借助“截長補短法”探究三條線段間的數(shù)量關(guān)系
——由2021年北京市房山區(qū)初三數(shù)學二模第27題引發(fā)的思考

■ 北京景山學校遠洋分校 趙 照

1 試題呈現(xiàn)

如圖1，已知AC是矩形ABCD的對角線，∠BAC＝30°，點M是DC延長線上一點，∠BAC的平分線與∠BCM的平分線交于點E，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段CF，使點F在射線CB上，連接EF.

圖1

(1)依題意補全圖形；

(2)求∠AEC的度數(shù)；

(3)用等式表示線段AE，CE，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

2 解法探究

2.1 第(2)問分析

如圖2，欲求∠AEC的度數(shù)，利用三角形內(nèi)角和180°，可將其放在封閉△AEC中，只須求∠ECA和∠1，即求∠2，∠3，∠1 的度數(shù)即可.由∠BAC＝30°結(jié)合AE平分∠BAC，易知∠1＝15°，由CE平分直角∠MCF，可知∠2＝45°，結(jié)合矩形ABCD可知∠3＝60°，進而∠AEC＝60°.

圖2

解題后繼續(xù)聯(lián)想還可以獲得哪些結(jié)論?觀察圖形，有特殊的線段或特殊的角嗎?這也是幾何綜合題解題應(yīng)該養(yǎng)成的習慣，在求解每問后繼續(xù)聯(lián)想往往會對后面的解題鋪墊條件.觀察圖形，∠F與∠1幾何直觀是相等的，那能證明么?由已知AB∥CD且AE平分∠BAC.如圖 3，延長AE交DC延長線于L，則會出現(xiàn)等腰三角形△ACL可知∠L＝15°，結(jié)合CE為角平分線易證△CEF≌△CEL.進而可得∠F＝15°，再進一步得∠AEF＝60°.

圖3

由于追問出的結(jié)論并不是簡單幾步就能得到的，所以在下面的討論中，我會說明其證明是否用到了追問出的結(jié)論∠AEF＝60°.

2.2 第(3)問分析

2.2.1 猜想三條線段之間的數(shù)量關(guān)系

遇到此類問題可以在測量的基礎(chǔ)上進行猜想，借助刻度尺測量欲證線段AE，CE，EF的長度后，可猜想三條線段間的數(shù)量關(guān)系為:AE＝CE＋EF.

2.2.2 證明三條線段之間的數(shù)量關(guān)系

針對三條線段間的和差關(guān)系，可以借助“截長補短法”將CE＋EF變成一條線段，或?qū)E-CE或AE-EF變成一條線段，從而將證不共線的三條線段間和差關(guān)系這個陌生問題轉(zhuǎn)化為證兩條線段間相等關(guān)系這個熟悉的問題.那該如何作輔助線呢，突破口在哪里?

方法一:補短法

如果借助欲證結(jié)論中的短線段CE，在其延長線上補的長度(或在延長線上補CE)，再去證明構(gòu)造的新線段與欲證結(jié)論中長線段AE相等即可.定哪條短線段去延長它呢?延長的方向?如何找到新線段與AE的關(guān)系?

(1)借助已有線段CE，構(gòu)造新線段CE＋EF

若確定短線段CE不動，我們是延長EC方向還是延長CE方向呢?延長方向的選擇還要結(jié)合第(2)問的結(jié)論∠AEC＝60°，延長EC到點N，使EN＝EA，直接構(gòu)造等邊△EAN.

①延長(如圖4)

圖4

分析:

這條輔助線還可以描述為:作∠EAN＝60°交EC的延長線于點N.

換一個角度(旋轉(zhuǎn)變換)看，欲證結(jié)論中的AE所在的△AEF中，邊AF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)可得AC(由于△ACF為等邊三角形)，那若邊AE也繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)會怎樣呢?如圖4，若直接旋轉(zhuǎn)得到AN，雖然有∠EAN＝60°和AE＝AN的結(jié)論，但是點E是否與點C，N共線?我們可通過三角形全等及角度計算得來說明三點共線，也可以調(diào)整一下輔助線的做法從而回避三點共線的問題.

②延長(如圖5)

如圖 5，延長CE到點N，使CN＝AE，連接FN，AF.結(jié)合 ∠AEC＝60°易證△CFN≌△AFE，進而可知EN＝EF進而證明結(jié)論.

圖5

此條輔助線還能描述為:延長CE到點N，使得EN＝EF.或作∠EFN＝60°交CE的延長線于點N.這兩種描述均需用到∠AEF＝60°這個追問出的結(jié)論方可證明△CFN≌△AFE.

從旋轉(zhuǎn)變換的角度看，由于FA＝FC，可將△CFN看作由包含線段AE，EF的△AFE順時針旋轉(zhuǎn) 60°得到.

我們把這種添加輔助線的方法稱為“補短法”，在運用“補短法”時要明確:讓哪條短線段不動?延長方向?如何找到新構(gòu)造的長線段與題目中的長線段的關(guān)系(可借助全等三角形或等腰三角形等).

2.2 借助已有線段，構(gòu)造新線段

如果我們確定短線段EF不動，直接延長EF或延長FE，哪種能較好地利用已知條件?

③延長FE(如圖6)

如圖6，延長FE到點N，使FN＝EC.結(jié)合∠AEF＝60°和易證△AEC≌△FNC，進而可知AE＝FN進而證明結(jié)論.

圖6

此條輔助線還能描述為:作∠ECN＝60°交EF的延長線于點N.或延長FE到點N，使FN＝AE，連接CN.這兩種描述的證明同時需用到∠AEF＝60°和∠AEC＝60°.

從旋轉(zhuǎn)變換的角度看，由于CF＝CA，可將△FNC看作由包含線段AE，EC的△AEC逆時針旋轉(zhuǎn) 60°得到.

④延長(如圖7)

如圖7，延長EF到點N，使FN＝EC.結(jié)合∠AEF＝60°和∠AEC＝60°易證 △AEC≌△AFN，進而可知AE＝EN，進而證明結(jié)論.

圖7

此條輔助線還能描述為:作∠ECN＝60°交EF的延長線于點N.或延長FE到點N，使FN＝AE，連接CN.這兩種描述的證明同時需用到∠AEF＝60°和∠AEC＝60°.

從旋轉(zhuǎn)變換的角度看，由于CF＝CA，可將△ANF看作由包含線段AE，EC的△AEC順時針旋轉(zhuǎn) 60°得到.

方法二:截長法

如果借助欲證結(jié)論中的長線段AE，能否構(gòu)造AE-CE或AE-EF呢?此時，我們需考慮:以點A為端點截取還是以E為端點截取?是截取EF還是CE呢?

以E為頂點的∠AEC＝60°是與等邊三角形或旋轉(zhuǎn)變換相關(guān)的重要條件，因此我們可試試以點E為端點進行截取.

①從E點截長(如圖8)

如圖8，在EA上截取EH＝EC，連接CH.結(jié)合∠AEC＝60°易證△ACH≌△FCE，進而可知AH＝EF，進而證明結(jié)論.

圖8

此條輔助線還能描述為:作∠ECH＝60°交EA于點H.或在AE上截取AH＝EF，連接CH.這兩種描述的證明同時需用到 ∠AEF＝60°和 ∠AEC＝60°.

從旋轉(zhuǎn)變換的角度看，由于CF＝CA，可將△ACH看作由包含線段EF，EC的△FCE順時針旋轉(zhuǎn)60°得到.

②從A點截長(如圖9)

如圖9，在AE上截取AH＝EC，連接FH.結(jié)合∠AEC＝60°易證△FAH≌△FCE，進而可知EH＝EF，進而證明結(jié)論.

圖9

此條輔助線還能描述為:在EA上截取EH＝EF，連接FH.或作∠EFH＝60°交EA于點H.這兩種描述的證明同時需用到∠AEF＝60°和∠AEC＝60°.

從旋轉(zhuǎn)變換的角度看，由于FC＝FA，可將△FAH看作由包含線段EF，EC的△FCE逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到.

我們把這種添加輔助線的方法稱為“截長法”，在運用“截長法”時要明確:以題目中長線段的哪個端點為端點進行截取?截取兩條短線段中的哪條?如何找到新構(gòu)造的短線段與題目中的另一條短線段的關(guān)系(可借助全等三角形或等腰三角形等).

3 反思與啟示

題目中(條件或結(jié)論)出現(xiàn)三條線段有形如的數(shù)量關(guān)系時，可考慮用“截長法”或“補短法”添加輔助線來解決問題，目的都是將不共線的兩條線段轉(zhuǎn)化為共線的線段，再借助構(gòu)造的全等三角形實現(xiàn)“等線段代換”從而得證三條線段間的數(shù)量關(guān)系.當然，有的題目用“截長法”作輔助線可以求解，但用“補短法”卻證不出來，或反之。我們還是要根據(jù)題目的條件及圖形特點進行分析，找到輔助線的添加方法。

而從旋轉(zhuǎn)變換的角度看，此題背景的等邊三角形是典型的旋轉(zhuǎn)變換的載體，在分析問題過程中借助“旋轉(zhuǎn)變換”(或其它幾何變換)審視圖形特點，把握在旋轉(zhuǎn)變換過程中蘊含的圖形不變的關(guān)系(數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系)，這對于解決幾何綜合題也是非常有幫助的。