液晶平板光波導(dǎo)中耦合模式的研究

查正桃，張謙述，張耀進(jìn)，周 琪

(西華師范大學(xué) a.物理與天文學(xué)院，b.電子信息工程學(xué)院，四川 南充 637009)

向列相液晶具有大的雙折射性、低驅(qū)動電壓特性，使其成為非常有前景的電光材料[1]。對于典型的向列相液晶，外加幾個伏特的電壓即可實現(xiàn)Δn>0.2的大雙折射重構(gòu)[2]，國內(nèi)外研究人員利用其電控雙折射可重構(gòu)特性研究了許多基于液晶光波導(dǎo)的電調(diào)諧器件，例如光開關(guān)[3-7]、光調(diào)制器[8-9]、光學(xué)濾波器[10]、光衰減器[11]、光束偏轉(zhuǎn)器[12]、光分束器[13]。這些研究中的光波導(dǎo)均僅工作在橫磁(Transverse Magnetic，TM)或橫電(Transverse Electric，TE)模式，而對于波導(dǎo)以耦合模式工作的研究較少。自上世紀(jì)70年代基于橫向各向異性光波導(dǎo)(Transverse Anisotropic Optical Waveguide，TAOW)的耦合模理論[14](Coupled Mode Theory，CMT)被提出以來，較為有效的波導(dǎo)模式分析方法大多為數(shù)值法，包括有限元法[15-17]、有限差分法[18]、矢量偽譜法[19]、矢量變分法[20]，盡管這些數(shù)值方法能求出模折射率和模場分布，但波導(dǎo)中的模式隨電介質(zhì)張量中非對角項變化的規(guī)律并不清晰。

1 理論分析

(1)

式中，ε∥,ε⊥分別表示平行和垂直液晶分子指向矢的相對介電常數(shù)，α為液晶分子傾斜角。

考慮單色平面波入射，傳輸方向為z軸正方向，傳輸因子為exp(-jβz),β為縱向傳播常數(shù)。對于這種旋轉(zhuǎn)構(gòu)型，根據(jù)麥克斯韋方程組可得橫向磁場分量之間的耦合本征方程組為[18]

(2)

式中，k0≡2π/λ0為真空波數(shù)，λ0為真空波長。根據(jù)平板波導(dǎo)理論[22]，場強(qiáng)不隨x變化，則式(2)可化為

(3)

顯然，當(dāng)非對角項εxy、εyx非零時，磁場分量Hx,Hy之間必定出現(xiàn)耦合，符合CMT[14]。聯(lián)立式(1)(3)可得Hx,Hy的公共波動方程為

(4)

以波導(dǎo)芯區(qū)正中心為坐標(biāo)原點，聯(lián)立式(3)(4)可得波導(dǎo)芯區(qū)的磁場為

(5)

式中，Hξf,φξ均為待定常數(shù)，ξ=e,o表示各向異性電介質(zhì)中光波的類型，且

(6)

設(shè)包層和襯底層的折射率分別為nc,ns，仿照上述易得包層和襯底層磁場為

(7)

式中，Haξc、Haξs均為待定常數(shù)。此外，這種旋轉(zhuǎn)構(gòu)型下尋常光波和非尋常光波的折射率分別為

(8)

式中，θ表示入射光波的波矢量與z軸之間的夾角。根據(jù)式(8)易證式(6)中kye、kyo分別為非尋常光波和尋常光波的橫向傳播常數(shù)，因此，可得到下列重要關(guān)系式

(9)

聯(lián)立式(5)—(7)與麥克斯韋方程組可求得其余的所有電磁分量，然后根據(jù)邊界條件及式(9)可得非尋常光波的色散關(guān)系為

(10)

式(10)中第1個方程為Hxe、Eze、Dye(純TM模式)的邊界條件產(chǎn)生；第2個方程為Exe、Hze、Bye(純TE模式)產(chǎn)生。應(yīng)當(dāng)指出的是，根據(jù)式(6)可知，當(dāng)α=0°時，Hxe=0，此時非尋常光波的色散方程僅含式(10)中第2個方程；當(dāng)α=90°時，Hye=0，此時非尋常光波的色散方程僅含式(10)中第1個方程；而當(dāng)0°<α<90°時，根據(jù)CMT，式(10)中兩個色散方程必須同時滿足，即非尋常光波所激勵的本征模式并非純TE或純TM模式，而是耦合模式。從式(10)可見，波導(dǎo)中本征模式的數(shù)量不僅與波導(dǎo)以及入射光波的固有參數(shù)有關(guān)，而且與液晶分子傾斜角有關(guān)。尋常光波的色散方程與各向同性平板波導(dǎo)的色散方程相同，這里不再闡述。

2 數(shù)值案例

2.1 模數(shù)曲線

考慮工作波長λ0=1.5 μm，以液晶5CB(4′-n-pentyl-4-cyano-biphenyl)為例，根據(jù)雙系數(shù)柯西方程[21]可知室溫25.1 ℃下液晶分子的主軸介電常數(shù)分別為ε∥=2.8295,ε⊥=2.3092，選擇包層和襯底層的折射率ns=nc=1.48，波導(dǎo)厚度h=5 μm，寬度w=1 mm，滿足h?w。根據(jù)式(10)繪制不同傾斜角α下模數(shù)m、q隨θ變化的曲線如圖3所示。

從上式明顯可見，臨界角θcri也受液晶分子傾斜角的調(diào)控。

2.2 模折射率

計算不同傾斜角α下TM、TE模式的模折射率，結(jié)果如圖4所示，對于任意一個導(dǎo)模，隨著液晶分子傾斜角α的增加，TE模式的模折射率始終略大于TM模式的模折射率，這個規(guī)律與常規(guī)各向同性薄膜波導(dǎo)是一致的[22]。但考慮到這個模折射率差異非常小，因此可以認(rèn)為非尋常光波同時激勵的這兩種偏振模式的模折射率是可以簡并的，從而使得式(10)中兩個方程同時成立，即光波能以耦合模式工作。

對于高階模式，其模折射率隨著α的增加而減小，體現(xiàn)了一定的相移特性，這是因為非尋常光波折射率隨α的增加而減小，正如式(8)所示。此外，由于臨界角也受液晶分子指向矢的調(diào)控，導(dǎo)致最高階模式(m=q=5)并不是對于任意的α均存在。特別注意到，對于基模，無論是TE模式還是TM模式，其模折射率幾乎不隨液晶分子傾斜角α變化。這是因為液晶分子的光軸始終在xoy平面內(nèi)，對于非常近軸的光線，其波矢量與z軸之間的夾角非常小，從而使得波矢量始終近似垂直于光軸，其對應(yīng)的非尋常光波的折射率很難被α有效地調(diào)控。

2.3 模場分布

一旦模折射率已知，根據(jù)模場分布函數(shù)即可得到各階模式的模場分布。考慮到光波導(dǎo)中主要激發(fā)最低階模式，因此，圖5僅展示了不同傾斜角下前2個模式的主要磁場分量。

從圖5可見，在波導(dǎo)芯區(qū)，Hxe與Hye有π的相位差。此外，隨著液晶傾斜角α的增加，Hxe相對于Hye的振幅峰值也增加，即基于液晶材料的TAOW能實現(xiàn)模式轉(zhuǎn)換功能(TE到TM)。另一方面，根據(jù)最小偏振拍長公式[14]Lmin=λ0/(2ΔNeff)可知，為了能夠在固定波導(dǎo)長度Lmin的輸出端有效地調(diào)控其偏振模式，必須保證非尋常光波和尋常光波的有效折射率差ΔNeff不隨液晶分子傾斜角α發(fā)生變化，僅僅是場強(qiáng)振幅被有效調(diào)控。根據(jù)尋常光波的折射率與α無關(guān)，以及非尋常光波低價模式的模折射率對α也不敏感，滿足偏振調(diào)控要求。

3 結(jié) 論

本文從麥克斯韋方程組推導(dǎo)出向列相液晶光波導(dǎo)中橫向磁場分量的公共波動方程，并對其進(jìn)行了解析求解。在邊界條件下進(jìn)一步得出了耦合模式的色散關(guān)系以及模場分布的顯式表達(dá)，與以往數(shù)值方法相比，更易于分析向列相液晶TAOW中液晶分子傾斜角對波導(dǎo)模式、模場的調(diào)控規(guī)律。盡管色散方程是超越方程，但在求解時不需要大尺寸的存儲矩陣，易于實現(xiàn)液晶光波導(dǎo)的可編程調(diào)諧。通過求解色散方程發(fā)現(xiàn)非尋常光波的TE、TM模式的模數(shù)曲線是簡并的，而且其高階模式的存在嚴(yán)格地受液晶傾斜角調(diào)控。此外，還發(fā)現(xiàn)低階模式的模折射率對液晶傾斜角幾乎不敏感，但橫向模場分量的振幅卻受液晶傾斜角的調(diào)控。