基于網絡的T-S模糊系統的有限時間控制

劉玉軍，姚合軍

安陽師范學院 數學與統計學院， 河南 安陽 455000

隨著科學技術的進步， 尤其是互聯網技術的發展， 傳統的點對點系統已經很難適用于實際的網絡工程． 把網絡和控制技術結合起來是近年來控制領域發展的重要方向， 基于網絡的控制應運而生． 信息通過網絡進行交換， 極大地提高了控制效率， 而且網絡系統的布線更加簡單， 網絡維護更加便捷， 系統運行成本更低[1-2]． 正因如此， 近年來涌現出了大量的關于網絡系統分析與綜合的研究報道[3-4]． 比如， 文獻[5]研究了具有未知通信時延的網絡系統的輸出反饋控制問題． 同時， 針對具有兩個網絡(傳感器到控制器和控制器到執行器)的控制系統， 設計了一個采樣數據觀測器來估計系統的狀態． 文獻[6]研究了丟包和網絡誘導時延同時存在的連續時間網絡系統的動態H∞控制問題， 充分考慮了實際采用的控制器輸入到達時刻的非均勻分布特性， 建立了一種新的連續時間網絡系統模型， 提出了一種基于線性估計的輸出估計方法， 降低了系統建模的保守性， 并基于新的Lyapunov泛函， 提出了新的控制器設計策略． 文獻[7]提出了一種基于Lyapunov-Krasovskii函數的動態量化策略， 進一步改進了控制算法， 使閉環系統收斂速度更快， 并在初始值較小、 衰減速度較快的情況下， 得到了更精確的系統狀態上界． 文獻[8]研究了基于事件驅動觀測器的網絡系統的輸出反饋控制問題， 通過引入調整參數和加權矩陣， 構造出與Lyapunov變量和系統矩陣耦合的控制器矩陣． 上述研究結果都是基于線性的網絡系統進行研究， 在系統建模過程中忽略了較多的影響因素， 使得系統模型簡單化、 線性化． 然而， 實際的網絡系統大都是非線性的， 現有的研究成果很難應用于網絡工程實際， 因此針對非線性網絡系統的控制算法亟待研究．

對非線性系統而言模糊控制是十分有效的控制方法， 尤其是利用T-S模糊控制方法可以把非線性系統模型近似逼近為線性的關聯大系統， 可以有效降低系統分析與控制設計難度[9-10]． 例如文獻[11]利用輸入延遲的補償技術， 將采樣周期、 信號傳輸延遲和數據包丟失轉換為零階保持的刷新間隔， 建立誤差系統的模糊模型． 文獻[12]討論了基于通信網絡的模糊系統的動態輸出反饋控制設計策略， 并探討了網絡誘導時延、 數據包丟失、 信號量化導致的通信容量受限等數字通信網絡條件對系統性能的影響． 文獻[13]研究了具有傳感器飽和噪聲的離散T-S模糊系統的網絡化模糊靜態輸出反饋控制問題． 在考慮網絡誘導時延和丟包的情況下， 將網絡系統建模為一個帶有區間型時延的離散T-S模糊系統． 通過引入一個新的Lyapunov泛函， 得到了時延相關的有界實引理．

上述關于線性和非線性網絡系統的研究結果考慮的都是漸近穩定性． 然而， 在實際的網絡工程系統中， 常常要求系統狀態在有限時間內收斂到較小的范圍， 即有限時間穩定． 因此， 有關網絡系統的有限時間控制問題的研究逐漸引起了眾多學者的關注， 傳統系統的有限時間控制方法逐漸被引入到網絡系統的分析與綜合過程． 由于相關的研究工作起步較晚， 研究成果尚不多見． 文獻[14]研究了不確定切換網絡系統的有限時間控制問題， 利用平均駐留時間和類Lyapunov函數方法設計了系統的狀態反饋控制器， 利用線性矩陣不等式方法得到了系統有限時間有界的充分條件． 文獻[15]研究了一類具有短時變時延和采樣抖動的網絡系統的有限時間控制問題． 在考慮網絡誘導時延和短采樣抖動對系統動力學的影響的基礎上， 將閉環網絡系統描述為離散時間線性系統模型， 利用魯棒控制方法來求解網絡系統的有限時間穩定性和鎮定問題． 文獻[16]研究了具有隨機通信時延的不確定離散網絡系統的有限時間H∞控制問題， 利用錐互補線性化方法， 提出了一種計算控制器參數的迭代算法．

現有的研究成果大都是關于線性的網絡系統開展的， 有關非線性網絡系統的有限時間控制設計工作， 尤其是利用T-S模糊方法和有限時間控制技術對非線性網絡系統的研究工作才剛剛展開． 本文在前人對網絡系統有限時間控制研究的基礎上， 對非線性網絡系統的有限時間控制問題進行研究． 利用T-S模糊控制方法把帶有狀態時延和網絡誘導時延的非線性的網絡系統建模為T-S模糊系統模型． 基于有限時間控制理論和線性矩陣不等式方法， 探索系統有限時間穩定的充分條件和模糊控制設計方法． 所得到的結論可以利用MATLAB工具進行求解， 為網絡工程提供理論和技術支持．

1 問題描述

考慮基于網絡的非線性時延系統(圖1)．

圖1 網絡控制系統

x(t)=φ(t)t∈[-h， 0]

(1)

(2)

利用模糊逼近理論[9]， 得到全局T-S模糊控制系統如下

x(t)=φ(t)t∈[-h， 0]

(3)

其中μi(z(t))滿足

注1模型(3)是利用T-S模糊方法對網絡系統模型的重構． 實際網絡工程中， 被控對象及其網絡閉環都存在一些不確定性甚至非線性項， T-S模糊方法的引入把復雜網絡系統轉化為耦合的線性微分方程組形式， 極大地降低了系統分析難度， 而且T-S模糊系統具有較為成熟的設計方法， 因此網絡系統的T-S模糊模型(3)具有較強的實際應用價值．

基于實際工程背景， 為了簡化分析， 設τsc是傳感器到控制器的傳輸時延，τca是控制器到執行器的傳輸時延，τ=τsc+τca為網絡誘導時延．

受網絡誘導時延影響， 得到：

x(t)=φ(t)t∈[-h， 0]

(4)

本文旨在設計如下狀態反饋的模糊控制器

(5)

把控制器(5)代入系統(4)， 得到閉環系統

(6)

本文的設計目的是探尋能使系統(6)的狀態在有限時間區間[0，T]內穩定的狀態反饋控制器存在的充分條件．

定義1[9]對給定的正常數c1，c2，T(c1

xT(0)Rx(0)≤c1?xT(t)Rx(t)

(7)

則時延網絡系統(6)(設ω(t)≡0)是(c1，c2，T，R)有限時間穩定的．

定義2[9]對給定的正常數c1，c2，T(c1

xT(0)Rx(0)≤c1?xT(t)Rx(t)

(8)

則時延網絡控制系統(6)是可(c1，c2，T，R，d)有限時間鎮定的．

2 主要結果

定理1對給定的正數c1，c2，T(c1

(9)

(10)

證對系統(6)， 構造Lyapunov泛函

(11)

沿系統(6)的狀態變化軌跡，V(x(t))導數如下

其中

由條件(9)， 可得

(12)

在(12)式兩邊同時乘以e-αt， 得到

從而

進一步對兩邊從0到t∈[0，T]進行積分， 得到

(13)

(14)

另外， 也可以得到

(15)

由(14)和(15)式得到

(16)

由條件(10)和不等式(16)可知

xT(t)Rx(t)≤c2?t∈[0，T]

(17)

λ1R-1

(18)

(19)

(20)

0

(21)

(22)

其中

證用對角陣diag{P-1，P-1，P-1，I}左乘和右乘不等式(9)， 得到

(23)

其中

由不等式(18)-(21)可知

(24)

由Schur引理可知不等式(22)等價于

(25)

由(24)式和條件(10)可得

(26)

把(25)式代入(26)式可知不等式(10)成立．

注2定理1和定理2中的條件對于α，c2都不是線性的， 因為它們以非線性方式出現． 然而， 一旦我們固定α， 它們可以變成基于線性矩陣不等式的可行性問題， 并可通過MATLAB軟件進行求解．

3 數值算例

算例1考慮形如(6)式的非線性網絡系統

其中

求解線性矩陣不等式(17)， 得到增益矩陣

選取權重函數

μ1(t)=0.5sin2t，μ2(t)=0.3cos2t，μ3(t)=0.7-0.2sin2t

得到狀態反饋控制器(5)如下：

為了對系統狀態進行模擬仿真， 選擇初始狀態為

φ(t)=[-2 5 6]T

圖2 系統狀態x1(t)的響應圖

圖2中系統狀態x1(t)的曲線在開始的幾秒內雖然有振動， 但是超調很小， 振動的頻率也不是很高， 而且能在7 s之內收斂到并保持在0附近．

圖3中系統狀態x2(t)的曲線在開始的幾秒內有振動， 但是振動的頻率較低， 雖然超調較大， 但是出現大的超調的次數只有1次， 系統狀態能在8 s之內收斂到并保持在0附近．

圖4中的狀態x3(t)的曲線基本上沒有出現振動或者超調現象， 曲線的平滑性和收斂速度都非常好， 在4 s之內收斂到并保持在0附近． 綜上所述， 本文設計的狀態反饋模糊控制方法對所考慮的非線性網絡系統具有較好的控制效果．

圖3 系統狀態x2(t)的響應圖

圖4 系統狀態x3(t)的響應圖

算例2移動機械手系統是通過把一個機械手固定安裝在移動平臺上構成， 能夠應用于各種危險環境作業的生產過程． 機械手的工作空間由移動平臺決定， 通過調節移動平臺的移動空間調節機械手的作業空間． 由于機械手和移動平臺具有不同的動力學特性， 而且具有較為復雜的耦合性． 我們將把本文得到模糊系統的有限控制方法應用到基于網絡的移動機械手系統， 驗證研究結果的可行性．

利用拉格朗日方法對移動機械手系統建立系統的動力學模型， 采用文獻[6]中的建模過程可以得到系統的T-S模糊系統如下：

y(t)=Cx(t)

在此基礎上我們考慮基于網絡的移動機械手系統常常會受到網絡誘導時延和外界干擾的影響， 因此在上述名義系統的基礎上增加網絡誘導時延和外界干擾項．

x(t)=φ(t)t∈[-h， 0]

由于系統變量較多， 為了減少計算量， 選取r=2． 給定系統矩陣和相關參數如下

μ1(t)=sin2t，μ2(t)=cos2t

求解線性矩陣不等式(17)， 得到狀態反饋控制器

圖5 系統狀態的響應圖

從圖5中可以看出， 整體上系統的6個狀態變量的收斂性、 快速性、 平穩性較好， 超調也不算大． 所有狀態在10 s內收斂到0， 尤其狀態x1(t)，x3(t)，x6(t)在5 s之內基本收斂到0． 狀態x1(t)，x2(t)，x3(t)，x6(t)的平穩性較好， 沒有出現高頻的震蕩現象． 狀態x3(t)，x6(t)基本上沒有超調， 其余狀態雖然有超調但是超調相對較小， 均在可接受范圍內． 總之， 本文設計的模糊控制方法對此類狀態較多的控制系統具有良好的控制效果， 說明了該設計方法的可行性和有效性．

4 結論

本文針對一類基于網絡的非線性系統， 利用模糊系統建模方法和有限時間控制技術， 給出了非線性網絡系統模糊建模與有限時間控制的設計方法． 以線性矩陣不等式形式給出系統有限時間穩定的充分條件， 可以利用MATLAB工具進行求解， 具有較強的實際應用價值． 本文的研究結果還可以推廣應用于多時延網絡系統的控制設計中． 本文研究的不足在于： ① 被控系統中的狀態時延和網絡誘導時延是常數， 而且沒有考慮不確定性的影響； ② 研究得到的有限時間穩定性條件是時延獨立的， 具有一定的保守性． 由于考慮的是有限時間穩定性， 要得到時延依賴的穩定性條件， Lyapunov函數的設計將更加復雜， 時延依賴條件的探索將更加困難， 具有一定的挑戰性． 下一步研究重點是考慮帶有不確定性和時變時延的網絡系統的有限時間控制問題， 并進一步探索保守性更小的時延依賴有限時間穩定性條件．