斜槽式單激勵縱扭超聲變幅桿設計*

吳豪瓊 高志強

(河南工學院機械工程學院 新鄉 453000)

0 引言

近年來，縱扭超聲加工技術在復合材料、結構陶瓷及高溫合金等材料加工領域逐步得到了應用[1-3]。實現縱扭超聲振動的方法按照原理可分為兩類[4-8]：通過轉換器類和換能器類實現。但因轉換器類功率容量有限、旋轉實現困難和換能器的功率有限、縱扭兩向不易同頻諧振等原因實現困難。

針對以上情況，本文設計了圓截面階梯型變幅桿小端增加開斜槽圓環傳振桿的變幅桿，圓截面階梯型變幅桿有加速和聚能的作用，可增強振幅輸出，同時圓環傳振桿上開斜槽可獲得縱扭復合振動輸出，結合兩者的特點并經過特殊結構改造，可實現縱扭振動輸出且振幅增強。其設計過程如下：首先基于傳統理論計算變幅桿尺寸，再通過單因素法仿真分析變幅桿結構尺寸對諧振頻率和振型的影響規律并確定最優結構參數，最后加工出變幅桿并檢測其振動參數。

1 縱扭復合變幅桿理論設計

1.1 半波長階梯型變幅桿設計

根據一維波動理論，忽略橫向振動，在簡諧振動情況下，變截面變幅桿縱向振動的波動方程為[9]

式(1)中：ε為變截面桿質點位移函數，ε=ε(x)；A為桿的橫截面積函數，A=A(x)；k為圓波數，k=ω/c；ω為圓頻率；c為縱波在細棒中的傳播速度，c=(E/ρ)1/2；E為彈性模量；ρ為變截面桿材料的密度。

圖1 為階梯型變幅桿尺寸，設大端直徑為D，長度為L1，截面積為S1，小端直徑d，長度L2，截面積為S2，變幅桿總長L=L1+L2，根據式(1)可確定階梯型變幅桿縱向振動時的頻率方程、放大系數Mp和位移節點x0[9-10]：

圖1 階梯型變幅桿Fig.1 Stepped horn

假設L1=L2=λ/4(λ為波長)，則可以推出tankL= 0，Mp=(D/d)2，x0= 0。根據一維縱向振動理論設計半波長圓截面階梯型變幅桿[11]，材料選擇45#鋼，密度ρ= 7.7×103kg/m3，楊氏模量E=2.06×1011N/m2，泊松比σ=0.28，由大端D=45 mm、小端d=18 mm均勻桿組成，設定工作頻率f=20 kHz可以計算得到L1=L2=65 mm。

1.2 圓環帶斜槽傳振桿設計

橫波的質點振動方向與橫波傳播的方向垂直且易引起剪切變形，固體介質能承受剪切應力而液體和氣體卻不能，因此橫波只能在固體介質中傳播，卻不能在液體和氣體中傳播[12]。所以如圖2 所示，在圓環傳振桿中縱波σ1以入射角β射入，以反射角β射出，反射橫波τ2以反射角θ射出。反射縱波σ2和反射橫波τ2都與桿的軸線成一定角度，在桿的軸向與周向上可分解出兩個分量，在周向上的分量之和就能實現扭轉振動。據此在階梯變幅桿小端增加一段傳振桿就能實現縱扭諧振，其結構如圖3 所示：傳振桿直徑等于變幅桿小端直徑d= 18 mm，壁厚選定h= 4；斜槽個數選定n= 6(l= 10 mm、b= 2 mm)、夾角α= 45°[6-7,12]；L3與L4可調，暫定L3=39 mm，L4=22 mm。

圖2 傳振桿扭振原理圖Fig.2 The effect of the slitted configuration

圖3 斜槽圓環傳振桿的階梯型變幅桿結構Fig.3 Structural representation of stepped horn

2 縱扭復合變幅桿有限元分析優化

2.1 模態分析

為便于變幅桿裝夾，在其大小端變截面處增加直徑為52 mm、厚度為4 mm的法蘭盤，法蘭增加會導致變幅桿諧振頻率和節點位置變化，變幅桿最終結構如圖4 所示，其中z坐標軸軸線過兩個對稱方形斜槽的中心連線。使用有限元仿真軟件對變幅桿進行模態分析，保持變幅桿以上的結構尺寸不變，采用單因素法分別改變L1、L2、L3和L4的尺寸，找到變幅桿20 kHz附近的縱扭諧振頻率，并保證法蘭盤處于變幅桿的節點位置。尺寸改變對縱扭諧振頻率的變化規律如圖5所示。

圖4 階梯型變幅桿最終結構Fig.4 Structural representation of the finally stepped horn

圖5 單因素變幅桿結構參數對縱扭振動頻率的影響Fig.5 Influence of structure size on frequency of stepped horn

由圖5 諧振頻率變化規律和模態仿真振型確定變幅桿最終尺寸為：變幅桿大端D= 45 mm，L1=62.75 mm；小端d=18 mm，L2=56.75 mm；傳振桿L3= 30 mm，壁厚h= 4 mm；斜槽數目n= 6，傾角α= 45°，斜槽長l= 10 mm，寬b= 2 mm；斜槽中心距小端L4= 22 mm。最終尺寸模態仿真的陣型如圖6 所示，在f= 19457 Hz 時縱向和扭向同時發生諧振且振型較好。

圖6 變幅桿縱扭復合振動振型圖Fig.6 The simulation result of stepped horn

2.2 諧響應分析

設變幅桿沿軸向接受換能器傳遞的縱波激勵為u(x)=Asin(2πft)mm(頻率f=19457 Hz，周期T0= 1/19457 s，振幅A= 5 μm)，對變幅桿進行諧響應分析，結果如圖7 所示。在諧振頻率f= 19457 Hz 附近輸出端節點各方向振幅位移達到最大值，說明在單激勵縱振條件下變幅桿可實現縱扭諧振輸出。

圖7 變幅桿諧響應分析結果Fig.7 Harmonic response analysis

2.3 瞬態動力學分析

在變幅桿輸出端端面上任選一質點，研究其運動軌跡，則可厘清端面振動特性。設定換能器縱波激勵為u(x)=Asin(2πft)mm(頻率f= 19457 Hz，周期T0= 1/19457 s，振幅A= 5 μm)，逐步增加瞬態分析時長(5T0、10T0、20T0)，采集輸出端端面任意質點(153.5,6.8559,-2.4503)的輸出振幅響應。當分析時長為20T0時，變幅桿在縱波單激勵下3 個方向均有響應振幅輸出：Ux和Uy方向振幅顯現出周期性分布如圖8(a)、圖8(b)所示，從圖中可以看出，輸出端Ux和Uy方向振幅波動周期約為T ≈10T0重復出現，但圖8(c)Uz方向振幅并未顯示出T ≈10T0周期性，且與Ux和Uy方向幅值大小關系發生變化。這可能是因為瞬態動力學仿真分析時增加了外界干擾因素，受周向均勻分布斜槽的環型結構影響，或是數據采集位置不同，其原理有待進一步探討。

圖8 變幅桿瞬態動力學分析結果Fig.8 Transient dynamic analysis

使用繪圖軟件對質點(153.5,9.8559,-2.4503)運動軌跡進行擬合，提取1 個周期內(特取T= 0～1/19457 s)和10 個周期內(取T= 0～10/19457 s)的所有位移數據，可獲得該質點的運動軌跡曲線，如圖9 所示，可知小端輸出的振動軌跡為空間二維曲線。

圖9 輸出端端面質點運動軌跡Fig.9 The displacement response curve of the point

3 復合變幅桿阻抗實驗分析

根據有限元優化結果，按最終優化設計尺寸加工出變幅桿(如圖10(a)所示)，使用Impedance Analyzer PV70A阻抗分析儀對其進行阻抗分析，結果如圖10(b)所示。變幅桿與20 kHz 換能器的諧振頻率為19884 Hz，與有限元仿真頻率19457 Hz較為接近且導納圓完整，變幅桿阻抗特性穩定。

圖10 變幅桿阻抗測試Fig.10 Impedance test site

給換能器加載5 μm 的縱向20 kHz 的超聲振動，使用KEYENCE 傳感器、電荷放大器、數據采集卡、計算機組成的超聲振動振幅測試系統對變幅桿小端圓周方向和軸向分別進行多點輸出振幅測量。將KEYENCE 傳感器對準變幅桿小端端面圓周上，每隔45°采集1 個點進行切向振幅測試，結果如圖11(b)所示，可知切向振幅為12.7 μm；將傳感器對準變幅桿小端截面進行縱向振幅測試，結果如圖11(c)所示，可知縱向振幅為8.5 μm。

圖11 變幅桿振幅測試Fig.11 Amplitude test site

4 結論

(1)本文首先通過理論計算設計，然后使用有限元分析法進行分析修正，最終得到變幅桿尺寸。該方法可作為設計縱扭聲學系統的一種參考方法。仿真結果證明：變幅桿在縱波單激勵振動下響應輸出的振幅呈周期性，Ux和Uy方向振動周期約為激勵信號周期的10倍，且輸出端端面質點的運動軌跡為空間二維曲線。

(2)根據數值計算和仿真修正得到的尺寸制作變幅桿，其阻抗測試結果表明其諧振頻率為19884 Hz，與仿真設計諧振頻率19457 Hz 誤差率僅為2.1%；輸入5 μm 的縱向20 kHz 的超聲振動，測試變幅桿切向振幅和縱向振幅分別為12.7 μm 和8.5 μm，證明變幅桿實現了縱扭諧振且振幅增強、振型較好。

(3)圓截面階梯型變幅桿增加開斜槽傳振桿可實現縱扭諧振，其尺寸為：大端直徑D= 45 mm，長度L1= 62.75 mm；小端直徑d= 18 mm，長度L2= 56.75 mm；法蘭直徑52 mm 厚4 mm；傳振桿長L2= 30 mm，壁厚h= 4 mm；斜槽數目n= 6，斜槽與變幅桿軸線夾角α= 45°，斜槽長l×寬b為10 mm×2 mm，斜槽中心距小端面距離L4=22 mm。

本文在仿真設計過程中考慮影響變幅桿諧振頻率的幾何結構參數較少，而且沒有總結出開斜槽傳振桿階梯型變幅桿理論設計公式，有待進一步探索研究。