面向大型構件印刷的并聯驅動雙向轉動機械臂運動學分析

寧峰平，李瑞琴，張磊，王遠

工藝與裝備

面向大型構件印刷的并聯驅動雙向轉動機械臂運動學分析

寧峰平1,2，李瑞琴1,2，張磊1,2，王遠1,2

（1.中北大學 機械工程，太原 030051；2.先進制造技術山西省重點實驗室，太原 030051）

為實現工作臂末端到達平面或曲面內特定位置，提出一種應用于大型構件印刷的2–UCU/U并聯驅動雙向轉動機械臂。應用螺旋理論分析2–UCU/U機構的約束螺旋系，得出該機構的自由度，驗證輸入選取的合理性。利用封閉矢量法，求解得出機構的位置反解，建立速度雅可比矩陣。使用搜索法，借助Matlab求得機構的工作空間，分析機構輸入與輸出運動關系。求解得到2–UCU/U并聯驅動雙向轉動機械臂的工作空間，其形狀為球形曲面；分析表明，該機構的運動為俯仰和偏航2個方向的轉動。驅動副的同向運動實現工作臂的仰俯運動，驅動副的反向運動實現工作臂的偏航運動，因此可使工作臂末端到達工作面所需位置，最終可使連于工作臂末端的工具在特定位置工作。

機械臂；并聯驅動；雙向轉動；工作空間；運動學；大型構件印刷

雙向轉動機械臂通過2個轉動，可以實現工作臂末端到達工作面內所需的位置，實現精準定位。與傳統的串聯機械臂相比，并聯驅動機械臂具有剛度大、精度高、承載能力強，無累計誤差等優點。在承載能力要求高的場所，并聯驅動機械臂應用越來越多，如包裝生產線上印刷[1]、雕刻[2]、碼垛[3]等，以及高空作業平臺[4]、船舶縱橫搖擺模擬器[5]等。在大型構件表面進行印刷、噴涂、雕刻等工作，諸如機翼、船塢等大型構件的表面印刷，對定位精度、誤差累計的要求高，同時對機械臂的剛度和承載能力也有較高的要求，因此構建一種并聯驅動機械臂具有廣泛的應用前景。

國外學者對并聯驅動機構運動學、動力學、控制參數調整、優化設計等進行了大量研究。Fabritius等[6]提出一種繩索并聯驅動平臺工作空間的計算方法，并根據計算時間評估其性能。Stojanovic等[7]對一種具有3個平移自由度并聯機床進行了運動學分析，并研究了工作空間內機構的靈巧度。Monsarrat等[8]對六自由度空間平行平臺機構進行了工作空間分析和優化。Bai等[9]回顧了具有新興應用的球面并聯機械臂的運動學、動力學、設計優化和新型球面機構的最新技術。Nedic等[10]研究了并聯機器人負載力控制器的優化調整。

國內學者也對并聯驅動機構進行機構設計、工作空間、性能優化等進行了研究。李永泉等[11]應用圖譜法提出一種3平移并聯機構構型綜合方法。陳純等[12]提出一種并聯驅動的繞、軸雙向轉動平臺，并對其動力學進行了分析。張金柱等[13]針對三自由度并聯驅動機械腿機構，進行了運動學、靜力學分析，對其性能指標及幾何參數進行了優選。Wang等[14]提出了一種建模方法和精確的數值程序來模擬多纜驅動并聯懸掛平臺系統的動態響應。榮譽等[15]提出了一種變胞的超冗余并聯機械臂，對機械臂進行了誤差建模與分析。金振林等[16]提出了一種四自由度并聯機械臂，并研究了該機構的位置正、反解。姚建濤等[17]研究了基座運動對并聯調整機構動力學性能的影響。

目前，關于大型構件的表面的印刷、噴涂、雕刻的機械臂研究相對較少，現有的研究主要集中于串聯機械臂[18-19]，并聯驅動機構在此領域研究較少。針對在大型構件表面特定區域精準定位、印刷、雕刻等問題，文中提出一種2–UCU/U并聯驅動雙向轉動機械臂，通過螺旋理論和改進的K–G公式求解該機構的自由度，選取并聯驅動并對驅動選取的合理性進行驗證。對2–UCU/U并聯驅動雙向轉動機械臂進行運動學分析和數值驗證。

1 并聯驅動雙向轉動機械臂構型

2–UCU/U并聯驅動雙向轉動機械臂由工作臂、2條并聯驅動支鏈UCU組成，其中U表示萬向鉸，C表示圓柱副，見圖1。并聯驅動支鏈下端通過U副與靜平臺連接，上端通過U副與工作臂連接，中間部位為C副，2條UCU支鏈對稱布置在工作臂的兩側；工作臂通過U副與靜平臺連接，其末端連接加工工具；右驅動支鏈、左驅動支鏈與工作臂形成三角形布置形式。

圖1 并聯驅動雙向轉動機械臂

2 2-UCU/U機構自由度及其輸入合理性

2.1 自由度分析

為分析2–UCU/U并聯驅動雙向轉動機械臂的自由度，分別取出其中驅動支鏈和工作臂支鏈。驅動支鏈坐標系建立如圖2a所示，軸和軸分別沿與靜平臺連接的U副的軸線，軸垂直于U副軸線的平面。工作臂的坐標系建立如圖2b所示，在工作臂的U副建立靜坐標系–，原點與U副中心重合，、軸分別與U副軸線重合。動坐標系1–111建立在工作臂上端，其1軸沿工作臂的中心線，111平面在初始時刻與并聯驅動支鏈上端2個U副共面。

則驅動支鏈1的運動螺旋系為：

式中：、為驅動支鏈上端U副中心的1、1坐標。

式（1）中包含6個運動螺旋，極易判斷出該運動螺旋系不存在反螺旋，也就是該驅動支鏈對工作臂不提供約束。同理驅動支鏈對工作臂也不提供約束。

工作臂的運動螺旋系為

計算式（2）中2個運動螺旋的反螺旋，由于所有螺旋坐標中的后4個元素均為0，可以得到該機械臂的約束螺旋系為：

式（3）表明，工作臂支鏈的U副對工作臂施加了4個約束，分別是3個方向的約束力和垂直U副平面的約束力偶。

綜合上述分析，工作臂共承受4個約束反螺旋，包括3個約束力和1個約束力偶。由于這4個約束反螺旋線性無關，則該機構的冗余約束數=0。由改進的K–G公式[20]，該機構的自由度為：

式中：d為機構的階數；n為機構的桿件數；g為機構鉸鏈數；fi為鉸鏈的自由度數。

由此得出，2–UCU/U并聯驅動雙向轉動機械臂的自由度是2。依據上述分析，3個分支作用3個約束力和1個約束力偶于工作臂，3個約束力在空間匯交于一點，也就是約束了工作臂沿、和軸的移動，約束力偶的方向豎直向上，約束了工作臂繞軸的轉動。機構的工作臂則還有繞、軸線轉動的2個自由度，也就是繞雙向轉動工作臂下端U副的2個軸線的轉動。由于機構在轉動過程中，驅動支鏈和工作臂的運動螺旋系不會改變，相應的反螺旋系不會改變，作用于工作臂的約束依舊是3個約束力和1個約束力偶。由此可知，該機構的雙向轉動自由度是全周性的。

2.2 輸入的選取

為分析2–UCU/U并聯驅動雙向轉動機械臂的輸入的合理性，這里需要分別分析機構的3個分支的螺旋系。其中工作臂相當于并聯機構的動平臺；UCU支鏈為驅動支鏈，其中C副選為驅動副，控制C副的移動實現驅動輸入。在C副的移動被鎖定后，驅動支鏈還有3個運動副，其運動螺旋系為

它有1個反螺旋為：

在第1條驅動支鏈中的反螺旋是約束力，沿桿件方向。同理，另一條驅動支鏈的反螺旋也是約束力，沿驅動支鏈2的桿件方向。由于工作臂支鏈中沒有驅動副，則其運動螺旋系和約束螺旋系分別同式（2）和式（3）。

綜上所述，3條支鏈總共作用于工作臂的約束數為6個，其中有5個約束為線矢力，1個約束為約束力偶。工作臂支鏈的提供的約束力在該支鏈U副中心空間匯交，兩條驅動支鏈提供的約束力和沿工作臂支鏈的中約束力在工作臂上端匯交，Grassmann線幾何原理得到這里的5個約束線矢力是獨立的線性無關。由于不存在平行約束線矢力，且與約束力偶垂直，則約束力偶與這5個約束線矢力也線性無關。這樣，作用于工作臂的6個約束是獨立的線性無關，即這6個約束螺旋系的秩為6。這說明選取這兩條UCU支鏈為驅動支鏈，且選取其中C副中移動副為驅動副是合理的。

3 2-UCU/U機構的運動學分析

3.1 位置反解

并聯驅動雙向轉動機械臂的位置反解是已知工作臂繞靜坐標系–的轉角和，求解并聯驅動支鏈中輸入位移1、2。位置反解的目的是對機構進行工作空間求解，并對預期運動實現精確控制。

為了描述機構姿態特征，采用––歐拉角描述，即工作臂繞靜坐標系、、軸的轉角和來描述。由于2–UCU/U機構是雙向轉動機構，只能繞靜坐標系、軸轉動，沒有繞軸轉動，其姿態是繞靜坐標系、軸的轉動角度分別為和，而繞軸轉動角度=0。由此可知，工作臂的姿態矩陣為

式中：c、s分別為三角函數sin、cos的簡寫。

為了研究輸入和輸出的關系，建立靜坐標系原點、動坐標系原點1以及驅動支鏈兩端U副中心U1和U2的閉環矢量圖，見圖3。

圖3 閉環矢量圖

由圖3可知：

式中：1為定常矢量；o和2為隨動平臺運動的變矢量，是驅動支鏈的編號，=1, 2。

聯立式（7）—（10）可得：

式（11）表明輸出轉角和與并聯驅動支鏈中輸入位移1、2之間的關系，即該機構的位置反解。

3.2 速度雅可比矩陣

為研究并聯驅動鏈的輸入速度與工作臂的輸出速度之間的關系，這里引進速度雅可比矩陣。將式（7）、（9）、（10）代入式（8）中，整理可得：

對式（12）求導，可得：

式中：()為角速度算子。

由于工作臂只有繞、軸的轉動，則此時的()為：

式中：ω和ω為繞、軸的角速度。

式中：

2–UCU/U機構輸入速度和輸出速度分別為：

聯合式（13）—（18）可知：

速度雅克比矩陣的定義為：機構的輸入速度與輸出速度的線性變換。結合式（18）可知，該機構的速度雅可比矩陣為：

4 2-UCU/U機構的運動學分析

4.1 工作空間分析

工作空間為該機構在驅動和結構限制條件下，工作臂末端所能到達的空間位置的集合。以機翼表面印刷為例，2–UCU/U機構的結構參數見表1。

表1 2–UCU/U機構的結構參數

Tab.1 Structural parameters of 2-UCU/U mechanism

由于該機構是雙向轉動機構，不存在移動自由度，故該工作空間是靈活工作空間。同時，由于該機構采用了2條UCU并聯驅動支鏈，與串聯驅動的關節型機械臂相比，其工作空間減小，但其承載能力和工作精度提高，累積誤差降低。

4.2 輸入與輸出特性

分析機構的驅動輸入與雙向轉動輸出的運動特性，得到驅動l的變化規律如圖5、圖6所示。由圖5可知，工作臂在平面內時，要實現其繞軸的俯仰運動，并聯驅動支鏈的輸入位移相同，即1=2，可實現繞的俯仰角度范圍為[0°, 50°]。由圖6可知，要實現工作臂繞軸的偏航運動，2個并聯驅動的位移運動恰好相反，即一個驅動桿伸長，另一個驅動桿縮短。由此可知，2–UCU/U機構中工作臂的雙向擺動是通過2個驅動副的同向位移運動和反向位移運動實現的

4.3 大型構件印刷應用分析

在大型構件表面的特定區域進行定位、印刷、噴涂、雕刻等工作，對工作臂末端重復定位精度要求較高，常見的需要印刷大型構件諸如：機翼、航天器、輪船等。2–UCU/U并聯驅動雙向轉動機械臂具有并聯機構的剛度高、承載能力大、誤差累計小等優點，可以滿足工作要求。為了適應不同大型構件的印刷，2–UCU/U機構一般安裝于水平移動平臺上，可以有效提高機械臂的工作空間，提高該機構的適用范圍。該機構采用2條UCU并聯驅動支鏈，通過控制控制兩個驅動可以實現工作臂的雙向轉動。與其他多驅動機構相比，2–UCU/U機構的運動控制是簡單的。針對大構件表面印刷問題，以機翼表面印刷文字為例，對機構應用進行了分析，見圖7。綜上分析，2–UCU/U并聯驅動雙向轉動機械臂具有廣泛的應用前景。

圖4 工作空間

圖5 驅動li隨α的變化曲線

圖6 驅動l隨的變化曲線

Fig.6 Variation curve of drivinglwith

圖7 大型機翼印刷

5 結語

提出了一種適用于大型構件印刷的2–UCU/U并聯驅動雙向轉動機械臂，應用螺旋理論分析了該機構是一雙向轉動的2自由度機構，并驗證了選取并聯驅動支鏈中C副的移動作為驅動輸入的合理性。建立了該機構的運動學模型，給出了反解的表達式，得到了理論上的工作空間。分析得出速度雅可比矩陣，得到輸入與輸出的特性曲線，并得知驅動副的同向移動實現工作臂仰俯運動，驅動副的反向移動實現工作臂偏航運動。該機構能夠使工作臂達到工作面內所需的位置，能在相應工作面的特定位置進行工作，特別是在大型構件印刷領域有良好的應用前景。

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Kinematics Analysis of Parallel Driving Bidirectional Rotating Mechanical Arm for Large Component Printing

NING Feng-ping1,2, LI Rui-qin1,2,ZHANG Lei1,2,WANG Yuan1,2

(1. School of Mechanical Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China; 2. Shanxi Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology, Taiyuan 030051, China)

The work aims to propose a novel 2-UCU/U parallel drive bidirectional rotating mechanical arm applied to large component printing to make the working end of the mechanical arm reach a specific position in a plane or a curved surface. The constrained screw of 2-UCU/U mechanism was analyzed with screw theory. The degree of freedom property of the mechanism was obtained, and the rationality of the input selection was verified. The inverse position solution of the mechanism was obtained with the closed vector method, and the velocity Jacobian matrix was established. The workspace of the mechanism was obtained with search method with the help of Matlab. The motion relationship between input and output of the mechanism was analyzed. The workspace of 2-UCU/U parallel driving bidirectional rotating mechanical arm was solved, and its shape was spherical surface. Analysis showed that the motion of the mechanism was rotation in both pitch and yaw directions. The same direction movements of the driving pairs realize the pitching movement of the working arm, and the reverse direction movements of the driving pairs realize the yawing movement of the working arm. Therefore, the working arm can reach the required position of the working surface, and finally the tool connected to the end of the working arm can work at a specific position.

mechanical arm; parallel driving; bidirectional rotation; workspace; kinematics; large component printing

TH112

A

1001-3563(2022)17-0109-07

10.19554/j.cnki.1001-3563.2022.17.014

2022–01–20

先進制造技術山西省重點實驗室開放基金（XJZZ202105）

寧峰平（1984—），男，講師，主要研究方向為機構可靠性、機器人學。

李瑞琴（1964—），女，教授、博導，主要研究方向為并聯機構學與移動機器人。

責任編輯：曾鈺嬋