Hudson模型適用性及儲層微觀建模應(yīng)用*

石志奇 劉振峰 陳天勝 李 超 何 曉 陳德華

(1 中國科學(xué)院聲學(xué)研究所 聲場聲信息國家重點實驗室 北京 100190)

(2 中國石油化工股份有限公司石油勘探開發(fā)研究院 北京 100083)

(3 中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

(4 北京市海洋深部鉆探測量工程技術(shù)研究中心 北京 100190)

0 引言

裂縫型儲層因具有孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜、流體充填狀態(tài)不均勻、各向異性以及多組多尺度裂縫發(fā)育等特征，給裂縫的地震探測和表征研究工作帶來許多困難。等效介質(zhì)理論是研究復(fù)雜非均質(zhì)各向異性儲層的有效方法，其核心思想就是將復(fù)雜的非均質(zhì)體等效為一個理想均質(zhì)體，二者具有相同的物理性質(zhì)。Hudson 模型將裂縫微觀參數(shù)與宏觀彈性參數(shù)聯(lián)系起來，在裂縫地震探測和表征中得到廣泛應(yīng)用。

Hudson[1-2]在長波長近似和理想連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)條件下，針對稀疏、孤立分布的單組硬幣狀裂縫，基于散射理論提出了Hudson 模型，將裂縫介質(zhì)的彈性模量等效為各向同性背景基質(zhì)彈性模量與裂縫存在導(dǎo)致的彈性模量修正項之和，成功將裂縫微觀性質(zhì)(密度、縱橫比)與地震宏觀性質(zhì)(彈性參數(shù))聯(lián)系起來；此后Hudson[3]采用平滑方法將模型推廣至二階裂縫密度，以擴(kuò)大Hudson 模型適用范圍。Hudson 模型以解析形式簡單、考慮裂縫間的耦合作用和可以分析散射引起的地震波衰減效應(yīng)等優(yōu)點而得到了相關(guān)研究者的廣泛應(yīng)用。但是由于Hudson模型是建立在諸多假設(shè)條件上的，因此許多學(xué)者對其適用性進(jìn)行了大量研究工作。Douma[4]、桂志先等[5]、韓開鋒等[6]、鎮(zhèn)晶晶等[7-8]分別開展了裂縫縱橫比、充填物性質(zhì)對模型適用性和波場傳播特征影響的研究工作。Cheng[9]通過推導(dǎo)與模擬發(fā)現(xiàn)隨裂縫密度增大，一階模型彈性常數(shù)會出現(xiàn)負(fù)值，二階模型的公式展開不收斂，違背了物理規(guī)律，表明Hudson 模型僅適用于低密度裂縫。Liu等[10]從彈性柔度角度出發(fā)對Hudson 模型進(jìn)行了修正，使得Hudson 模型對于高裂縫密度也依然適用。宋永佳等[11]基于球形有效體的等效理論，推導(dǎo)出非均勻體定向排列的橫向各向同性介質(zhì)的有效彈性模量，該模型計算簡便且具有二階精度，同時避免了Hudson 二階模型在高裂紋密度時不收斂的缺陷。許松等[12-13]將宋永佳等的模型推廣至各向異性背景基質(zhì)的情況，并將水力壓裂地層的各向異性測量結(jié)果與理論預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果的一致性證實了該模型的有效性。

Hudson 模型以及其他學(xué)者建立的模型中裂縫之間彼此孤立分布，導(dǎo)致流體不能在其中相互流動，因此該模型是高頻模型，不適用于低頻條件。同時單獨的裂縫模型難以表征礦物基質(zhì)、流體等影響，為了兼顧含裂縫巖石多方面的物理性質(zhì)，組合化的建模思路更加符合巖石的真實狀況。Xu等[14]針對致密砂泥巖儲層提出“基質(zhì)-骨架-流體”三步走的組合化建模思路。Xu 等[15]沿用Xu-White 模型的建模思路將其應(yīng)用于碳酸鹽巖的巖石物理建模研究中。印興耀等[16]應(yīng)用Hudson二階模型針對致密砂巖裂縫型儲層提出一種巖石物理模型構(gòu)建方法，分析了裂縫參數(shù)對縱橫波速度的影響，經(jīng)實際測井資料驗證說明組合化方法的有效性。

為明確裂縫間的二次散射作用(即相互作用)對儲層各向異性特征的影響，并考察模型應(yīng)用中應(yīng)考慮的臨界裂縫密度，本文通過數(shù)值模擬分析了在干燥裂縫和含水裂縫兩種情況下裂縫密度和傾角對Hudson 一階模型和二階模型的波場快照、有效彈性常數(shù)和各向異性參數(shù)的影響，然后基于組合化的建模思路進(jìn)行等效介質(zhì)模型構(gòu)建，最后利用實際測井資料驗證Hudson 一階模型和二階模型在裂縫型儲層建模的應(yīng)用效果。

1 Hudson模型及數(shù)值模擬分析

1.1 Hudson模型簡介

Hudson 模型[1-3]在長波長近似和理想連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)條件下，針對彼此孤立且稀疏分布的硬幣狀裂縫，基于平均波場的散射理論推導(dǎo)出裂縫介質(zhì)的等效彈性常數(shù)：

式(1)中：C0為各向同性背景基質(zhì)的彈性模量，C1為裂縫存在而引起的一階修正項，C2為裂縫之間的相互作用而引起的二階修正項。其表達(dá)式分別為

式(2)中，λ,μ為各向同性背景基質(zhì)的彈性模量。Ukl為散射算子，與裂縫本身的連通狀態(tài)和充填狀態(tài)有關(guān)。對于孤立的干燥裂縫，

1.2 各向異性參數(shù)

為了解裂縫存在而對各向異性特征的影響，本文利用Thomsen[17]提出的3 個無量綱的各向異性參數(shù)對裂縫誘導(dǎo)各向異性進(jìn)行表征，Thomsen 系數(shù)將物理意義不直觀的彈性常數(shù)進(jìn)行組合，簡化了相速度公式的表達(dá)式，參數(shù)表達(dá)式為

其中，ε表征縱波各向異性，γ表征橫波各向異性，δ為縱波與橫波之間的過渡參數(shù)。在弱各向異性介質(zhì)中，采用3個各向異性參數(shù)和縱波速度橫波速度便可將3 種波的相速度表達(dá)式簡化為

1.3 數(shù)值模擬分析

為了解在干燥裂縫和含水裂縫兩種情況下裂縫密度和裂縫充填狀況對Hudson 一階模型和二階模型的地震波傳播特征影響，建立了一個裂縫介質(zhì)模型，x、z方向網(wǎng)格數(shù)為500×500，網(wǎng)格間距Δx= Δz= 2 m，震源采用集中力源，中心頻率60 Hz，位于模型中心位置。裂縫在模型中水平排列分布，縱橫比為0.001，裂縫介質(zhì)模型的背景基質(zhì)和流體相關(guān)參數(shù)引自文獻(xiàn)[18]，如表1 所示。采用有限差分?jǐn)?shù)值模擬方法，模擬地震波在裂縫介質(zhì)中的傳播，本文以0.1 s時的波場快照為例進(jìn)行對比分析。

表1 裂縫介質(zhì)模型參數(shù)取值Table 1 Parameters for the fracture medium model

當(dāng)裂縫為干燥裂縫時，Hudson 一階模型和二階模型在裂縫密度分別為0.05、0.1、0.15、0.2時的波場快照如圖1 所示。對于干燥裂縫，隨著裂縫密度增大，準(zhǔn)縱波和準(zhǔn)SV波的各向異性逐漸增強(qiáng)，當(dāng)裂縫密度大于0.1 時，一階模型和二階模型的波場快照差異變得明顯，主要體現(xiàn)在一階模型波場的各向異性明顯強(qiáng)于二階模型，表明裂縫之間的相互作用有降低準(zhǔn)縱波、準(zhǔn)SV波各向異性強(qiáng)度的作用。當(dāng)裂縫密度為0.2時，一階模型波場快照出現(xiàn)畸變。同時隨著裂縫密度增大，準(zhǔn)SV波能量增強(qiáng)。

當(dāng)裂縫飽含水時，Hudson 一階模型和二階模型在裂縫密度分別為0.05、0.1、0.15、0.2時的波場快照如圖2 所示。對于飽含水裂縫，隨著裂縫密度增大，準(zhǔn)縱波各向異性無明顯變化，準(zhǔn)SV波的能量和各向異性逐漸增強(qiáng)。對比一階和二階模型的波場快照，含水裂縫的一階模型和二階模型的波場快照無明顯區(qū)別。

對比圖1 和圖2 可以分析充填流體對波場傳播的影響。與干燥裂縫相比，裂縫含水時準(zhǔn)縱波、準(zhǔn)SV波的能量比裂縫為干燥裂縫時弱，同時準(zhǔn)縱波各向異性減弱。

圖1 Hudson 一階、二階模型的波場快照隨干燥裂縫密度增大的變化情況Fig.1 Snapshots of the Hudson first-and second-order model with increasing density of dry fracture

圖2 Hudson 一階、二階模型的波場快照隨含水裂縫密度增大的變化情況Fig.2 Snapshots of the Hudson first-and second-order model with increasing density of saturated fracture

為進(jìn)一步分析Hudson 一階模型和二階模型波場快照出現(xiàn)差異的原因，分別考慮裂縫密度和裂縫傾角對彈性常數(shù)和各向異性參數(shù)的影響，為后期裂縫儲層微觀建模明確應(yīng)用條件。

由圖3(a)可以看出，對于干燥裂縫，當(dāng)裂縫密度小于0.1 時，一階與二階模型基本表現(xiàn)良好。當(dāng)裂縫密度大于0.1 時，一階模型和二階模型的差異逐漸增大，一階模型在裂縫密度接近0.2 時c33甚至?xí)霈F(xiàn)負(fù)值。需要得到特別注意的是，雖然二階模型在一定程度上擴(kuò)展了裂縫密度的適用范圍，但是在裂縫密度較大時彈性系數(shù)隨裂縫密度增大不減反增，即二階展開并不收斂，違背了物理規(guī)律，在這種情況下只使用一階更正比不恰當(dāng)?shù)厥褂枚A更正效果更好。同時，二階模型的各向異性參數(shù)低于一階模型的各向異性參數(shù)，這是由于二階模型考慮了裂縫之間的相互作用，表明裂縫之間的相互作用會降低裂縫介質(zhì)的各向異性程度；圖3(b)顯示出對于含水裂縫，Hudson 模型適用的裂縫密度更大。

圖3 Hudson 一階、二階模型的彈性常數(shù)和Thomsen 系數(shù)隨裂縫密度增大的變化情況Fig.3 Elastic modules and Thomsen coefficients with increasing fracture density for Hudson first-and second-order models

地下裂縫的發(fā)育方向各不相同，因此考慮裂縫傾角變化對有效彈性模量和各向異性參數(shù)的影響是十分必要的。圖4 顯示了裂縫傾角對有效彈性模量和各向異性參數(shù)的影響。由圖可知，隨裂縫傾角增大，彈性常數(shù)c33、c44增大，即縱橫波速度隨裂縫傾角增大而增大；縱波速度對裂縫傾角更為敏感，尤其是中低角度的干燥裂縫，c33隨傾角增大而顯著增大，且一階和二階模型有較大的差異，說明對于中低角度的干燥裂縫，裂縫之間的相互作用較大，不可忽略。一階模型和二階模型的各向異性參數(shù)在裂縫含水時基本沒有差異，但對于干燥裂縫，二階模型的各向異性參數(shù)較低，裂縫之間的相互作用降低了裂縫介質(zhì)的各向異性程度。

圖4 Hudson 一階、二階模型的彈性常數(shù)和Thomsen 系數(shù)隨裂縫傾角增大的變化情況Fig.4 Elastic modules and Thomsen coefficients with increasing fracture dip for Hudson first-and second-order models

根據(jù)以上理論分析可知，Hudson 模型適用于低裂縫密度的儲層，當(dāng)裂縫密度增大時，尤其是干裂縫，一階和二階會出現(xiàn)差異，裂縫之間的相互作用不可忽略。另外Hudson 模型適用于高頻的實驗室條件，為避免其局限性并兼顧儲層多方面的物理性質(zhì)，下文將Hudson 模型與其他模型相結(jié)合進(jìn)行組合化建模，使模型更接近實際情況。

2 組合化建模

本文使用“基質(zhì)-骨架-流體”組合化的建模思路，根據(jù)礦物的體積含量和彈性參數(shù)利用VRH 模型估算基質(zhì)的彈性模量，利用KT、Hudson 模型依次加入孔隙和裂縫求得干骨架的彈性模量，最后利用BK 模型計算飽和巖石的彈性模量。裂縫等效模型建模流程如圖5 所示，具體建模過程中所應(yīng)用的模型如下。

圖5 裂縫型儲層巖石物理建模流程圖Fig.5 Schematic view of rock physics model for fractured reservoir

2.1 VRH模型

根據(jù)巖石礦物組成成分的體積含量及彈性模量，忽略巖石內(nèi)部連接的幾何細(xì)節(jié)的情況下，利用VRH 模型[19]估算固體基質(zhì)彈性模量。VRH 模型表示為

其中，

式(8)中，fi、Mi分別為第i種礦物的體積含量和彈性含量；MV、MR分別為Voigt 界限和Reuss 界限，MVRH為二者的算術(shù)平均。

2.2 KT模型

真實的巖石骨架結(jié)構(gòu)包含著孔隙和裂縫兩種孔隙空間，分別利用KT模型和Hudson模型添加孔隙和裂縫構(gòu)建干巖石骨架并計算彈性模量。Kuster-Toks?z理論[20]給出了其等效模量的計算表達(dá)式為

其中，

式(10)中，Km、μm分別為背景基質(zhì)的體積模量和剪切模量；xi為第i種包含物的體積含量；Pmi、Qmi為第i種包含物的形狀參數(shù)，不同形狀包含物的參數(shù)可參見Berryman[21]。

2.3 BK 模型

利用適用于各向異性條件下的BK 模型添加混合流體計算飽和巖石的彈性模量。該模型是由Brown 等[22]對各向同性的Gassmann 公式的推廣。將飽和各向異性巖石的剛度矩陣表示為干燥各向異性巖石的剛度矩陣與因飽含流體而產(chǎn)生附加修正項之和，表達(dá)式為

3 實際資料應(yīng)用

選取某地區(qū)一口井的實際測井資料，利用圖5所示的裂縫型儲層建模流程以及第2 節(jié)所介紹的模型構(gòu)建裂縫儲層等效巖石物理模型，以分析利用Hudson 模型在微觀儲層建模中的適用條件。巖石礦物的彈性參數(shù)參照巖石物理手冊[24]中相關(guān)數(shù)據(jù)，如表2所示。

表2 礦物及流體的彈性模量[24]Table 2 Elastic modules of minerals and fluids[24]

從圖6 可以看出，當(dāng)裂縫密度小于0.1 時，應(yīng)用一階模型和二階模型的模擬結(jié)果均可與實測數(shù)據(jù)取得良好的擬合效果。當(dāng)裂縫密度大于0.1 的層段，二階模型比一階模型擬合效果好，說明二階模型適用的裂縫密度范圍更大，但是二階模型的應(yīng)用效果也不理想；與此同時，裂縫傾角對縱橫波影響也較大，在裂縫發(fā)育程度高、傾角變化范圍大的層段，如4869～4873 m，縱波速度比橫波速度變化更劇烈，說明縱波速度對裂縫傾角更為敏感，因此利用縱波來進(jìn)行裂縫勘探與識別比橫波更具優(yōu)勢。二階模型全段的縱波和橫波平均誤差分別為4.45%、5.38%，均在可接受的范圍內(nèi)。

圖6 Hudson 一階、二階模型的微觀建模結(jié)果對比Fig.6 Comparison of microscopic modeling results of Hudson first-and second-order models

影響儲層微觀建模效果的因素可能有：(1)微觀儲層建模過程中采用的礦物和流體的彈性常數(shù)是根據(jù)以往工作獲得的經(jīng)驗值，不同層段和地區(qū)的經(jīng)驗值存在差異；測井資料的采集質(zhì)量以及裂縫孔隙度、總孔隙度、飽和度等參數(shù)解釋的準(zhǔn)確程度影響著模擬的實際效果。(2)測井曲線是復(fù)雜儲層探測范圍內(nèi)的綜合響應(yīng)，而裂縫密度、傾角、方位角等參數(shù)是通過成像資料獲取，反映的僅是井壁附近裂縫的性質(zhì)，兩種測井方法之間存在的探測范圍和分辨率差異使得實測資料與模擬結(jié)果有所差異。(3)裂縫縱橫比參數(shù)獲取難度大，數(shù)據(jù)量小，通過已有數(shù)據(jù)的擬合只能反映大致趨勢。

4 結(jié)論與認(rèn)識

(1)Hudson 模型將裂縫參數(shù)與彈性參數(shù)聯(lián)系起來，為分析不同性質(zhì)裂縫的地球物理響應(yīng)架起了橋梁。其適用條件為高頻條件下的低裂縫密度、小縱橫比的裂縫儲層，同時二階模型適用的裂縫密度范圍比一階模型大，裂縫密度在0.2 左右時，二階模型在干燥裂縫情況下會出現(xiàn)不收斂的現(xiàn)象，違背物理規(guī)律，因此應(yīng)用時需謹(jǐn)慎使用?？v橫波速度隨裂縫傾角增大而增大，縱波速度對裂縫傾角更為敏感。

(2)單一巖石物理模型具有局限性，且難以表征和刻畫復(fù)雜的裂縫型儲層多方面物理性質(zhì)，組合化的建模方法則克服了這一缺點，避免了各個巖石物理模型的局限性，對于復(fù)雜裂縫儲層建模是一種行之有效的方法。

(3)應(yīng)用實際測井資料對Hudson一階、二階模型模擬結(jié)果進(jìn)行驗證，裂縫密度大于0.1 時二階模型模擬結(jié)果優(yōu)于一階模型，表明在高裂縫密度儲層考慮裂縫之間的相互作用是必要的。