基于高階思維培養的數學貫通課程建設

袁野 唐大友 東北師范大學附屬中學朝陽學校

研究背景

教育部印發的《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》中明確界定了學科核心素養，即學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。《普通高中數學課程標準（2017 年版）》中則明確提出了中學數學的六大核心素養，它是在《義務教育課程標準》中“四基”的繼承和發展。因此，在初中數學中，“四基”就是學生形成和發展數學核心素養的有效載體，而“四基”就是要把握數學知識的本質，在數學教學活動中，讓學生在掌握知識與技能的同時理解知識的本質，感悟知識所蘊含的數學基本思想，積累數學思維和實踐經驗，在此基礎上促進學生數學學科核心素養的形成，從而將立德樹人根本任務落到實處。

數學核心素養是數學學習者在學習數學或學習數學某一個領域所應達成的綜合性能力，可以理解為學生學習數學應當達成的、有特定意義的綜合性能力。核心素養不是指具體的知識與技能，也不是一般意義上的數學能力。它是基于數學知識技能，又高于具體的數學知識技能。數學核心素養與數學課程的目標和內容直接相關，對于理解數學學科本質、設計數學教學以及開展數學評價等有著重要的意義和價值。

高階思維是發生在較高認知水平層次上的心智活動或較高層次的認知能力；高階思維是高階能力的核心，主要指創新能力、問題求解能力、決策能力和批判性思維能力。結合數學學科特點，所謂的數學高階思維是指發生在數學思維活動中的、較高認知水平層次上的心智活動或認知能力，在教學目標分類中表現為分析、綜合、評價和創造，具有嚴謹性、深刻性、定量性、批判性、獨創性、靈活性等特點。高階思維是思維能力的核心，主要由問題解決、思辨提升、拓展創新等能力構成。

初、高中課程內容設計現狀

現有初、高中數學知識的學習要求存在較大差異。例如，立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運算還在用；因式分解初中一般只限于二次項且系數為“1”的分解，對系數不為“1”的涉及不多，而且對三次或高次多項式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡求值都要用到，如解方程、解不等式等；初中教材對二次函數要求較低，學生處于了解水平，但二次函數卻是高中貫穿始終的重要內容……對于這些學習要求上存在差異的內容，教師可以根據學生的興趣進行選擇性設計，不能一味地追求高階思維的培養，隨意增大教學難度而加重學生的負擔，導致學生失去學習數學的興趣。

上好初中第一堂“動員課”，激發學生興趣

任何數學知識、數學思想、數學方法的背后，總是凝結并積淀著人類漫長的數學探索進程中堅韌的步伐、前進的腳步。數學從其源頭看，是生動活潑、富有生機的，教師要善于點燃學生想象的火花、激活其思維的萌芽，抓住教育契機激發其學習數學的愿望。小學升入初中，數學的嚴謹性與抽象性就越發明顯，也逐漸使越來越多的學生厭學、懼怕。對此，小學升入初中的第一節數學課對學生初中數學的學習具有重要意義。

為了使學生對數學產生興趣，教師不應給他們上新課，而是要上一堂讓他們“樂而忘返”的“動員課”。課上，教師可以和學生做一個數學游戲。例如，讓學生先任寫一個多位數（25639），然后將這個多位數的各位數位上的數字作任意的變換得到一個新數（如62935），再將這兩數相減，把差中的任一數位上的數字去掉（不能是0），只告訴老師余下的數字（如62935-25639=37296，去掉3，只告訴7、2、9、6），教師便很快能說出學生去掉的到底是哪個數字（如上例中的3）。這時，學生便會對教師“神機妙算”的本領產生興趣。教師再因勢利導，向學生簡介數學發展史、有關數學家的光輝事跡，特別是我國數學史上的巨大成就，并向學生講清“數學是自然科學之母”以及“數學是訓練人思維的體操”的道理。“一石擊起千重浪”，學生們始終沉浸在“心潮逐浪高”的熱烈激動的氣氛之中，這堂課也就達到了激發學生學習數學興趣的預期效果。

重視概念教學，為培養高階思維能力奠基

數學概念是反映一類對象在數量關系和空間形式方面的本質屬性的思維形式。數學概念所代表的是一類對象，而不是個別事物，它反映的是這類對象的內在、固有的屬性，而不是表面的屬性，在這類對象的范圍內具有普遍意義。

對于初中生而言，正確理解數學概念是掌握數學基礎知識的前提，是學好定理、公式、法則和數學思想的基礎，也是提高解題能力的關鍵。因此，數學概念教學在初中數學教學中具有重要意義。

學生從小學升入初中后，在數學學習方面需要經歷從直觀、形象到抽象認識的過程。如果教師能夠在學生剛升入初中時就抓住概念教學，并且從每一個符號開始，闡述其意義，讓每一個學生都能夠做到“識符號，辨意義”，學生自然就能夠運算準確。實踐證明，“識符號，辨意義”對于學生學習有理數的運算、有理數的乘方、整式的加減、冪的運算等內容效果非常好，不但能夠幫助學生準確計算，還能夠培養他們學習數學的信心，激發其學習數學的興趣。

培養數學學習習慣，促進高階思維能力發展

好習慣受益終身，優秀習慣成就未來。洛克曾說過：“兒童不是用規則可以教得好的，規則總是會被他們忘掉的。但是習慣一旦培養成功之后，便用不著借助記憶，很容易地自然地就能發生作用了。”因此，數學教師要注重在課堂中培優學生學習的優秀習慣，如認真“聽”、積極“想”、仔細“審”、獨立“做”、善于“問”、勇于“辯”、客觀“評”等習慣。

高中階段數學學科的學習內容多，抽象性、理論性更強，思維的跳躍性強。調查發現，部分學生在升入高中后會對學習高中數學感到不適應，往往會遇到上課時聽得懂，但課外習題不會做、作業書寫不好等問題，不習慣于預習、復習，缺乏獨立分析、解決問題的能力。究其原因，在于學生對概念、符號、定理的理解不夠透徹，參與學習的內驅力不足，對學習的專注度和努力程度不足。因此，初高中數學教師要堅持在教學中注意調控學生參與課堂的延續性，重視學生的課后行為參與，幫助他們養成自覺預習、復習、思考等良好的學習習慣。

利用“變式教學”，培養高階思維能力

核心素養的獲得是后天的、可教可學的，具有發展連續性。創造性思維不是與生俱來的，而是需要后天培養鍛煉出來的。數學是一門高度抽象的學科，能很好地鍛煉學生的邏輯思維和堅強意志。學生在學習過程中會遇到很多綜合性較強的題目，這也讓部分學生覺得數學很難學，甚至對數學的學習失去興趣和信心。究其原因，主要是學生并沒有掌握數學學科的本質，所學習的知識浮于表面，缺乏靈活性。因為教師在授課中往往只是采用題海戰術，沒有將題目之間的內在聯系整理歸類，幫助學生梳理不同題目之間的共性與特性，沒有做到知識傳授的深入淺出，時間久了，就會導致學生產生厭學心理。針對這一情況，教師可以在數學教學中嘗試“變式”教學。

“變式”教學，是指在引導學生認知事物屬性的過程中，不斷變更所提供的直觀材料或事例的呈現形式，使事物的非本質屬性時隱時現，而本質屬性保持恒定。教師在應用“變式教學”時，需要遵循“目標導向、啟迪思維、暴露過程、主體參與、探索創新”的教學原則，以培養具有創新意識和創新能力的人才為目標。數學教學中的“變式”，即對數學概念、定義、定理、公式及問題背景進行不同角度、不同層次、不同情形的變化，使其面目不一，而本質特征不變，以暴露問題本質特征，揭示不同知識間的內在聯系。新課程背景下數學學科的“變式教學”，既能培養學生的思辨能力，又能幫助學生從整體上把握知識的內在規律，能夠高屋建瓴、應用自如地應對新課程的學習。

通過常規變式，培養質疑習慣和逆向思維能力，增強輯推理能力 所謂常規變式，就是將題目的條件與結論互相調換或者改變題目的已知條件。通過將原題引申變式，改變原題中的條件，起到舉一反三的示范作用，同時激發學生的探究熱情，使學生的知識網中產生新的生成，提高課堂教學的有效性。

通過“一題多解”的變化解題方式，培養探究習慣，增強發散性思維能力 所謂“一題多解”，就是從不同的角度思考、分析同一道題中的數量關系，用不同解法求得相同結果的思維過程。它可以幫助學生構建知識間的聯系，加深對所學知識的理解，提高思維的靈活性和解決問題的能力，從而在學習中體驗成功的快樂。此外，充分發揮習題的變式功能和解法的多樣性，還能夠讓學生獲得因創新帶來的成功喜悅，逐步增強探索和創新意識，培養數學思維的嚴密性。

通過“多題一解”變式，培養歸納梳理知識的習慣，增強應變能力 所謂“多題一解”就是多個看似不同的問題在解決過程中用到了同樣或類似的方法。“多題一解”可以有效發展學生的抽象概括能力，使學生看清數學的本質。

許多數學練習看似不同，但它們的內在本質(解題思路、方法)是一樣的，這就要求教師在教學中要充分重視對這類題目的收集、比較，引導學生尋求通法通解，并讓學生理解它們之間的內在聯系，形成數學思想和解題方法。通過“多題一解”的變式訓練，既可以幫助學生鞏固和強化解題思想和方法，又讓學生通過抓住本質，觸一通類，培養變通能力，激活思維，從而收到舉一反三、少而勝多的教學效果。

總之，在數學教學中采用變式教學，可以將看似孤立的問題從不同角度向外擴散，并形成有規律可循的系列，有效增大課堂容量，起到以一當十、以少勝多的教學效果；能夠充分展現教學過程中教師與學生的思維過程，充分調動學生學習的積極性，使他們主動參與教學的全過程，在解答問題的過程中尋找解類似問題的思路、方法，培養獨立分析和解決問題的能力，以及大膽創新、勇于探索的創新思維的能力，從而真正將學生能力的培養落到實處；通過變式練習，學生不再需要大量、重復地做同一樣類型的題目，也就無需茫茫的題海，同時又能有效提高學生的數學核心素養，真正實現了“減負增效”的目標，還能讓學生領略到數學的和諧、奇異與美妙，能夠收到極好的學習效果。

通過“項目式”學習，提升高階思維能力

最有效果的學習方式是教會別人。因此，教師要多為學生創造交流、深入思考、提升能力的契機。項目式學習對于培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力意義深遠，同時，還能夠幫助學生提高邏輯和數學抽象能力，形成模型思想，提升其應用意識和創新意識。

例如，借助“項目式”學習解決“折疊問題”，促進高階思維形成。“折疊”作為圖形的三大運動之一，題型多樣，變換靈活，多以折疊問題為主要載體綜合其他幾何圖形的知識進行考查。因圖形復雜、關系復雜，又融合了多個數學的知識點，成為學生的學習難點。學生在緊張的考試過程中解答有關“折疊”的問題，不能只靠動手操作來解決，只有透過現象看折疊問題的本質，才能迅速找到破解折疊問題的方法。那么折疊的本質是什么呢？常見的折疊都有哪些類型呢？在初中數學中有哪些常見的折疊問題和解決策略呢？教師可以帶領興趣小組同學以項目式學習進行梳理，合作研究、歸納總結、拓展創新、總結提升，促進高階思維的形成。

又如，借助“項目式”學習解決“函數綜合問題”促進高階思維形成。函數綜合問題包含“含參數的分段函數”“利用函數圖像解不等式”“函數用圖像變換”等，這些問題的解決需要類比思維、逆向思維、批判思維等高階思維，更需要探究能力、推理能力以及創新能力等綜合解決問題的能力。關注函數定義域、奇偶性、單調性、周期性，結合函數零點、極值、最值以及函數值的變化趨勢，做出函數的大致圖像，借助直觀模型和分類討論思想等便可突破難點，問題得到迎刃而解。

總之，核心素養反映數學本質與數學思想，數學學科核心素養的形成和發展，需要學生在教師的啟發和引導下，獨立思考或與他人交流，最終領悟出來，是一種逐漸養成的思維習慣和思想方法，是一種經過日積月累逐漸形成的高階思維。因此，教師要堅持長期在數學教學中有意識地展現教師與學生數學思維活動的過程，充分調動學生學習興趣和主動參與教學全過程的積極性，以此培養學生獨立分析和解決問題的能力和創新思維能力，從而真正將學生能力的培養落到實處。