基于模態測試的裝配式簡支梁橋等效荷載試驗方法研究

亓興軍，孫緒法，周廣利，王珊珊

（1.山東建筑大學交通工程學院，山東濟南 250101；2.山東省交通科學研究院，山東濟南 250102；3.山東高速集團有限公司，山東濟南 250098）

引言

近年來，我國基礎建設如火如荼，橋梁作為交通互聯互通的關鍵樞紐也取得了舉世矚目的成就。據交通部資料統計，截止2018年底，全國公路橋梁達到85.15萬座、5 568.59萬米，比上年增加1.90萬座、342.97萬米，其中特大橋梁5 053座、大橋98 869座，中小橋梁更是超過70余萬座。然而在橋梁漫長服役過程中，受環境侵蝕、荷載的長期效應、疲勞效應及車輛超載超重等眾多不利因素的影響，導致在役橋梁損傷累積，運營壓力不斷增大。因此，如何準確快速地評估中小型橋梁的承載能力狀態，是目前亟需攻克的難題。

目前，國內外學者和專家對于橋梁工作狀態的評估進行了許多研究，歷史上UC-Berkeley 大學的Clough教授曾提出模態柔度的概念［1］；林賢坤等［2-4］利用環境激勵方式，獲得了張家港大橋與通揚運河大橋的位移柔度矩陣，并預測橋梁在車輛荷載作用下的模態撓度，通過與靜載撓度實測值相比較，給出模態撓度可準確地代替靜載撓度的理論；田永丁［5］研究了環境振動測試下橋梁位移柔度，并對橋梁的整體性能進行評估；張建等［6-9］提出一種利用沖擊激勵獲得橋梁的柔度矩陣，從而預測橋梁在荷載作用下的變形，實現對于橋梁安全狀態的快速評估。

針對靜載試驗費時費力，無法快速評估橋梁承載能力，以及動載試驗對橋梁結構性能淺層次分析較多的缺點，本文提出了一種基于模態測試的裝配式簡支梁橋等效荷載試驗方法。其基本流程為：（1）實測橋梁在環境激勵下振動信號，識別橋梁結構的實際模態參數；（2）結合有限元模型對實測振型進行質量歸一化，計算橋梁的位移柔度矩陣；（3）根據規范設計靜載試驗方案，由加載效率確定靜載試驗的等效荷載，進而預測裝配式簡支空心板梁橋在等效荷載作用下的模態撓度；（4）將模態撓度代替靜載試驗的實測撓度，計算撓度校驗系數，應用于在役橋梁的承載能力評定中。

文中以一座跨徑為16 m 的裝配式簡支空心板梁橋為研究對象，利用實橋的模態測試結果，探討基于模態測試的裝配式簡支梁橋等效荷載試驗方法的有效性和準確性。

1 模態位移柔度計算方法

1.1 模態參數識別方法——隨機子空間法（SSI）

隨機子空間參數識別方法［10］是一種基于環境激勵的模態參數識別的時域方法，可以將采集到的橋梁加速度時程響應數據通過一定方式組成Hankel 矩陣，并建立線性的離散空間狀態方程，采用QR 分解、奇異值分解（SVD）、最小二乘法等識別結構的離散空間狀態方程，最后利用特征值分解確定獲得結構的模態參數［11］。在環境激勵條件下，線性振動系統的隨機狀態空間方程的離散空間形式可表示為：

式中：xK表示離散時間的狀態向量；yK表示系統的輸出向量；A表示n×n階系統的離散狀態矩陣，n表示系統的階次；C表示輸出矩陣；ωk和υk分別表示系統過程噪聲和系統測量噪聲，二者平均值均假設為零，且二者互不相關。

SSI的主要目標是對系統的狀態矩陣A和系統輸出矩陣C進行求解，具體步驟如下：

（1）確定加速度時程響應數據組成的系統Hankel矩陣。結構在進行環境激勵振動測試時，選取所測結構的關鍵位置測點作為參考點，通過測點輸入yK，可以構造Hankel矩陣H。

（2）定義投影矩陣pi并對投影矩陣進行QR分解，對原始數據進行縮減，并且保留原有數據的信息。

（3）對其投影按照奇異值進行分解，并將結構響應的輸出yk通過結合卡爾曼濾波理論來確定狀態向量，采用最小二乘法計算系統狀態矩陣及輸出矩陣C。

（4）對系統狀態矩陣A進行特征值分解，進而得到原連續系統的特征值和特征向量，最終求得結構的頻率、阻尼比及振型。

1.2 位移柔度矩陣計算方法

1.2.1 模態位移柔度概念

剛度是結構最重要的力學特性，是結構在荷載作用下發生位移變形的內在力學本質，柔度矩陣是剛度矩陣的逆矩陣，是表示在單位荷載下結構產生的變形值。通過模態振動測試試驗和模態分析方法得到的柔度稱為模態柔度［12］。

1.2.2 實模態系統頻響函數

實模態系統［13］為比例阻尼系統，依據振型的正交性［14］有：

式中：φ為位移振型矩陣，φ=[φ1φ2φ3...φi，φi]為對應的第i階振型列向量。

在位移振型矩陣方陣且滿秩的情況下，由式（3）、式（4）和式（5）可解出M，C，K分別為：

將M，C，K代入位移頻響函數矩陣的定義式[Hd(ω)]=(-ω2M+jωC+K-1)-1可得出：

1.2.3 由位移頻響函數計算位移柔度

從環境激勵下得到的位移振型與真實振型（即質量歸一化振型）存在一定的比例關系，假設每一階振型與質量歸一化振型的關系為：

模態特征值分析計算的或進行模態分析識別的某階位移振型φi不一定剛好就是歸一化振型。

那么由式（10）、式（11）和式（12），導出質量歸一化系數為：

在1.2.2小節中，通過實模態理論中給出的位移頻響函數矩陣定義式，令頻率變量ω=0，則：

式中：d表示該參數為位移相關變量。

上述式（16）是多階模態參數的疊加，與固有頻率的平方成反比的關系，隨著模態階次的提高，固有頻率將會變大，高階模態參數對位移柔度矩陣貢獻將顯著減小。因此，只需利用豎向低階模態參數計算位移柔度矩陣，即可滿足工程精度要求。

2 裝配式簡支空心梁橋模態測試及位移柔度識別

2.1 試驗梁概況

以某段高速公路上具有代表性的16 m裝配式簡支空心梁橋為研究對象，研究評估不中斷交通運營狀況下橋梁的剛度。該簡支梁空心板橋初始設計荷載為汽車-超20，掛車-120。空心板主梁高0.7 m，混凝土找平層為0.16 m，混凝土找平層與主梁有鋼筋連接，共同參與承受來自車輛荷載的作用力。橋梁的半立面圖如圖1所示。

圖1 半16 m立面圖（單位：cm）Fig.1 Half 16 m elevation view（Unit：cm）

由5片單梁組成的裝配式簡支空心板梁橋截面尺寸如圖2所示。5片單梁組成的裝配式簡支空心板梁橋立面圖如圖3所示。

圖2 主梁截面尺寸（單位：mm）Fig.2 Main beam section size（Unit：mm）

圖3 裝配式簡支空心板梁橋立面圖Fig.3 Elevation view of fabricated simply supported hollow slab girder bridge

2.2 有限元模型的建立

對某高速公路改擴建工程的簡支空心板梁橋進行切割，獲取5片16 m單梁，將5片主梁拆除拖運到試驗室，梁體安裝就位后在鉸縫處灌注UHPC 材料使5 片梁在橫向連接為整體橋梁體系。收集簡支空心板梁橋的資料，利用橋梁施工圖紙建立有限元模型。在ANSYS中利用梁格法建立模型，選取beam4、beam44和combin14 單元建立跨度為15.8 m、寬5.8 m 的裝配式簡支空心板梁橋的初始有限元模型。在ANSYS 建模過程中，主梁采用beam4，5片主梁橫向連接采用beam44單元，以此來建立虛擬橫梁，模擬橫向剛度。虛擬橫梁和主梁是相同的材料，且具有共同的截面屬性，將虛擬橫梁密度設為0，通過耦合其節點自由度來模擬鉸縫。橋梁支座采用combin14 單元。橋梁的單梁單元劃分為0.4×11+0.03+299×0.05+0.03+0.05×7=15.8 m，有限元模型如圖4所示。

圖4 裝配式簡支空心板梁橋有限元模型Fig.4 Finite element model of fabricated simply supported hollow slab beam

在ANSYS 軟件中對有限元模型進行理論模態分析，獲得理論計算頻率與振型，有限元模型理論前四階頻率如表1所示，理論前四階振型如圖5所示。

表1 前四階理論頻率Table 1 The first four-order theoretical frequency

圖5 前四階理論計算振型Fig.5 The first four-order theoretical calculation mode

2.3 實測橋梁頻率與振型

采用環境振動測試方法［15］獲得加速度時程響應數據，環境振動測試數據可輸出結構的基本模態參數（如頻率、阻尼、振型等）［16］。

通過在裝配式簡支空心板梁橋上布置加速度測點，來獲得加速度時程響應數據，數據采集使用的加速度傳感器型號為BY-S07。加速度傳感器的位置布置如圖6，圖6 中從下至上依次為1～5片梁，在實橋上共有45個測點，限于傳感器的數量，5 片梁分5 次采集，故需設置固定參考點，參考點設置在1 號梁上，采用?標注，其余測點采用⊕標注。橋面放置好加速度傳感器后，查找機箱，調靈敏度，平衡清零，而后進行加速度響應時程數據的采集，采樣頻率600 Hz，采集時長為25～30 min，足夠充分準確地獲取橋梁模態信息。

圖6 裝配式簡支空心板梁橋加速度傳感器布置圖（單位：m）Fig.6 Layout of acceleration sensor for fabricated simply supported hollow slab girder bridge（Unit：m）

1號、3號梁跨中測點典型加速度時程曲線如圖7、圖8所示。

圖7 1號梁跨中加速度時程Fig.7 Acceleration time history of No.1 beam mid-span

圖8 3號梁跨中加速度時程Fig.8 Acceleration time history of No.3 beam mid-span

應用SSI模態識別方法，由環境激勵下橋梁的實測加速度響應數據識別獲得橋梁的前四階頻率與振型，獲得橋梁的前四階頻率如表2。結合理論前四階計算頻率，可看出實測橋梁頻率與理論計算頻率較為接近，模態識別結果較準確。

表2 橋梁實測頻率Table 2 Bridge measured frequency table

識別的前四階位移振型如圖9所示。

圖9 橋梁前四階實測振型圖Fig.9 Measured vibration shape diagram of the first four orders

結合模態振型識別結果與其對應的模型理論振型結果計算MAC值，MAC越接近于1表示2個模態振型的相關度高，即表示模態識別結果越好。MAC 值計算結果如表3所示。

從表3可以看出前四階MAC 值均大于0.92，說明模態識別結果與有限元模型理論振型吻合度較高。

表3 模態振型MAC值Table 3 Mode shape MAC value

由于是對該16 m 跨徑空心板梁橋分5 組進行的模態測試試驗，高階實測振型識別較為困難，精度較差。原因在于模態測試試驗在室內試驗室完成，僅由地脈動等環境因素激振橋梁，激振能量較小，難以獲得高階實測振型。

2.4 實測位移柔度矩陣

由于在實際工程中橋梁的劣化損傷對橋梁質量的影響很小，可以近似地采用原設計橋梁的模態質量代替損傷橋梁的模態質量［17］。得到實測橋梁的頻率與振型后，可計算得到位移柔度矩陣［18-19］。通過實測獲得橋梁的頻率與振型，對實測振型進行振型質量歸一化，利用式（13）計算出質量歸一化系數γi和質量歸一化振型{φi}。計算出的前四階質量歸一化系數分別為4.425×10-4、5.633×10-4、3.50×10-4、4.782×10-4。計算獲得質量歸一化振型后，利用式（16）計算得到實測位移柔度矩陣三維圖如圖10所示。

圖10 實測位移柔度矩陣三維圖Fig.10 Three-dimensional diagram of the measured displacement compliance matrix

3 橋梁等效荷載試驗方法

3.1 實測柔度預測橋梁實際撓度計算方法

前面第2.4節中，已計算出實測位移柔度矩陣，那么如何對橋梁結構的位移進行預測？在保證橋梁結構安全的前提下，首先，在裝配式簡支空心板梁橋上進行均勻荷載面等效加載，即在測點上添加分散集中力。施加荷載后預測橋梁結構的靜態位移。

由識別的位移柔度矩陣和已知的荷載向量，預測橋梁撓度計算公式如下：

3.2 等效荷載計算

橋梁設計撓度是橋梁在設計過程中采用的公路-I級荷載作用下的橋梁撓度。其撓度排除自重產生，只計算在公路-I級荷載下產生的撓度。橋梁設計撓度采用Midas計算，利用Midas建立橋梁模型，Midas橋梁模型如圖11所示。

圖11 有限元空心板梁模型Fig.11 Finite element hollow slab beam model

依據《公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規范》（JTG3362-2018）規定的設計荷載計算設計撓度，在裝配式簡支空心板梁橋加上公路-I級荷載，利用影響線，將車輛荷載作用在最不利位置，然后計算橋梁在車輛荷載的作用下的最大撓度，即為橋梁設計撓度。通過計算所得各片主梁的跨中撓度為4.22 mm（中梁）、4.18 mm（次中梁）、4.15 mm（邊梁）。

根據《公路橋梁荷載試驗規程》的規定，加載效率ηq計算公式如下：

式中：Ss為靜力荷載試驗作用下，某以加載試驗項目對應的加載控制截面內力、應力或變位的最大計算效應值；S'為控制荷載產生的同一加載控制截面內力或位移的最不利效應設計值；μ為按規范取定的沖擊系數值。

經過試算，測點相對應的等效荷載為每個測點施加19.0 kN 的集中力等效荷載下跨中最大撓度是4.10 mm，而橋梁設計撓度依據有限元模型計算值為4.22 mm，得出裝配式簡支空心板梁橋的靜載試驗荷載效率為0.96，荷載試驗規范對于舊橋加載效率規定的范圍是0.95～1.05，滿足規范的要求，此處忽略沖擊系數值，因為采用等效靜力荷載，沒有汽車的沖擊力作用。

3.3 裝配式簡支空心板梁剛度評估

撓度校驗系數是指橋梁檢定試驗所得數據（應力、撓度）與理論計算值（應力、撓度）之比，其可用η表示，計算公式如下：

式中：Se為試驗荷載作用下主要測點的實測彈性變位值；Ss為試驗荷載作用下主要測點的理論計算變位值。若校驗系數滿足規范規定，則說明橋梁承載力滿足設計要求。

控制截面5 片梁的撓度校驗系數如表4 所示，5 片梁的撓度校驗系數均小于1，故16 m 裝配式空心板梁橋承載剛度滿足要求。實測跨中最大撓度為3.56 mm，為第4 片板梁的跨中豎向撓度，說明第4 片板梁劣化最嚴重，其承載狀況最差。根據《公路橋梁承載能力檢測評定規程》由式（5）計算橋梁撓度校驗系數是0.87，滿足規范0.7～1.0之間的要求，通過環境激勵下的前四階模態參數獲得實測模態撓度，并計算5片梁撓度校驗系數，5片梁均滿足承載要求，故此裝配式簡支空心板梁橋的承載剛度滿足設計要求。等效集中荷載組成的均勻荷載面加載下裝配式簡支梁橋理論撓度和模態撓度如圖12所示。

圖12 理論撓度與模態撓度Fig.12 Theoretical deflection and modal deflection

表4 撓度校驗系數Table 4 Deflection calibration coefficient

從圖12可以看出，通過有限元模型計算的理論撓度與模態撓度比較，還具有一定的誤差，主要原因在于測試信號的精度和模態分析中的試驗模態參數識別的精度，需采用高精度傳感器和其他辦法來提高精度。因此，基于模態測試的等效荷載試驗方法可以獲得準確的實測撓度值，無需長時間中斷交通，可實現對橋梁進行承載剛度評估。

4 結論

（1）基于模態測試的等效荷載試驗方法能夠方便快捷地評估橋梁承載能力，實測位移柔度矩陣對于振型階數具有快速收斂性，低階的豎向模態振型對于柔度矩陣貢獻較大，只需測試橋梁的低階豎向模態即可獲得簡支梁橋較為準確的模態撓度。

（2）均勻荷載面加載得到的實測撓度與理論設計撓度之間的比值為橋梁等效荷載試驗的撓度校驗系數，可以結合現行規范評定實際橋梁的剛度狀況。經實際測試和計算評估，5 片梁撓度校驗系數均小于0.87，滿足規范要求，故文中裝配式空心板橋的剛度滿足設計要求。

（3）文中的基于模態測試的裝配式橋梁等效荷載試驗方法，利用實測振動數據進行快速荷載試驗方法研究，測試識別精度滿足規范要求，此方法無需長時間中斷交通和大噸位加載車，具有經濟方便、簡單快捷的特點，在橋梁荷載試驗評定的實際工程中具有廣闊的應用前景。