言表述的精度和嚴謹。

（3）形成網絡重結構，整體建構促發展

在圓的認識單元中，筆者設計了一節“玩轉圓”的復習課。

師布置要求：每個人想象一個自己喜歡的圓，與同桌玩一玩。

在復習課上，受理性的學習遷移，我們通常會用圖表或分層的形式把學習內容進行梳理，知識整理的條理性較強。但有時嘗試著用感性的思維進行描述性的陳述，適當的歸類，也可達到預期的效果。

三、實踐再反思——形成空間觀念養成機制

學生的空間觀念培養，并非一蹴而就，它涉及到眾多的要素，協同而成。綜上只是以“圓的認識”單元整體契入為例，旨在通過“整體感知→部分感悟→整體回顧”的整體教學意識融入教學的過程，促成學生幾何空間觀念養成的一點實踐探索。

1.解構教材，豐厚表象，從經驗中認識。從整體的角度看問題，較之單一的視角，教師所呈現出來的教學視野肯定是不同的。最重要的是在處理教學環節、設計練習時會用迥然不同的角度和方法。基于對幾何與圖形領域的空間培養要求，對于單元教學的整體把握，固本培元，有了正確的方向與目標引領，我們才能打開自己的思路，立足學生的現實，為學生量身定制數學活動，獲取活動經驗，在多重經驗與感觀參與下有效建立幾何概念。

2.結構體系，強化認知，從思索中前行。將知識納入到學生的原有認知系統中，找到圖形間的聯系和主要區別，在聯系和比較中進一步建立幾何概念。在教學中，偏重于結果，忽略過程，造成的最大損失就是對學生思維能力訓練的缺失。看似繁瑣的過程，對每個學習者來說卻意義非凡——我聽過，可能忘記；我看過，我會記得；我做過，我就明白了。思維的歷練需要每個學習者的用心參與。

3.建構思想，滲透方法，于自然中得法。知識的建構不只是一種掌握，更是各種數學思維品質的綜合。在幾何概念的教學中，作為教師要樹立大數學觀，通過各種形式的學習，建立寬泛的空間觀念、應用概念，促進學生融會貫通，完善概念，建立穩固的幾何模型思想。現在新課程所提倡的幾何直觀，是幾何概念的跨越式應用，讓思想的滲透不再顯得生硬，讓數學語言同樣開出奇葩，用發展的意識指導實踐，于自然中得法。

總之，在教師的反思與改進中，不斷選擇適合學生的學習方式，有效建立學生的空間觀念、解構知識，以豐富的表象促成認知；結構知識，在聯和促的過程中加深認識；建構整體，把知識、技能和思想相互融合，提升學生數學學習的思維含量，養成良好的品質，增強數學學科素養。