基于輪軌系統耦合振動的地鐵鋼軌波磨研究

湯雪揚，蔡小培，彭華，馬超智

(北京交通大學土木建筑工程學院，北京，100044)

鋼軌波磨是地鐵線路常見的鋼軌損傷形式，我國多條地鐵線路在運營過程中出現了鋼軌波磨問題，其幾何特征呈現周期性波動，使得輪軌接觸關系不斷惡化，加劇了輪軌間的復雜相互作用，造成輪軌力劇烈增大，嚴重時甚至導致車輛及軌道零件損壞[1?3]。因此，亟需探明鋼軌波磨的形成原因及其影響因素，以便為地鐵線路的優化設計和養護維修提供理論指導。

對于鋼軌波磨成因的研究，國內外學者已進行了大量的工作。GRASSIE[4]結合既有文獻和工程實踐經驗，將波磨按照其成因分為損傷機理和固定波長機理。波長固定機理認為所有類型的鋼軌波磨都與輪軌系統的共振有關，包括輪對的彎曲共振和扭轉共振、軌道的垂直共振[5?6]，P2共振和Pinned-pinned 共振[7?9]。閆子權等[10]通過建立輪對三維有限元分析模型，分析了輪對垂向及扭轉振動，揭示了鋼軌波磨與輪對振動之間的關系。李響等[11]通過分析曲線半徑300 m的鋼彈簧浮置板軌道中鋼軌、軌道板垂向彎曲振型以及頻譜特性，發現軌道系統的垂向振動可能是導致鋼軌波磨產生及發展的主要原因。李霞等[12]建立梯形軌枕軌道模型對梯形軌枕曲線軌道上的波磨進行分析，發現鋼軌相對于軌枕的垂橫向彎曲振動是誘發鋼軌波磨的關鍵因素。文獻[13?14]對“科隆蛋”扣件軌道結構發生的鋼軌波磨進行研究，潘兵等[13]認為鋼軌波磨的產生與輪軌耦合條件下鋼軌的橫向彎曲振動有關，而李偉等[14]則認為與軌道結構的垂向彎曲振動特性密切相關。周志軍等[15]建立單輪?軌道模型對普通扣件和減振扣件軌道曲線段鋼軌波磨進行了分析，發現輪軌耦合的高頻模態特征是加劇短波長鋼軌波磨的重要原因。既有文獻多針對減振軌道或小半徑曲線地段，通過單獨考慮輪對或軌道的振動，很好地揭示了鋼軌波磨的成因。本文所研究的鋼軌波磨出現于普通整體道床地段，傳統的單獨考慮輪對或軌道振動的模型忽視了輪軌之間的耦合關系，對于輪軌系統振動特征的研究不夠全面，需尋找更為合理的振動分析模型對鋼軌波磨成因進行分析。

本文作者通過對地鐵短枕式整體道床出現的鋼軌波磨進行現場測試，獲得波磨特征，建立可考慮輪對與鋼軌相互作用的單輪對?軌道模型以及同時考慮輪軌相互作用和鋼軌振動波反射[16?17]的雙輪對?軌道模型，并與單獨考慮輪對和軌道的模型進行對比，明確適用于鋼軌波磨成因分析的理論模型，從輪軌系統耦合振動角度揭示鋼軌波磨的形成原因，并進一步分析轉向架軸距與扣件剛度對鋼軌波磨波長及幅值的影響。

1 現場波磨狀態測試

為準確測量鋼軌表面的波磨情況，利用連續測量的高精度波磨小車對某地鐵曲線段短枕式整體道床軌道的波磨狀態進行現場測試，測試段長度為180 m，曲線半徑為800 m，現場波磨情況如圖1所示。

圖2所示為該地段一側鋼軌表面不平順隨里程的變化關系。從圖2可以看出：該地段鋼軌不平順峰值水平在50 μm左右，個別里程處鋼軌表面不平順幅值達到150 μm。

圖2 鋼軌不平順Fig.2 Rail irregularity

為評價該地段波磨波深幅值特征，本文采用BS EN 13231—3:2006[18]中規定的移動波深幅值峰峰平均值(PPV)以及固定測量長度內的超限比例作為鋼軌表面不平順的評價指標。該規范將波磨波長范圍分成4 個部分，分別為10～30 mm，30～100 mm，100～300 mm 和300～1 000 mm，并且規定分析窗長及容許限值，如表1所示。由圖1可以看出該地段波磨波長較短，因此，本文采用的分析窗長為500 mm，PPV 容許值為10 μm，容許超限率為5%。圖3所示為移動波深幅值峰峰平均值隨里程的變化關系。從圖3可以看出：實測PPV在絕大部分里程處超出容許值，超限率為98%，遠遠高于容許超限率5%，說明該地段鋼軌波磨情況十分嚴重。

表1 歐洲鐵路聯盟BS EN 13231-3:2006 評價標準Table 1 European RAILWAY Union BS EN 13231-3:2006 evaluation standard

圖3 移動波深幅值峰峰平均值Fig.3 Peak-to-peak average moving wave depth amplitude

為了更加清晰地描述鋼軌波磨波長特征，根據BS EN ISO 3095:2013[19]中規定的計算方法，對所測鋼軌表面粗糙度進行1/3倍頻程波長譜分析并與規范中的規定數值進行對比，如圖4所示。由圖4可以看出：該地段鋼軌粗糙度在多個波長范圍內嚴重超出ISO 3095 標準中規定的鋼軌表面粗糙度限值，其主波長為50 mm，超出限值20 dB 以上，次波長為315 mm，超出限值5 dB以上。

圖4 鋼軌粗糙度Fig.4 Roughness of rail

由于該地段位于線路區間中部位置，行車速度較快，約為85 km/h，鋼軌主波長(50 mm)和次波長(315 mm)對應的波磨通過頻率f1和f2分別為：

2 有限元模型

為準確揭示鋼軌波磨與輪軌系統振動特征之間的內在聯系，本文建立輪對模型、軌道模型、單輪對?軌道模型(可考慮輪軌相互作用)以及雙輪對?軌道模型(可同時考慮輪軌相互作用和鋼軌振動波的反射)，通過提取各模型特征頻率并與波磨通過頻率對比，明確適用于鋼軌波磨成因分析的模型。

2.1 輪對模型

根據表2所示的參數建立地鐵B型車拖車輪對有限元模型，如圖5所示。輪軸兩側通過彈簧阻尼單元模擬一系懸掛系統，并與固定邊界連接，不考慮輪對與鋼軌的相互作用。

圖5 輪對模型Fig.5 Wheelset model

2.2 軌道模型

當激勵作用于軌道上時，該激勵的影響范圍是有限的，為了保證仿真計算的精度并且節約計算時間，選取20 跨扣件間距的軌道模型進行仿真分析，基于有限元軟件ABAQUS，建立短枕式整體道床軌道模型，如圖6所示。短枕式整體道床軌道結構主要由鋼軌、扣件和軌道板組成。模型中鋼軌類型為60 kg/m，扣件為DTVI2型扣件，軌道板為C40 混凝土，扣件間距為0.625 m，鋼軌、軌道板均采用C3D8R 單元模擬。利用Python 腳本語言對ABAQUS 進行二次開發，批量生成wire 并賦予其彈簧和阻尼器屬性，模擬扣件系統以及道床與地基之間的連接，為更真實地模擬扣件對鋼軌的約束作用，在扣件連接位置對軌道板進行網格加密，避免了傳統采用單一彈簧阻尼器模擬扣件導致扣件連接位置出現局部應力集中的情況，鋼軌和軌道板兩端均采用對稱約束，模型參數如表2所示。

圖6 軌道模型Fig.6 Track model

2.3 輪軌耦合模型

單輪對?軌道模型如圖7所示，雙輪對?軌道模型如圖8所示。將輪軌間的垂向接觸視為2個彈性體的赫茲接觸問題，由于模態分析忽略系統間的非線性特征，將輪軌接觸非線性彈簧剛度進行線性化處理，采用若干個線性彈簧模擬輪對與鋼軌間的相互作用，模型參數如表2所示。

圖7 單輪對?軌道模型Fig.7 Single wheelset?track model

圖8 雙輪對?軌道模型Fig.8 Double wheelset?track model

表2 仿真模型參數Table 2 Parameters of simulation model

根據赫茲接觸理論，輪軌間因彈性變形而產生的壓縮量為

式中：δ為輪軌相對壓縮量；P為輪軌間的垂向作用力；ρ為由車輪踏面和軌頭2 個垂直方向的半徑計算得到的常數；K為與車輪及鋼軌材料的彈性模量和泊松比有關的常數；λ為橢圓積分常數，依據車輪踏面和軌頭2 個垂直方向的半徑計算并查表得到。

由式(3)可得

本文中車輪踏面為磨耗型踏面，

式中：R為車輪半徑，m。

根據垂向力與輪軌間彈性壓縮量的關系，可以得到輪軌非線性彈簧接觸剛度為

接觸彈簧線性化時，將靜輪載P0代入式(3)得到靜壓縮量δ0，再代入式(6)即可得到線性化接觸彈簧剛度。本文取輪軌線性化接觸剛度為1.524×109N/m[20]。

3 模型振動特征與波磨成因關系分析

3.1 輪對模型振動特征

為研究輪對振動特征與鋼軌波磨的關系，本節對輪對模型進行模態分析。圖9所示為波磨通過頻率附近的輪對模態振型，輪對在477.04 Hz 和477.19 Hz處分別發生縱向和垂向的二階彎曲振動，該固有頻率與主波長為50 mm 的鋼軌波磨通過頻率相近，說明主波長50 mm 波磨的產生與輪對在477 Hz 附近處的縱向和垂向二階彎曲振動有關。值得注意的是，在輪對固有頻率中并未發現與次波長315 mm波磨通過頻率相近的頻率成分，因此僅采用輪對模型無法全面分析該地段鋼軌波磨的形成原因。

圖9 輪對模態振型Fig.9 Modal vibration mode of wheelset

3.2 軌道模型振動特征

對軌道模型施加1～1 500 Hz 單位簡諧激振力進行諧響應分析，鋼軌跨中以及軌枕上方的鋼軌位移頻響函數如圖10所示。從圖10可以看出：軌道模型的垂向Pinned-Pinned 共振頻率在1 200 Hz左右，Pinned-Pinned 共振的半個共振波長為一個扣件間距，該共振模態下鋼軌在跨中的振動幅度最大，而在軌枕上方的振動幅度幾乎為零，Pinned-Pinned 共振頻率主要由鋼軌類型和軌枕間距決定[21]。由文獻[13]可知，扣件間距為0.625 m，鋼軌類型為60 kg/m 的軌道結構垂向Pinned-Pinned共振頻率為1 151 Hz，與仿真計算的垂向Pinned-Pinned共振頻率基本一致，驗證了本文模型的正確性。軌道模型固有頻率中并未發現與主、次波長波磨通過頻率相接近的頻率，說明僅采用軌道模型仍無法對該地段鋼軌波磨的成因作出解釋。

圖10 軌道模型鋼軌位移導納Fig.10 Rail displacement admittance of track model

3.3 輪軌耦合模型振動特征

對單輪對?軌道模型和雙輪對?軌道模型施加1～1 500 Hz單位簡諧激振力進行諧響應分析，并結合輪軌系統模態振型，揭示波磨通過頻率附近的輪軌振動特征，明確鋼軌波磨的產生原因。

圖11所示為單輪對?軌道模型和雙輪對?軌道模型鋼軌跨中以及軌枕上方的鋼軌垂向位移導納。從圖11可以看出：2 個模型的Pinned-Pinned 共振頻率均在1 200 Hz左右，驗證了模型的正確性。此外，結合軌道模型的Pinned-Pinned 共振頻率可以發現，由于輪對數量增加，鋼軌受到的約束作用增強，抑制了鋼軌垂向Pinned-Pinned 共振，使得跨中激勵所激發的共振幅值有所降低。

表3所示為單輪對?軌道模型和雙輪對?軌道模型在鋼軌波磨通過頻率處的模態振型及其對應頻率。圖12和圖13所示分別為單輪對?軌道模型和雙輪對?軌道模型在鋼軌波磨通過頻率處的模態振型云圖。從圖12和圖13可以看出：在次波長波磨通過頻率75 Hz附近，輪對與軌道參振質量相對于彈性基礎發生共振(P2 共振)，輪對?軌道模型的共振影響范圍約為3 個扣件間距，雙輪對?軌道模型的共振影響范圍更大，約為7個扣件間距。輪軌系統P2共振頻率與次波長315 mm對應的波磨通過頻率基本一致，說明次波長波磨的產生與P2 共振有關。

表3 模型振型及固有頻率Table 3 Vibration mode and natural frequency of model

圖12 單輪對?軌道模型振型云圖Fig.12 Vibration mode cloud chart of single wheelset?track model

圖13 雙輪對?軌道模型振型云圖Fig.13 Vibration mode cloud chart of double wheelsets?track model

在主波長波磨通過頻率472 Hz附近，單輪對?軌道模型和雙輪對?軌道模型中輪軸均發生縱向以及垂向的二階彎曲共振(由于兩輪對在振動中存在相位差，對于每個自由度的彎曲共振，雙輪對?軌道模型存在2 種振型)，對比輪對模型在477.04 Hz和477.19 Hz 處的縱向和垂向二階彎曲振動可以發現，輪軌耦合模型的振動頻率較輪對模型更低，且更接近主波長波磨通過頻率472 Hz，這是由于輪軌耦合模型考慮了鋼軌與輪對之間的相互作用，使得輪對振動更接近實際情況。

輪軸的縱向振動導致車輪與鋼軌接觸面之間發生縱向滑動，縱向蠕滑率增大，導致縱向蠕滑力增大；輪對的垂向振動則導致輪軌垂向接觸力以相同頻率周期性波動，在接觸斑最大應力超過鋼軌材料屈服應力的區域，鋼軌表面發生磨損，長期運營條件下則會導致鋼軌波磨的產生。值得注意的是，在主波長通過頻率附近，雙輪對?軌道模型中還存在輪對間鋼軌的橫向三階彎曲振動，其頻率與轉向架軸距有關[22]。通過以上分析可以發現，主波長波磨的產生與輪軸的縱向、垂向二階彎曲振動以及輪對之間鋼軌的橫向三階彎曲振動有關。

通過對比鋼軌波磨通過頻率與輪對模型、軌道模型、單輪對?軌道模型以及雙輪對?軌道模型的固有頻率可知，單獨考慮輪對或軌道模型無法揭示該地段鋼軌波磨的形成原因，單輪對?軌道模型和雙輪對?軌道模型在分析鋼軌波磨成因時較為全面，但單輪對?軌道模型忽視了兩輪對間鋼軌振動波的反射，無法給出鋼軌振動波在輪對間反射時的輪軌系統振動特征，對鋼軌波磨成因的分析仍存在一定的局限性；雙輪對?軌道模型同時考慮了輪軌相互作用以及鋼軌振動波在輪對間的反射，對于波磨通過頻率處的輪軌系統振動特征描述更為全面。因此，建議采用雙輪對?軌道模型對鋼軌波磨成因進行分析。

4 鋼軌波磨影響因素分析

4.1 波磨波長影響因素

本節基于雙輪對?軌道模型，研究不同轉向架軸距(1.8，2.0，2.2，2.4 和2.6 m)及扣件剛度(24，32，40，48 和56 kN/mm)下的輪軌系統振動特征，并進一步分析轉向架軸距及扣件剛度對波磨波長的影響。

圖14所示為不同轉向架軸距、扣件剛度下的輪軌系統振動頻率變化曲線。從圖14可以看出：隨著轉向架軸距增大，P2 共振頻率以及輪軸縱、垂向振動頻率基本不發生變化，輪對間鋼軌的橫向彎曲振動頻率明顯減小，這是由于輪對間的彎曲振型波長與軸距有關，軸距的增加使得彎曲波長變大，彎曲振型的頻率降低；隨著扣件剛度的增大，P2 共振頻率顯著增大，其他頻率基本變化不大。

圖14 輪軌振動特征頻率Fig.14 Characteristic frequency of wheel-rail vibration

圖15所示為不同轉向架軸距、扣件剛度下的輪軌系統振動導致的波磨波長變化曲線。從圖15可以看出：隨著轉向架軸距增大，由鋼軌橫向彎曲振動導致的波磨波長明顯變大，而其他振型導致的波磨波長變化不大；隨著扣件剛度增大，由P2 共振導致的波磨波長明顯變小，而其他振型導致的波磨波長變化不大。

圖15 鋼軌波磨波長Fig.15 Wavelength of rail corrugation

4.2 波磨幅值影響因素

本節基于雙輪對?軌道模型，研究不同轉向架軸距(1.8，2.0，2.2，2.4 和2.6 m)及扣件剛度(24，32，40，48和56 kN/mm)下的輪軌接觸作用力，并進一步基于Archard磨耗理論分析轉向架軸距及扣件剛度對波磨幅值的影響。

當車輪與鋼軌發生滾動接觸時，車輪踏面和鋼軌表面的不平順會引起動態輪軌力，由于振動波在鋼軌中的傳播速度遠遠大于車輪的滾動速度，可以認為車輪在空間中的位置保持不變，鋼軌不平順在輪軌接觸面之間以車輪的滾動速度移動，產生輪軌系統的相對位移激勵。本文選取波磨的初始波長λ=50 mm，幅值A=0.1 mm，車輪的滾動速度v=85 km/h，時間為t時的不平順激勵可表示為

圖16所示為輪對與軌道相互作用示意圖。從圖16可知：在輪對1和輪對2與鋼軌的接觸位置分別施加相對位移激勵R(t)，由于輪軌線性化接觸剛度的存在，會使輪對1與鋼軌之間產生主動輪軌作用力F11以及附加輪軌作用力F12，其中F12包括輪對2處位移激勵引起的輪對1處的輪軌作用力P12和輪對2 反射波在輪對1 處引起輪軌作用力Q12。本文建立的雙輪對?軌道模型是頻域線性模型，滿足疊加原理[23]，于是輪對1與鋼軌的總接觸作用力F1為主動輪軌作用力F11、輪軌作用力P12和輪軌作用力Q12三者之和。

圖16 輪軌相互作用示意圖Fig.16 Schematic diagram of wheel-rail interaction

Archard 磨耗理論[24]認為，材料磨耗的體積V與接觸法向力、滑動距離成正比，與材料的硬度成反比，即

式中：k為磨耗系數，可通過大量磨耗實驗獲得；N為接觸法向壓力；S為相對滑動距離；H為材料的硬度，取摩擦副的較小值。

在相同的輪軌蠕滑狀態下，鋼軌磨耗與輪軌法向接觸力F1呈正相關，且由于主動輪軌作用力只與相對位移激勵和接觸剛度有關，不同轉向架軸距和扣件剛度下主動輪軌作用力導致的輪軌磨耗相同，因此，附加作用力F12對波磨幅值存在顯著影響。

圖17所示為不同轉向架軸距下附加輪軌力時頻曲線以及峰值分布情況。從時域圖可以看出：不同軸距下的附加輪軌力波動范圍不同，軸距為2.0 m時波動幅值最小，軸距為2.4 m時波動最為劇烈；從頻域圖可以看出：不同軸距下的附加輪軌力峰值均出現在70 Hz 和472 Hz 處，70 Hz 處的峰值可能與輪軌系統的低階固有頻率有關，472 Hz處的峰值則與相對位移激勵的頻率有關；從峰值分布圖可以看出：隨著轉向架軸距增加，附加輪軌力先減小后增大而后又減小，呈現波動趨勢，這可能是由于不同軸距下輪對2處激勵在輪對1處產生的輪軌力P12與輪對2反射波在輪對1處引起輪軌作用力Q12相位差不同，導致疊加后的附加輪軌作用力F12呈現波動趨勢，輪軌力峰值的最小和最大值分別出現在軸距2.0 m和2.4 m處。

圖17 不同轉向架軸距下的附加輪軌力Fig.17 Additional wheel-rail forces at different vehicle axle distances

附加輪軌作用力F12隨軸距的變化呈現波動趨勢，由于鋼軌磨耗增加量與附加輪軌作用力F12成正比，因此，波磨幅值隨軸距的變化也同樣呈現波動趨勢，在軸距2.0 m時波磨幅值最小，在軸距2.4 m時波磨幅值最大。

圖18所示為不同扣件剛度下附加輪軌力時頻曲線以及峰值分布情況。從時域圖可以看出：不同扣件剛度下的附加輪軌力波動范圍不同，扣件剛度為24 kN/mm 時波動最為劇烈，扣件剛度為56 kN/mm 時波動幅值最小；從頻域圖可以看出：不同扣件剛度下的附加輪軌力峰值均出現在70 Hz和472 Hz處，70 Hz處的峰值可能與輪軌系統的低階固有頻率有關，472 Hz 處的峰值則與相對位移激勵的頻率保持一致；從峰值分布圖可以看出：附加輪軌力峰值隨著扣件剛度增加而減小，這是由于扣件剛度的增加使得軌道系統的整體性增強，位移激勵產生的能量更易向下擴散，從而減弱了輪軌之間的振動，附加輪軌力峰值在扣件剛度為24 kN/mm 時最大，在扣件剛度為56 kN/mm 時最小。

圖18 不同扣件剛度下的附加輪軌力Fig.18 Additional wheel-rail forces at different fastener stiffnesses

由于鋼軌磨耗增加量與附加輪軌作用力F12成正比，附加輪軌作用力F12隨扣件剛度增加而減小，因此，波磨幅值隨扣件剛度增加而減小，這一結論也解釋了地鐵鋼軌波磨多發生于減振扣件類軌道的原因[25]。

5 結論

1)該軌道結構鋼軌波磨移動波深幅值峰峰平均值超限率為98%，主波長為50 mm，次波長為315 mm，列車的行車速度在85 km/h，主波長和次波長通過頻率分別為472 Hz和75 Hz。

2)相比于輪對模型、軌道模型、單輪對?軌道模型，雙輪對?軌道模型同時考慮了輪軌相互作用以及輪對間鋼軌振動波的反射，能夠較為全面地體現輪軌系統振動特征，建議采用雙輪對?軌道模型對鋼軌波磨成因進行分析。

3)主波長波磨的產生與輪軸的縱向、垂向二階彎曲振動以及輪對之間鋼軌的橫向三階彎曲振動有關；次波長波磨的產生主要與P2共振有關。

4)轉向架軸距的增大僅會導致由鋼軌橫向彎曲振動引起的波磨波長增大，扣件剛度的增大僅會導致由P2 共振引起的波磨波長減小；波磨幅值隨軸距增大呈現波動趨勢，但隨扣件剛度增大而減小。