加載角度對弧形加載巴西劈裂試驗影響的數(shù)值研究

孫志偉包春燕，2，*蔡悅翔

（1.紹興文理學(xué)院土木工程學(xué)院，紹興 312000；2.紹興文理學(xué)院巖石力學(xué)與地質(zhì)災(zāi)害實驗中心，紹興 312000）

0 引言

目前，測量巖石抗拉強(qiáng)度的方法主要有兩種［1-6］：直接拉伸試驗和巴西劈裂試驗。研究者們普遍認(rèn)為，直接拉伸試驗的結(jié)果更接近巖石的真實抗拉強(qiáng)度。然而，由于直接拉伸試驗試件加工難度大，而且不可避免會出現(xiàn)偏心加載，導(dǎo)致力的作用線與試樣中心軸不重合。因此，相較于直接拉伸試驗，測試巖石抗拉強(qiáng)度時巴西劈裂試驗更為常用。

傳統(tǒng)巴西劈裂試驗（圖1）對圓盤施加徑向相對的集中載荷，由于端部應(yīng)力集中，會在端部加載處附近先發(fā)生壓破壞，而不是在中心處產(chǎn)生拉破壞，得到的名義抗拉強(qiáng)度與真實值誤差較大［7］。為滿足巴西劈裂試驗中心起裂的要求，減少應(yīng)力集中，研究者們提出將集中加載改為弧形加載或平臺加載。平臺加載法于2002年首次由王啟智等［8-12］提出用于測定巖石抗拉強(qiáng)度，但是其削去圓盤的一部分，改變了圓盤的形狀，破壞了圓盤的整體性，圓盤受壓是否均勻，是否依舊符合彈性理論，結(jié)果是否可靠，還有待進(jìn)一步驗證。如圖2所示，相較于集中加載巴西劈裂試驗，弧形加載試驗通過改變壓頭墊塊形狀等方式，將對試件端部施加的一對集中載荷均勻地分布在具有一定長度的弧線上形成弧形荷載，該弧線所對應(yīng)的圓心角2α即為加載角度。弧形加載法能改善加載處的應(yīng)力狀態(tài)，使試件端部均勻受壓，避免應(yīng)力集中，滿足了中心起裂的要求，結(jié)果可靠度高，被眾多學(xué)者認(rèn)可［2，13-15］。

圖1 集中加載巴西圓盤力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of Brazilian disk under concentrated loading

圖2 弧形加載巴西圓盤力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of Brazilian disk under arc loading

目前，試驗相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)程如《水利水電工程巖石試驗規(guī)程》（SL 264—2001）［16］、《工程巖體試驗方法標(biāo)準(zhǔn)》（GB/T 50266—99）［17］等都只對巴西劈裂法的試件直徑、厚徑比和荷載施加速率給出了一定范圍的規(guī)定，但是沒有給出規(guī)定的加載角度，導(dǎo)致巴西劈裂試驗測得的抗拉強(qiáng)度值表現(xiàn)出極大的離散。本文對不同加載角度下的弧形加載巴西試驗進(jìn)行研究，將會是對相應(yīng)研究的有益補(bǔ)充，為加載角度的選取提供理論依據(jù)，對于推動巖石力學(xué)基礎(chǔ)研究的發(fā)展將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的意義。

考慮到由于多個不同角度的弧形加載巴西劈裂試驗不存在理論解，多組不同角度的弧形壓頭實際操作困難，并且實際試驗時墊塊與試件之間存在摩擦?xí)Y(jié)果產(chǎn)生較大影響，因此本文采用數(shù)值模擬的研究方法，既能排除摩擦的影響，又能夠直觀地反映巴西圓盤內(nèi)部的應(yīng)力場和位移場。

1 巴西劈裂試驗理論解

巴西劈裂試驗的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)程中規(guī)定的圓盤試件厚徑比為0.5～1.0，因此當(dāng)圓盤試件屬于彈性變形時，可將三維問題簡化為二維平面問題，根據(jù)彈性理論可以得到圓盤內(nèi)任意一點的應(yīng)力理論解。1958年Н.И.Мусхелишвили［18］采用復(fù)變函數(shù)的方法給出了精確描述集中力加載下的傳統(tǒng)巴西圓盤內(nèi)任意一點的應(yīng)力解析解。直徑為D、厚度為t的傳統(tǒng)巴西劈裂圓盤試件在一對集中力P加載下的力學(xué)模型（圖1）和圓盤內(nèi)任意一點A（x，y）的正應(yīng)力σx、σy及剪應(yīng)力τxy的表達(dá)式如下所示：

將x=0，y=0代入式（1）中，可得圓盤中心點O處的應(yīng)力解析解如下：

通常巖石類材料的抗拉強(qiáng)度是抗壓強(qiáng)度的0.1倍以下［1］，由式（2）可知，σx0＞0.1σy0，說明圓盤中心處的拉應(yīng)力先達(dá)到抗拉強(qiáng)度發(fā)生拉伸破壞，即中心先起裂。當(dāng)施加的荷載P達(dá)到試件材料破壞時的臨界荷載Pt，此時的σx0即為所測的抗拉強(qiáng)度σt。

2 數(shù)值模型及結(jié)果驗證

2.1 數(shù)值模型及相關(guān)參數(shù)

為證明數(shù)值模擬的可靠性，本文采用有限元軟件ANSYS首先建立加載角度2α為0°的集中加載模型，根據(jù)試驗相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)程取圓盤試件直徑D=50 mm，厚度t=25 mm，彈性模量E=40 GPa，泊松比μ=0.25；由于上、下墊塊與圓盤試件相切，因此墊塊寬度不影響試驗結(jié)果，取與試件直徑相同值為50 mm，取彈性模量E=4 000 GPa，泊松比μ=0.25，可認(rèn)為是剛體；上、下墊塊與圓盤試件之間光滑無相對滑動，摩擦系數(shù)為0。ANSYS建模采用具有拉裂和壓碎性能的Solid65單元類型，網(wǎng)格單元采用誤差較小的六面體單元進(jìn)行劃分，在上墊塊上表面中心施加豎直相下的集中力P=1 kN，下墊塊下表面節(jié)點約束。

圖3 部分不同加載角度的巴西劈裂模型Fig.3 Parts of the Brazilian splitting numerical model with different loading angles

之后再以集中加載模型為原型分別建立不同加載角度的弧形加載模型，研究加載角度對弧形加載巴西劈裂試驗的影響。通過改變墊塊的寬度控制加載角度，為更明顯地觀察加載角度導(dǎo)致的試件由受拉破壞向受壓破壞過渡的過程，墊塊寬度取較大的范圍為2～32 mm，其所對應(yīng)的加載角度2α分別為9.2°，13.8°，18.4°，23.1°，27.8°，32.5°，37.3°，42.2°，52.2°，62.7°，79.6°。

2.2 集中加載模型數(shù)值解與理論解對比

由于模型結(jié)構(gòu)和荷載均對稱，因此取圓盤上半部分進(jìn)行分析，分別計算出集中加載（即加載角度2α=0°）下圓盤加載直徑上半段（即圖1中OB段）上點的應(yīng)力數(shù)值解與理論解，對比以證明數(shù)值模擬結(jié)果的可靠性。

觀察圖4可知，圓盤加載直徑上點的水平應(yīng)力σx和垂直應(yīng)力σy數(shù)值解和理論解的變化曲線僅在靠近加載點附近出現(xiàn)較大分離，而在遠(yuǎn)離加載點處基本重合。圓盤加載直徑上點的水平應(yīng)力σx和垂直應(yīng)力σy的數(shù)值解普遍小于理論解，水平應(yīng)力σx的理論解與距圓心的距離y無關(guān)，為一固定值，而數(shù)值解隨著距圓心的距離y增加而減小，逐漸由正變負(fù)。

圖4 集中加載模型中軸線應(yīng)力數(shù)值解與理論解Fig.4 Numerical and theoretical solutions of axial stress in concentrated loading model

通過表1可知，水平應(yīng)力σx和垂直應(yīng)力σy的數(shù)值解與理論解的誤差隨著距圓心的距離y增加而增大，在靠近圓盤中心處較小，在靠近加載點附近誤差較大。由于應(yīng)力集中的原因，普遍認(rèn)為靠近加載處的部分結(jié)果不可靠，因此主要分析靠近圓心部分的結(jié)果。當(dāng)y≤20 mm時，垂直應(yīng)力σy數(shù)值解與理論解的最大誤差為1.3%、最小誤差為0.14%，水平應(yīng)力σx數(shù)值解與理論解的最大誤差為36.02%、最小誤差為1.79%，考慮到靠近加載點附近應(yīng)力集中的原因，可認(rèn)為均屬于合理誤差，因此證明該模型能夠較好地模擬出巴西圓盤劈裂試驗。

表1 集中加載模型中軸線應(yīng)力數(shù)值解與理論解誤差Table 1 Error between numerical solution and theoretical solution of axial stress in concentrated loading model

3 加載角度的影響分析

3.1 加載角度對中軸線上應(yīng)力分布的影響

在不同加載角度的弧形加載模型中，圓盤試件中軸線上半段上點的水平應(yīng)力結(jié)果如圖5所示。從圖5中可以看出，所有模型中的水平應(yīng)力σx的最大值皆出現(xiàn)在圓盤中心處，圓盤中心附近水平應(yīng)力為正值，表現(xiàn)為拉應(yīng)力，隨著位置從中心向加載處推移，水平應(yīng)力逐漸減小變?yōu)樨?fù)值，拉應(yīng)力過渡為壓應(yīng)力，由于加載造成的局部應(yīng)力集中，在靠近加載處表現(xiàn)為極大的壓應(yīng)力。同時發(fā)現(xiàn)，隨著加載角度2α的增大，巴西圓盤中軸線上的水平拉應(yīng)力σx緩慢減小，最大水平拉應(yīng)力從加載角度2α為0°時 的0.50 MPa降 低 到80°時 的0.32 MPa，而最大水平壓應(yīng)力卻從4.10 MPa急降到1.95 MPa。

圖5 不同加載角度模型中軸線水平應(yīng)力結(jié)果Fig.5 Horizontal stress results of axis in model with different loading angles

把水平應(yīng)力變化曲線與坐標(biāo)軸交點之間的區(qū)域稱之為拉應(yīng)力區(qū)［8］，其余區(qū)域稱為壓應(yīng)力區(qū)。圖6給出了中軸線上半段壓拉應(yīng)力臨界位置隨加載角度的變化曲線，能直觀地看出拉應(yīng)力區(qū)的變化情況。隨著加載角度的增大，圓盤中軸線上的拉應(yīng)力區(qū)逐漸減小，壓應(yīng)力區(qū)增大。由圖6可見，隨著加載角度的增大，圓盤中心點壓拉應(yīng)力比增大，當(dāng)加載角度2α從0°增加到80°時，圓盤中心點壓應(yīng)力與拉應(yīng)力之比從3.02增加至4.37。

圖6 中軸線上壓拉應(yīng)力臨界位置隨加載角度變化曲線Fig.6 The curve of the critical position of compressive and tensile stress along the central axis with the loading angle

加載角度2α的增大導(dǎo)致壓應(yīng)力作用加強(qiáng)，圓盤試件的破壞不再單純是由于圓盤中心處的拉應(yīng)力先達(dá)到抗拉強(qiáng)度而發(fā)生拉伸破壞，而是向壓、拉應(yīng)力共同作用下發(fā)生的復(fù)雜破壞模式過渡。當(dāng)加載角度2α＜27.8°時，壓拉比隨加載角度2α變化較緩，此時仍是拉破壞為主；但當(dāng)加載角度2α＞27.8°時，曲線變得陡峭，壓拉比的增大趨勢隨加載角度2α增加而加劇，拉應(yīng)力的作用相對減小，壓應(yīng)力作用加強(qiáng)，表現(xiàn)出明顯的復(fù)雜破壞模式，此時圓盤達(dá)到破裂狀態(tài)所需的臨界載荷值增大，計算得到的名義抗拉強(qiáng)度隨之增大。因此，采用弧形加載巴西劈裂試驗測定巖石抗拉強(qiáng)度時，加載角度2α不宜超過27.8°。

圖7 圓心點壓拉比隨加載角度變化曲線Fig.7 Variation curve of compression ratio at center point with loading angle

3.2 加載角度對圓盤破壞模式的影響

表2給出了不同加載角度模型圓盤內(nèi)的最大壓拉應(yīng)力，表中最大拉應(yīng)力點均位于圓盤中心處。當(dāng)加載角度2α＜37.3°時，最大壓應(yīng)力點位于加載圓弧端點附近；當(dāng)加載角度2α＞37.3°時，最大壓應(yīng)力點位于加載圓弧中點附近。

一般來說，巖石類材料的抗壓強(qiáng)度與抗拉強(qiáng)度的比值普遍為8～10，表2中集中加載巴西劈裂試驗圓盤內(nèi)的最大壓拉應(yīng)力比為63.99，遠(yuǎn)大于此范圍，表明圓盤此時是由于加載點附近壓應(yīng)力先達(dá)到其抗壓強(qiáng)度發(fā)生壓破壞，而并非是圓盤中心處的拉應(yīng)力先達(dá)到抗拉強(qiáng)度度發(fā)生拉破壞，因此集中加載巴西劈裂試驗不適合用來測試巖石抗拉強(qiáng)度。而弧形加載巴西劈裂試驗隨著加載角度增大，最大壓應(yīng)力顯著減小，其值從加載角度2α為0°時的32.00 MPa降低到79.6°時的1.57 MPa，同時圓盤內(nèi)的最大壓拉應(yīng)力比會隨著加載角度增大而減小，當(dāng)加載角度2α為18.4°時，其最大壓拉應(yīng)力比已經(jīng)降低到9.74，此時可認(rèn)為巴西圓盤試樣不會發(fā)生加載處的壓破壞而是發(fā)生中心拉破壞，滿足巴西劈裂試驗中心起裂條件。

表2 不同加載角度模型圓盤內(nèi)最大壓拉應(yīng)力Table 2 Maximum compressive tensile stress in model disk with different loading angles

綜上可知，加載角度是影響巴西劈裂試驗結(jié)果的關(guān)鍵因素，加載角度選取不當(dāng)會極大地影響試驗所測的驗抗拉強(qiáng)度值，加載角度過小，不能保證試件中心起裂；加載角度過大，試驗向單向壓縮過渡，測的可能是抗壓強(qiáng)度，而不是抗拉強(qiáng)度。結(jié)合前文綜合考慮能夠同時滿足中心起裂、降低應(yīng)力集中程度和圓心點壓拉比增長緩慢的要求，弧形加載巴西劈裂試驗的最優(yōu)加載角度2α的范圍為18.4°～27.8°。

4 巴西劈裂試驗抗拉強(qiáng)度修正公式

目前巴西劈裂試驗相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)程［16-17］給出的抗拉強(qiáng)度計算公式為式（3），喻勇［19］曾指出該抗拉強(qiáng)度公式是由二維彈性力學(xué)公式推導(dǎo)而出，與三維實際情況存在一定誤差，因此本文在該公式的基礎(chǔ)上提出抗拉強(qiáng)度修正系數(shù)k得到式（4），修正系數(shù)k為施加荷載總值相等的條件下不同加載角度巴西圓盤中心點水平應(yīng)力數(shù)值解與集中加載巴西圓盤中心點水平應(yīng)力理論解的比值，即式（5）。

式中：σt為巴西劈裂試驗所測抗拉強(qiáng)度；Pt為巴西劈裂試驗中圓盤破裂時所施加的荷載；D為圓盤試件直徑；t為圓盤試件厚度；σ0為巴西圓盤中心點水平應(yīng)力數(shù)值解；σ0′為集中加載巴西圓盤中心點水平應(yīng)力理論解；P為巴西劈裂試驗數(shù)值模擬和理論計算時所設(shè)的荷載。

圖8為巴西劈裂試驗抗拉強(qiáng)度修正系數(shù)k隨加載角度2α變化的曲線，曲線的變化率隨加載角度2α的增大而減小，顯然加載角度2α越大，修正系數(shù)k越小，且減小的幅度也越明顯。當(dāng)加載角度2α=18.4°時，修正系數(shù)k=0.974；當(dāng)加載角度2α=27.8°時，修正系數(shù)k=0.951。因此當(dāng)采用推薦的加載角度2α為18.4°～27.8°的弧形加載巴西劈裂試驗測試巖石抗拉強(qiáng)度σt時，抗拉強(qiáng)度修正系數(shù)k為0.951～0.974。

5 結(jié)論

（1）集中加載巴西劈裂試驗靠近圓心部分的應(yīng)力數(shù)值解與理論解誤差較小，表明數(shù)值模擬能夠較好地模擬出巴西圓盤劈裂試驗。

圖7 抗拉強(qiáng)度修正系數(shù)隨加載角度變化曲線Fig.7 Curve of tensile strength correction coefficient with loading angle

（2）隨著加載角度2α的增大，巴西圓盤中軸線上的水平拉應(yīng)力σx減小，圓盤軸線上拉應(yīng)力區(qū)減小，壓應(yīng)力區(qū)增大，圓盤中心點壓拉應(yīng)力比增大。當(dāng)加載角度2α＜27.8°時，圓盤中心點壓拉比變化較小，以拉破壞為主；當(dāng)加載角度2α＞27.8°時，圓盤中心點壓拉比變化較大，拉應(yīng)力作用減小，壓應(yīng)力作用加強(qiáng)。

（3）圓盤內(nèi)的最大壓拉應(yīng)力比隨加載角度增大而減小。當(dāng)加載角度2α＜18.4°時，最大壓拉應(yīng)力比大于10，加載點附近壓應(yīng)力過大，發(fā)生壓破壞，不滿足中心起裂的要求；當(dāng)加載角度2α＞18.4°時，最大壓拉應(yīng)力比小于10，圓盤試樣滿足巴西劈裂試驗中心起裂條件。

（4）綜合考慮弧形加載巴西劈裂試驗的最優(yōu)加載角度2α范圍為18.4°～27.8°。提出抗拉強(qiáng)度修正系數(shù)k，其值隨加載角度2α的增大而減小，最優(yōu)加載角度對應(yīng)的抗拉強(qiáng)度修正系數(shù)k范圍為0.951～0.974。