各向異性介質界面模式轉換波Ⅰ：理論分析

法 林，趙 琳，李玉霞，鄒 驍，胡凱利，李 曉，梁計峰，孫 豪，趙梅山

(1.西安翻譯學院 信息工程學院，陜西 西安 710105；2.西安郵電大學 電子工程學院，陜西 西安 710121；3.中國石油集團測井有限公司，陜西 西安 710061;4.芝加哥大學詹姆斯·弗蘭克研究所 化學系，伊利諾伊 芝加哥 60637)

地震反演是儲層建模和識別油藏的重要技術。準確的地震反演來源于對介質中地震波的傳播特性以及地震波在介質界面上的反射/折射的正確理解[1]。大多數地層具有一定程度的宏觀各向異性[2]。最簡單的幾何分層結構地層是具有垂直對稱軸(Transverse Isotropy with a Vertical Axis of Symmetry,VTI)的橫向各向同性介質[3]。通常情況下，幾何分層結構地層不是水平層，其對稱軸和垂直軸之間存在一個夾角的橫向各向同性(Transverse Isotropy with a Tilted Axis of Symmetry,TTI)介質[4]。地震波在不同介質間界面上發生的反射和折射是最常見的物理現象。研究者們廣泛研究了地層各向異性以及地層各向異性對地震波的影響。

巖石界面反射和折射在石油工業中有著廣泛的應用，如地震勘探數據振幅隨偏移距的變化(Amplitude Variation with Offset，AVO)道集的反演解釋[5]，大角度入射地震數據的精確時-深轉換[6]，以及聲波測井中聲波傳播速度的準確估算[7]。極化系數是求解不同各向異性介質界面的反射系數和折射系數的必不可少條件，同時也是研究各向異性介質界面模式轉換波極化性質的重要前提。

地震波實際上是一種低頻聲波。聲波雖然與電磁波存在差異，但二者的特性也有相似之處。例如，波的極化是所有波的重要屬性[8-9]。目前對聲波和電磁波的極化研究已經有很多報道。對聲波的現有研究主要分為兩類。一類是聲波在無限大各向異性介質中的傳播特性，例如，研究無限大各向異性固體中聲波的極化狀態。文獻[10-12]對在各向異性介質中傳播的P波的極化方向偏離其傳播方向的問題進行了討論，文獻[13]報道了無限大各向異性介質中傳播的P波(Primary Wave)和SV(Shear Vertical)波的異常極化現象。文獻[2]給出了在無限大VTI介質中傳播的準P波和準SV波的極化系數解析表達式。根據實驗測量的巖樣各向異性參數[14-16]，文獻[17]研究了各向異性對在無限大VTI介質中傳播的準P波和準SV波極化方向的影響。但是，這些研究未考慮各向異性介質界面。

另一類研究考慮了各向異性介質界面。例如，基于對準P波和準SV波的極化的先驗知識，文獻[18]給出了一個計算VTI-VTI介質界面反射/折射系數的矩陣方程，并計算了具有橢圓各向異性的VTI-VTI介質界面的反射系數和折射系數[19]。文獻[20]提出了計算VTI-VTI介質界面的反射/折射系數的快速算法，并建立了非均勻折射P波的橢圓極化方程，討論了介質各向異性對橢圓極化狀態的影響[21-23]。這些研究在對VTI-VTI界面的物理建模時，一般假設巖層均為水平層，但實際的巖層往往不會全是水平層。最常見的情況是一層水平，下一層可能傾斜的，或者兩個相鄰層相對水平面均有不同的傾斜角度[3-4]。此前相關研究的考慮并不全面。

最通用的各向異性介質界面模型是一個TTI-TTI介質界面系統。該系統中包含VTI-VTI介質界面、TTI-VTI介質界面和VTI-TTI介質界面[3-4]等4種界面。為了對TTI介質在數學上進行嚴格的和具有實際物理意義的描述，使用六方晶系固體剛度矩陣來描述VTI介質的力學特性[2,24-25]，并利用Bond變換矩陣法則實現旋轉坐標下各向異性介質的剛度系數矩陣變換[26]。由于采用Bond變換矩陣法則可以實現TTI-TTI介質界面模型到VTI-TTI介質界面模型和TTI-VTI介質界面模型的相互轉換[26]，因此，僅對VTI-TTI介質界面模型進行推導和分析。

1 理論基礎

作為TTI介質的特例，VTI介質模型是最常見的橫向各向同性模型[27]。VTI介質的力學特性可以用六方晶系的剛度系數矩陣[2]表示為

(1)

六方晶系的剛度系數矩陣C(V)只有5個獨立的元素。通過對VTI介質模型的對稱軸旋轉角度φ就得到TTI介質模型。將VTI介質的剛度系數矩陣進行Bond變換就得到了TTI介質的剛度系數矩陣[26]，表示為

(2)

G=

(3)

J-1=

(4)

則TTI介質剛度系數矩陣和VTI介質剛度系數矩陣各元素之間的關系可以表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

位于x-y平面上VTI-TTI介質界面的示意圖如圖1所示。

圖1 VTI-TTI介質界面的示意圖

圖1(a)中x軸代表VTI-TTI介質界面，z軸為VTI介質的對稱軸，Z軸為TTI介質的對稱軸。二者對稱軸的夾角為φ。圖1(b)中z軸為VTI介質的對稱軸，θ(0)代表P波的入射角，θ(m)(m=1,2,3,4)代表模式轉換波的反射角和折射角，S(m)(m=0,1,2,3,4)的實線箭頭代表每個波的傳播方向，虛線箭頭代表相應波的極化方向，其中，m=0代表入射的P波，m=1,2,3,4分別表示反射P波、折射P波、反射SV波和折射SV波。

當旋轉角度φ為0時，VTI-TTI介質界面簡化為VTI-VTI界面。當一個P波入射到VTI-TTI界面上時，在界面上將會產生包括反射P波、折射P波、反射SV波和折射SV波的模式轉換波。入射P波及所有模式轉換波均滿足開爾文-克里斯托費爾方程，且所有波的質點位移均平行于x-z平面[28]。

對于一個角頻率為ω歸一化的平面簡諧入射P波，若其振幅R(0)=1，則時刻t入射P波質點位移可以表示為

S(0)=

(17)

入射P波模式轉換波m在時刻t的歸一化質點位移可以表示為

(18)

式(18)中，

(19)

其中，

式中：對于反射P波和折射P波，下標“k”取x，“l”取z；對于反射SV波和折射SV波，下標“k”取z，“l”取x。

2 反射、折射、極化和質點位移

在VTI-TTI界面上產生的模式轉換波的質點位移和極化狀態由界面的反射/折射系數和模式轉換波的極化系數共同確定。每個模式轉換波的歸一化質點位移為其極化系數和相應的反射系數或折射系數的乘積[29]。接下來，將分別分析和推導均勻模式轉換波和非均勻波的極化系數。

2.1 均勻/非均勻波模式轉換波的極化系數

在無外力作用的情況下，開爾文-克里斯托費爾方程可以簡化[28]表示為

(20)

在入射介質VTI內，入射P波、反射P波和反射SV波(即m分別為0、1和3)的開爾文-克里斯托菲爾方程的矩陣元素[2,14]分別為

(21)

(22)

(23)

求模式轉換波m=0,1,3時的相速度解。入射P波的相速度解v(0)、反射P波的相速度解為v(1)和反射SV波的相速度解為v(3)的計算表示式[2,14]分別為

(24)

其中，

(25)

其中，

在折射介質TTI內，折射P波和折射SV波(即m分別為2和4)的開爾文-克里斯托菲爾方程的矩陣元素[2,14]分別為

(26)

(27)

(28)

求模式轉換波m=2,4時的相速度解。折射P波的相速度解v(2)和折射SV波的相速度解v(4)的計算表示式分別為

(29)

其中，

(30)

其中，

其中，

(31)

(32)

(33)

(34)

式中，上標“*”為復共軛符號。

分別聯立式(31)與式(33)、式(32)與式(34)可以得到

(35)

(36)

接下來，分析在不同的入射角區域，模式轉換波極化系數的表示式。

(37)

(38)

2)在過第一臨界角的區域內，入射P波的極化系數仍然是純實數，其計算表達如式(37)和式(38)。此時，所有的反射/折射系數均變為復數。所有的模式轉換波均分別相對入射波產生了一個相移，對應的均勻模式轉換波的極化系數的計算表達式為

(39)

(40)

由于在選擇的各向異性界面模型中，僅存在一個對應折射P波的第一臨界角，所以，均勻模式轉換波表現為反射P波、反射SV波和折射SV波。

3)在過第一臨界角區域內，折射P波從均勻模式轉換波變成為非均勻模式轉換波。此時，其功率流密度的z分量必須等于0。對于簡諧波，質點位移速度和質點位移的關系可以表示為

V(m)=iωS(m)

(41)

應力和質點位移之間的關系[18]可以表示為

T(m)=C(n)∶?sS(m)

(42)

式中：T(m)表示與模式轉換波m對應的應力系數矩陣；C(n)表示介質的剛度系數矩陣，n分別為V和T，C(V)和C(T)分別表示VTI介質和TTI介質的剛度系數矩陣；符號“∶”和“?s”分別為矩陣運算的雙點積運算符和梯度運算符。

對于在TTI介質中傳播的折射P波，將式(42)展開為

(43)

折射P波功率流密度為

(44)

與折射P波的功率流密度的z分量相關的應力系數分別為

(45)

(46)

根據式(41)以及式(44)—式(46)，折射P波的功率流密度的z分量可以表示為

(47)

(48)

另外，由式(48)可得

(49)

或

(50)

(51)

(52)

或

(53)

(54)

非均勻折射P波的極化系數的選擇確定了其橢圓極化軌跡的旋轉方向[22-24]。

2.2 均勻/非均勻波模式轉換波的極化狀態

1)在前第一臨界角區域內，由于所有的折射系數均是正實數，意味著折射P波和折射SV波和入射波同相位相同。反射系數或為正實數或為負實數，反射系數是正值還是負值由界面兩側各向異性介質的聲阻抗和入射角確定。如果反射系數是正實數，則對應的反射波和入射波同相位，如果反射系數是負實數，則對應的反射波相對入射波存在一個180°的相位差。

對于在各向異性介質界面上產生的均勻模式轉換波，質點位移的復數表達式的實部為其瞬態表達式。根據式(18)，模式轉換波質點位移的x分量和z分量的瞬態表達式分別為

(55)

(56)

模式轉換波m的質點位移的模可以表示為

(57)

入射P波(m=0)、反射P波(m=1)和折射P波(m=2)的質點位移方向和x軸之間的夾角，即極化角可以表示為

(58)

同理，反射SV波(m=3)和折射SV波(m=4)的極化角可以表示為

(59)

2)在過第一臨界角區域內，反射系數和折射系數變為復數。由式(18)可得模式轉換均勻波質點位移的x分量和z分量復數表示式分別為

(60)

(61)

根據式(60)和式(61)的實部部分，得到均勻模式轉換波質點位移的x分量和z分量的瞬時表達式分別為

(62)

(63)

在過第一臨界角區域內，均勻模式轉換P波和SV波的極化角如式(58)和式(59)表示，其模為

(64)

在過第一臨界角區域內產生的均勻模式轉換波仍然為線極化波，此時，這些線極化模式轉換波相對入射波產生的相移可以是0°到360°范圍內的一個任意角度。

3)在過第一臨界角區域內，折射P波變為了非均勻橢圓極化波，此時，式(18)中的上標m=2。如果選擇式(51)和式(52)作為非均勻折射P波極化系數，則式(18)中的γk=γx=0°，γl=γz=90°，這意味著非均勻折射P波的質點位移的x分量滯后其z分量90°，則折射P波的質點位移可以表示為

(65)

式中，

根據式(65)的實部可以得到非均勻折射P波質點位移的x分量和z分量的瞬時表達式分別為

(66)

(67)

聯立式(66)和式(67)，得到非均勻折射P波的極化軌跡和極化角的表示式分別為

(68)

(69)

式(68)和式(69)表明非均勻折射P波為一個橢圓極化波。由于極化角ξ(2)隨時間t的增大而增大，所以，該波為一個逆時針旋轉的橢圓極化波。

若選擇式(53)和(54)作為非均勻折射P波極化系數，則式(18)中的γk=γx=90°，γl=γz=0°，這意味著非均勻折射P波的質點位移的x分量超前其z-分量90°，則折射P波的質點位移可以表示為

(70)

根據式(70)得到非均勻折射P波質點位移的x分量和z分量的瞬時表達式分別為

(71)

(72)

對應的橢圓極化方程和極化旋轉方向仍然和式(68)、式(69)相同，非均勻折射P波仍然是一個逆時針旋轉的橢圓極化波。從式(66)和式(67)以及式(71)和式(72)可知，極化系數的選擇不影響非均勻折射P波的橢圓極化狀態和旋轉方向。

2.3 極化系數與反射/折射系數的關系

在以上對模式轉換波極化系數的推導中發現，極化系數的表達式與各向異性介質界面的反射/折射系數密切相關。極化系數的理論推導結果正確性的驗證需要求解各向異性介質界面上的反射/折射系數；反射/折射系數的理論推導結果的正確性驗證需要求解極化系數。下面將給出VTI-TTI介質界面反射/折射系數的理論推導。

1)建立并求解VTI-TTI介質界面反射/折射角高次多項式。設P波以角度θ入射到VTI-TTI介質界面，入射角θ(0)及入射角的相速度v(0)均為已知條件，為了方便計算，使用定值函數const，依據斯奈爾定理、式(24)和式(29)可得

(73)

和

(74)

式中，m=1,2,3,4。

在入射介質VTI一側(m=1,3)，由式(24)、式(73)和式(74)可得VTI-TTI介質界面上反射角的四次多項式形式為

(75)

其中，

(76)

(77)

(78)

其中，

在折射介質TTI一側(m=2,4)，根據式(29)、式(73)和式(74)可得VTI-TTI介質界面上折射角的八次多項式形式為

(79)

其中，

(80)

(81)

(82)

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

d4=b4+2c2c4

(88)

d5=b5-2c2c3

(89)

(90)

2)建立并求解VTI-TTI介質界面反射/折射系數矩陣。在如圖1所示的VTI-TTI介質界面內，將式(18)展開，可得反射和折射P波以及反射和折射SV波的質點位移表達式分別為

(91)

(92)

(93)

(94)

根據質點位移的法向分量和切向分量連續的聲學邊界條件，由式(4)以及式(64)—式(67)可得

(95)

(96)

在入射介質VTI一側，由式(1)、式(42)、式(17)、式(91)和式(93)可得，VTI-TTI介質界面相關的法向應力分量分別為

(97)

(98)

(99)

(100)

(101)

(102)

在入射介質TTI一側，由式(42)、式(17)、式(92)和式(94)可得，與VTI-TTI各向異性介質界面有關的法向應力分量分別為

(103)

(104)

(105)

(106)

依據應力法向分量連續的聲學邊界條件，可得

(107)

(108)

根據式(37)—式(40)以及式(51)—式(54)，可以把式(95)、式(96)、式(107)和式(108)合并為一個求解VTI-TTI介質界面反射/折射系數的矩陣方程，表示為

(109)

其中，

從上面的理論推導結果可知，VTI-TTI介質界面上的反射/折射系數與入射/反射/折射波的極化系數密切相關，模式轉換波的質點位移分量或極化狀態是對應的反射/折射系數與對應的極化系數的乘積。界面上的反射/折射系數以及模式轉換波的極化系數都是界面兩側介質的物理/各向異性參數和入射角的函數。

3 結論

利用Bond變換、斯奈爾定律和開爾文-克里斯托費爾方程研究了各向異性介質界面的反射/折射，以及界面上產生的模式轉換波，計算出VTI-TTI介質界面上反射/折射角的四次多項式和八次多項式；推導出了在VTI-TTI介質界面上產生的均勻/非均勻模式轉換波的極化系數的解析表達式，包括前第一臨界角區域的均勻模式轉換波的極化系數解析表達式，過第一臨界角區域的均勻模式轉換波的極化系數解析表達式和過入射臨界角區域的非均勻模式轉換波的極化系數解析表達式；建立了均勻模式轉換波的線極化方程和非均勻模式轉換波的橢圓極化方程；建立并求解了VTI-TTI介質界面反射/折射系數的矩陣方程。通過研究，得到結論如下。

1)過第一臨界角的入射能夠引起非均勻模式轉換波折射P波質點位移的x分量和z分量之間產生90°的相位差，另外，也能引起均勻模式轉換波相對入射波產生一個相位差，但均勻模式轉換波P波質點位移的x分量和z分量之間不存在相位差。

2)模式轉換波的極化狀態以及界面上的反射/折射系數由界面兩側介質的物理特性和各向異性參數等自然特性、界面的傾斜角等幾何結構以及入射波的入射角確定。

3)極化系數的選擇并不影響非均勻折射P波的橢圓極化狀態。

4)利用Bond變換，可以將VTI介質的剛度系數矩陣轉變為TTI介質的剛度系數矩陣，進而分析TTI-TTI介質界面的物理特性。為研究和計算各向異性介質界面的反射/折射特性、在該界面上產生的模式轉換波的極化和產生的一些現象的物理解釋以及在各向異性地層中測量的地震勘探數據的精確AVO反演分析和時-深轉換提供了理論依據。

本文的研究僅僅是進行了理論推導，與實際可能存在偏差，準備接下來進行仿真驗證，并另文發表。