矩形上組合偏差函數(shù)的極值問(wèn)題

唐茹月，劉初玥，馮小高

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

Teichmüller在20世紀(jì)40年代前后為了研究Riemann模問(wèn)題而研究了極值擬共形映射，并導(dǎo)致了Teichmüller空間理論產(chǎn)生。Teichmüller的思想來(lái)源于Gr?tzsch，后者提出了Gr?tzsch極值問(wèn)題[1]，并用面積長(zhǎng)度方法解決，得到仿射拉伸變換為唯一極值解。事實(shí)上，Gr?tzsch極值問(wèn)題是在擬共形映射類中考慮線性偏差函數(shù)的L∞范數(shù)情形。2005年以來(lái)很多學(xué)者研究了線性偏差函數(shù)K(z,f)和偏差函數(shù)k(z,f)的L1范數(shù)以及加權(quán)Lφ范數(shù)的情形(其中φ連續(xù)可微且為嚴(yán)格凸的滿射)[2-5]，近年來(lái)進(jìn)一步研究了全偏差以及與其有密切聯(lián)系的組合能量的極值問(wèn)題[6-9]，并推廣到高維的情形[10]。本文分別借助經(jīng)典的面積長(zhǎng)度方法和平均值不等式研究矩形上的組合偏差函數(shù)的極值問(wèn)題。

1 預(yù)備知識(shí)

(1)

其中‖Df‖為正規(guī)化的Hilbert-Schmidt范數(shù)，即：

(2)

f的組合偏差函數(shù)[α,β](z,f)定義為：

2 主要結(jié)果及其兩種方法的證明

本節(jié)主要分別借助經(jīng)典的面積長(zhǎng)度方法和平均值不等式研究了矩形上的組合偏差函數(shù)的極值問(wèn)題，得到本文如下主要結(jié)果。

成立。

2.1 方法一：利用面積長(zhǎng)度方法證明定理1

證明因?yàn)?/p>

(3)

對(duì)上式兩邊關(guān)于y積分，可得

(4)

根據(jù)H?lder不等式，可得

(5)

那么可得

(6)

同理又因?yàn)?/p>

(7)

對(duì)上式兩邊分別關(guān)于x積分，可得

(8)

根據(jù)H?lder不等式，可得

(9)

即為

(10)

結(jié)合(6)和(10)式，可得

(11)

(12)

2.2 方法二：利用平均值不等式證明定理1

證明根據(jù)平均值不等式，易知下面不等式成立

(13)

其中0≤a≤1，0≤b≤1。

取b=1，那么(13)式變?yōu)?

(14)

由于

(15)

所以得到

(16)

結(jié)合(14)和(16)式，對(duì)任意的A≥0，可知

對(duì)上式兩邊積分，結(jié)合(4)式可得

(17)

(18)

(19)

取a=1，對(duì)任意的B≥0，根據(jù)(13)式和平均值不等式，可得

對(duì)上式兩邊同時(shí)積分，結(jié)合(8)式可得

(20)

(21)

注2：定理1中的極值映射與α和β無(wú)關(guān)。