與叢管子相關(guān)的代數(shù)的剛性模

龍婷，謝云麗

（西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611756）

與叢管子相關(guān)的代數(shù)的剛性模

龍婷，謝云麗*

（西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611756）

設(shè)是叢管子，是中的極大剛性對象，是T對應(yīng)的自同態(tài)代數(shù)，由函子誘導(dǎo)的的某個滿子范疇的商范疇等價于有限生成-模范疇，基于此，通過中的對象刻畫了的不可分解剛性模，并給出一個當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臈l件。

叢管子；極大剛性對象；剛性模

0 引言

2001年，F(xiàn)OMIN等［1］提出了叢代數(shù)概念，并對叢變量有限的叢代數(shù)進行了分類［2］，將有限型叢代數(shù)分為反對稱的，，，，型和可反對稱化的，，，型。此后，利用代數(shù)表示論中豐富的范疇結(jié)構(gòu)研究叢代數(shù)成為熱點，如BUAN等［3］利用叢范疇和叢傾斜對象將，，，，型叢代數(shù)范疇化；BUAN等［4］、ZHOU等［5］、FU等［6］利用叢管子中的極大剛性對象及其自同態(tài)代數(shù)將，型叢代數(shù)范疇化。叢管子最早被看作管子（某種特殊的遺傳阿貝爾范疇）的叢范疇。與一般的叢范疇不同，叢管子中沒有叢傾斜對象［7］，BUAN等［4］證明了叢管子具有叢結(jié)構(gòu)，其中的極大剛性對象與叢代數(shù)中相應(yīng)的叢對應(yīng)。IYAMA等［8］證明了存在叢管子的某個滿子范疇，其商范疇等價于極大剛性對象的自同態(tài)代數(shù)的有限生成模范疇。文獻［9-10］證明了在叢管子中極大剛性對象的自同態(tài)代數(shù)的支撐-傾斜模與極大剛性對象對應(yīng)。

在上述研究基礎(chǔ)上，本文研究叢管子中極大剛性對象的自同態(tài)代數(shù)的剛性表示。結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)介紹叢管子和叢管子中極大剛性對象的自同態(tài)代數(shù)，第2節(jié)利用Iyama-Yoshino等價刻畫叢管子中極大剛性對象的自同態(tài)代數(shù)的剛性模。

1 叢管子及其極大剛性對象的基本性質(zhì)

圖1 秩為的管子的-箭圖Fig.1 The -quiver of a tube of rank

引理1［12］設(shè)是中的對象，的長度為。若態(tài)射在的-箭圖中對應(yīng)的路含有不少于個向下的箭頭，則。

引理2［12］（1）當(dāng)時，；

記

定義1設(shè)是叢管子中的對象，

關(guān)于叢管子和叢管子中的極大剛性對象，有［4，6］

引理3設(shè)是中的不可分解對象，則

引理4設(shè)是中的不可分解對象且。若，則。

引理5（1）是中的不可分解剛性對象當(dāng)且僅當(dāng)；

關(guān)于叢管子中極大剛性對象的自同態(tài)代數(shù)，給出以下具體例子。

例1設(shè)是秩為4的叢管子，對象在叢管子中的具體位置如圖2所示。

圖2 在叢管子中的具體位置Fig.2 The specific position of in cluster tube

圖3 代數(shù)的Gabriel箭圖Fig.3 The Gabriel quiver of algebra

2 叢管子中極大剛性對象的自同態(tài)代數(shù)的剛性模

定義2設(shè)是一個-模，

引理6設(shè)為叢管子中的對象，為對應(yīng)的-模，則為剛性的充分必要條件是

為方便敘述，引入記號：

注1由叢管子中不可分解剛性對象、和3個集合組成，且3個集合兩兩互不相交。文獻［15］中定理4.8指出，函子給出了與由不可分解-模組成的集合一一對應(yīng)。文獻［12］中命題3.7證明了對中不可分解對象而言，如果態(tài)射在的-箭圖中對應(yīng)的是從出發(fā)，經(jīng)過個向下的箭頭映至，再合成個向上的箭頭指向的路，則通過分解的充分必要條件是

引理7當(dāng)時，是剛性-模。

可得長正合列：

所以滿射

有

引理8當(dāng)時，不是剛性-模。

所以

綜上，可得

定理1設(shè)是秩為的叢管子，是的極大剛性對象，是對應(yīng)的自同態(tài)代數(shù)。若是中不屬于的不可分解對象，為對應(yīng)的-模，則為剛性-模的充分必要條件是滿足：

例2延續(xù)例1，的剛性模如圖4所示，其中，○表示中的不可分解模，?表示映至中的是剛性模而不是-剛性模，●表示-剛性模，表示-箭圖中的間隙。

圖4 中的剛性模Fig.4 The rigid modules of

［1］FOMIN S， ZELEVINSKY A. Cluster algebras I：Foundations［J］. Journal of the American Mathematical Society， 2001， 15（2）：497-529. DOI：10.1090/S0894-0347-01-00385-X

［2］FOMIN S， ZELEVINSKY A. Cluster algebras II：Finite type classification［J］. Inventiones Mathematicae， 2003，154（1）： 63-121. DOI：10.1007/S00222-003-0302-Y

［3］BUAN A B， MARSH R，REINEKE M， et al. Tilting theory and cluster combinatorics［J］. Advances in Mathematics， 2006，204（2）： 572-618. DOI：10. 1016/j.aim.2005.06.003

［4］BUAN A B， MARSH R J，VATNE D F. Cluster structures from 2-Calabi-Yau categories with loops［J］. Mathematische Zeitschrift， 2010，265（4）： 951-970. DOI：10.1007/s00209-009-0549-0

［5］ZHOU Y， ZHU B. Maximal rigid subcategories in 2-Calabi-Yau triangulated categories［J］. Journal of Algebra， 2011，348（1）： 49-60. DOI：10.1016/j.jalgebra.2011.09.027

［6］FU C J， GENG S F，LIU P. Cluster algebras arising from cluster tubes II：The Caldero-Chapoton map［J］. Journal of Algebra， 2020，544： 228-261. DOI：10. 1016/j.jalgebra.2019.10.025

［7］BAROT M， KUSSIN D，LENZING H. The Grothendieck group of a cluster category［J］. Journal of Pure and Applied Algebra， 2008，212（1）： 33-46. DOI：10.1016/j.jpaa.2007.04.007

［8］IYAMA O， YOSHINO Y. Mutation in triangulated categories and rigid Cohen-Macaulay modules［J］. Inventiones Mathematicae， 2008，172： 117-168. DOI：10.1007/s00222-007-0096-4

［9］LIU P， XIE Y L. On the relation between maximal rigid objects and τ-tilting modules［J］. Colloquium Mathematicum， 2016，142（2）： 169-178.

［10］CHANG W， ZHANG J，ZHU B. On support τ-tilting modules over endomorphism algebras of rigid objects［J］. Acta Mathematica Sinica， 2015，31（9）： 1508-1516. DOI：10.1007/s10114-015-4161-4

［11］SIMSON D， SKOWRO?SKI A. Elements of the Representation Theory of Associative Algebras（London Mathematical Society Student Texts）： Vol 2［M］. Cambridge： Cambridge University Press，2007.

［12］MARSH R J， REITEN I. Rigid and Schurian modules over cluster-tilted algebras of tame type［J］. Mathematische Zeitschrift， 2016，284（3/4）：643-682. DOI：10.1007/s00209-016-1668-z

［13］KELLER B. On triangulated orbit categories［J］. Documenta Mathematica， 2005， 12（448）：551-581.

［14］ASSEM I，SIMSON D，SKOWROamp;##1048990;SKI A. Elements of the Representation Theory of Associative Algebras （London Mathematical Society Texts）： Vol 1［M］. Cambridge： Cambridge University Press，2006.

［15］VATNE D F. Endomorphism rings of maximal rigid objects in cluster tubes［J］. Colloquium Mathematicum， 2009，123（1）： 63-93. DOI：10.4064/cm123-1-6

Rigid modules of the algebras arising from cluster tubes

LONG Ting, XIE Yunli

（School of Mathematics，Southwest Jiaotong University，Chengdu611756，China）

Letbe a cluster tube,be a maximal rigid object of,be the endomorphism algebra of.induces an equivalence between some quotient category and the category of finitely generated-modules. This note uses this equivalence to characterize the indecomposable rigid modules over,and gives an if and only if condition for this indecomposable rigid modules.

cluster tube; maximal rigid object; rigid module

O 154.1

A

1008?9497（2022）05?527?05

2021?05?25.

國家自然科學(xué)基金資助項目（12171397）.

龍婷（1996—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-4905-8329，女，碩士研究生，主要從事代數(shù)表示論的研究.

通信作者，ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-1514-7403，E-mail：xieyunli@swjtu.edu.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.002