深究教材，揭示本質(zhì)
——從單元整體的視角解讀教材舉例

◎李樹明

(福建省周寧縣第一中學(xué)，福建 寧德 355400)

單元整體教學(xué)是以全局的眼光、系統(tǒng)的方法幫助教師更好地把握教材、解讀教材，并對各單元教材之間的聯(lián)系進(jìn)行再次認(rèn)知與梳理，明確所教知識在整個中學(xué)階段所處的地位，對中學(xué)數(shù)學(xué)知識的完整性、系統(tǒng)性與科學(xué)性在宏觀上有更為準(zhǔn)確地把握其目的是從全局的角度使學(xué)生更好地把握知識及學(xué)科的內(nèi)涵2019年新人教A版高中數(shù)學(xué)教材把高中數(shù)學(xué)知識做了模塊化處理，這對單元整體教學(xué)提出更高的要求筆者近年來專注研究有關(guān)單元整體教學(xué)的模式問題，在研究與實(shí)踐中有些體會與大家一起探討

一、從函數(shù)概念形成的視角理解和把握函數(shù)概念

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，而函數(shù)概念更為重要函數(shù)概念的學(xué)習(xí)涉及最為基礎(chǔ)的知識，函數(shù)的許多概念(如函數(shù)的定義、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的有界性等)、性質(zhì)對高一學(xué)生而言都是非常抽象、難以理解和記憶的，同時，函數(shù)對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)(如數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)是很好的載體新課標(biāo)指出，教師要樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿教學(xué)活動的全過程新課標(biāo)中提出的“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，這六大核心素養(yǎng)是高中生應(yīng)具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分涉及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模這四大核心素養(yǎng)，其重要性不言而喻，而學(xué)好函數(shù)有關(guān)概念又是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)其實(shí)，教材在函數(shù)這部分給出了許多已經(jīng)建好的數(shù)學(xué)模型(如基本初等函數(shù)等)，這些數(shù)學(xué)模型為我們學(xué)習(xí)和研究客觀世界變量的對應(yīng)關(guān)系提供了很大的便利受此啟發(fā)，筆者注意到教材是從如何形成的視角去解析數(shù)學(xué)概念，并把函數(shù)概念的形成過程當(dāng)作一個數(shù)學(xué)模型在課堂教學(xué)中，教師從定義模型化的角度引導(dǎo)學(xué)生理解和記憶函數(shù)有關(guān)概念，可幫助學(xué)生理解與記憶這些抽象的數(shù)學(xué)概念，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

(一)嚴(yán)格定義型(抽象型)

1函數(shù)定義：一般地，設(shè)，是非空的實(shí)數(shù)集，如果對于集合中的任意一個數(shù),按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱：→為從集合到集合的一個函數(shù)(function)，記作=()，∈其中,叫作自變量，的取值范圍叫作函數(shù)的定義域(domain);與的值相對應(yīng)的叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{()|∈}叫作函數(shù)的值域(range)(2019年新人教A版必修一第62頁)

定義解析一：注意邏輯連接詞

格式：……任意……都有……

定義解析二：從語法句式的結(jié)構(gòu)理解邏輯連接詞前后部分的內(nèi)容及地位

格式：，任意，都有……

定義解析三：填空補(bǔ)充完整的定義內(nèi)容

具體解析：

(1)先注意邏輯連接詞：

……任意……都有……

(2)前提條件：

，是非空的實(shí)數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系

(3)核心概念：

核心部分①——任意性(對);

核心部分②——唯一性(→)

從這三個方面認(rèn)識函數(shù)的概念，可把函數(shù)的概念抽象為：前提、邏輯連接詞、核心部分(任意性與唯一性)，本質(zhì)上就是從到的定量研究這樣便不難理解與記憶了

2增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)()的定義域?yàn)?區(qū)間?:

如果?,∈,當(dāng)<時，都有()<()，

那么就稱函數(shù)()在區(qū)間上單調(diào)遞增

特別地，當(dāng)函數(shù)()在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱函數(shù)()在區(qū)間上為增函數(shù)(increasing function)

圖1

具體解析：

(1)先注意邏輯連接詞:

……任意……都有……

(2)前提條件：函數(shù)()的定義域?yàn)?區(qū)間?

(3)核心概念：

核心部分①：?,∈,當(dāng)<時——任意性(對)；

核心部分②：都有()<()——唯一性(→)

增函數(shù)的定義模式是不是跟前面函數(shù)的定義模式一樣呢？事實(shí)上，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大(小)值都是這種定義模式這種嚴(yán)格的、抽象的數(shù)學(xué)概念的定義形式稱作抽象定義

這種抽象、嚴(yán)格的定義方式是按照一定的邏輯規(guī)則而形成的約定下定義就是給對象所具有的各種構(gòu)成特性做出一種選擇，就是在給定系統(tǒng)中通過術(shù)語來選擇充分必要條件(張奠宙，1998)它賦予定義“數(shù)學(xué)的明確性”與“數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性”嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的一個突出特點(diǎn)，甚至可以說數(shù)學(xué)的生命就在于它的嚴(yán)密性和許許多多數(shù)學(xué)定理一樣，數(shù)學(xué)概念的定義也是數(shù)學(xué)內(nèi)部和諧選擇的結(jié)果，是數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的重要表現(xiàn)學(xué)生經(jīng)歷了概念定義過程的思考與推敲、修正與琢磨，就會獲得定義嚴(yán)密性的體會，就能學(xué)習(xí)定義概念的科學(xué)方法學(xué)生在課堂中就能比較快速地?cái)⑹龈拍睿罄m(xù)遇到這種嚴(yán)密、抽象型的概念，運(yùn)用類比就可以自主下定義

(二)描述性定義型(白描)

3指數(shù)函數(shù)：一般地，函數(shù)=(>0,且≠1)叫作指數(shù)函數(shù)(exponential function)(2019年新人教A版必修一第113頁)

這個定義換個說法就是“形如=(>0,且≠1)的函數(shù)叫作指數(shù)函數(shù)”這個定義給我們的直觀感覺就是和=長得一模一樣的函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)它比上面函數(shù)的定義簡單多了

4對數(shù)函數(shù)：一般地，函數(shù)=log(>0,且≠1)叫作對數(shù)函數(shù)(logarithmic function)(2019年新人教A版必修一第130頁)

這個定義是不是也很簡單？回顧我們學(xué)過的具體函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次方程、一元二次方程等也是用這種方式下定義

格式：前提條件，形如……叫作……

事實(shí)上，具體的基本初等函數(shù)大多形式特征明顯，能從外形上直接觀察和識別而現(xiàn)在所學(xué)概念的本質(zhì)特征比較抽象，學(xué)生又缺乏抽象其本質(zhì)特征所需要的知識與經(jīng)驗(yàn)，很難嚴(yán)格下定義，故教師只能用描述其特征的方法下定義，這種下定義的方式稱為描述性定義，也稱“白描”

(三)其他類型

圖2

這種以角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)(2019年新人教A版必修一第177頁,有修改)

格式：前提條件，把……叫作……

這種在特定條件下用“比值”來定義三個三角函數(shù)異于嚴(yán)格定義型與描述定義型，但似乎又有它們的影子，特別有意思，這里把它歸為其他類型

(四)拓展到更為廣泛的概念教學(xué)舉例

集合：一般地，對于兩個集合,，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，就稱集合是集合的子集(subset),記作?(或?),讀作“包含于”(或“包含”)

格式：，任意，都有……(嚴(yán)格定義型)

橢圓：已知平面上兩定點(diǎn)(-,0),(,0)，平面上到兩定點(diǎn)(-,0),(,0)的距離之和為常數(shù)(大于||)的點(diǎn)(,)的軌跡叫作橢圓這兩定點(diǎn)(-,0),(,0)叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距

換成數(shù)學(xué)符號語言：已知平面上兩定點(diǎn)(-,0),(,0)，對平面上任意的點(diǎn)(,)都有||+||=2(2>||),點(diǎn)(,)的軌跡稱為橢圓

格式：，任意，都有……(嚴(yán)格定義型)

直線的點(diǎn)斜式：直線過(,)，為直線的斜率，-=(-)叫作直線的點(diǎn)斜式方程，簡稱點(diǎn)斜式

格式：前提條件，形如……叫作……(白描型)

我們把++=0(,不同時為零)稱為直線的一般式方程

格式：前提條件，形如……叫作……(白描型)

如果非零向量與平面垂直，稱為平面的法向量

格式：前提條件，把……叫作……(其他類型)

格式：前提條件，把……叫作……(其他類型)

二、挖掘重要概念在教材中起到的作用

2019年新人教A版必修一第135頁：

一般地，指數(shù)函數(shù)=(>0,且≠1)與對數(shù)函數(shù)=log(>0，且≠1)互為反函數(shù)，它們的定義域與值域正好互換

這個概念以及前面的一些解析內(nèi)容很容易讓教師淡化處理“反函數(shù)”的概念筆者認(rèn)為從知識的整體性出發(fā)，這里的教學(xué)不容缺失“反函數(shù)”這個概念可打通指、對數(shù)函數(shù)間的關(guān)系，理清它們之間的關(guān)系，這樣學(xué)生對對數(shù)運(yùn)算及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的掌握就可以用指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來對照理解與記憶了

課堂上教師要求學(xué)生掌握如何求反函數(shù)是關(guān)鍵，原因有二：

(1)求反函數(shù)揭示對數(shù)的來源，強(qiáng)化指、對數(shù)函數(shù)相互轉(zhuǎn)化是解決指、對數(shù)函數(shù)問題最為重要的途徑

(2)它是理解指、對數(shù)函數(shù)圖像走勢的關(guān)鍵指數(shù)函數(shù)在(-∞，0)的圖像走勢(慢)對應(yīng)對數(shù)函數(shù)(1，+∞)的圖像走勢；指數(shù)函數(shù)在(0，+∞)的圖像走勢(快)對應(yīng)對數(shù)函數(shù)(0，1)的圖像走勢指數(shù)函數(shù)的底越大說明“加速臺的威力”越大，對數(shù)函數(shù)的底越大說明“加速臺的威力”越小

6如圖3所示，是對數(shù)函數(shù)=log，=log，=log和=log的圖像，則,,,與1的大小關(guān)系為________

圖3

由圖可知，函數(shù)=log和=log的底數(shù)>1，>1，函數(shù)=log和=log的底數(shù)0<<1,0<<1，過點(diǎn)(0,1)作平行于軸的直線=1，則直線=1與四條曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左向右依次為,,,，所以>>1>>>0

事實(shí)上，教師在教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生觀察第一象限圖像，底越大越靠近軸(向軸正半軸靠攏)，那么指數(shù)函數(shù)圖像底越大在第一象限越靠近軸

將題目換成底為，，，的四個指數(shù)函數(shù)，方法相同，將，互換，對照解決就行，這體現(xiàn)了知識與方法的整體統(tǒng)一

三、在單元復(fù)習(xí)課中對公式的作用的指向進(jìn)行分類

在教材“三角函數(shù)”這一章中，公式繁多，教師在復(fù)習(xí)課中從公式的指向進(jìn)行分類有時會起到意想不到的效果

三角變換不外有變“名”與“角”

變“名”的公式有：(1)同角關(guān)系式：平方關(guān)系，商的關(guān)系；(2)誘導(dǎo)公式5，6

變“角”的公式有：(1)二倍角公式及降冪擴(kuò)角公式；(2)誘導(dǎo)公式1，2，3，4；(3)輔助角公式

這樣理一理會便于學(xué)生記憶與應(yīng)用

四、學(xué)生完成單元小結(jié)問題

在單元整體教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生主動參與單元知識的整體構(gòu)建是值得探討的問題筆者在近年的摸索中嘗試讓學(xué)生做單元小結(jié)，取得了較好的實(shí)踐效果

(一)設(shè)計(jì)專門的單元小結(jié)模版

1設(shè)計(jì)意圖說明

本單元小結(jié)是在單元新課結(jié)束后，學(xué)生自主完成單元小結(jié)，是教師示范并引導(dǎo)學(xué)生完成單元復(fù)習(xí)的一種較為新穎的復(fù)習(xí)模式它給學(xué)生自主整合、歸納本單元所學(xué)知識、辨析核心概念、理清邏輯脈絡(luò)提供了自我學(xué)習(xí)與對照學(xué)習(xí)的機(jī)會當(dāng)然，這里對學(xué)生的能力要求較高，所以教師的反復(fù)、多次示范與對照不可少

2設(shè)計(jì)流程說明

(1)第一個板塊：知識結(jié)構(gòu)整合

學(xué)生將本單元重要的概念、公式、定理詳細(xì)地羅列在草稿紙上，經(jīng)過思考、推敲，進(jìn)行思維的深加工后，做出本單元的知識結(jié)構(gòu)圖，將單元所學(xué)知識融為一個整體，用單元整體思想把握整個單元的知識，這樣的小結(jié)一目了然，但有時需要必要的說明與強(qiáng)調(diào)

(2)第二個板塊：選擇典型例題

學(xué)生可從本章中的例題、習(xí)題、練習(xí)冊及試卷等中找到自己認(rèn)為最能代表本單元主要知識點(diǎn)的例題，要求緊扣第一板塊的知識結(jié)構(gòu)圖與說明，每個例題的旁邊需要用紅筆備注用到哪個重要知識點(diǎn)及哪個平時所學(xué)的思想方法

(3)第三個板塊：錯題解析

選一個你最容易做錯的題目，先錄入錯解，再用紅筆在旁邊進(jìn)行訂正，并備注錯因

(4)第四個板塊：學(xué)后反思

談一談你學(xué)習(xí)本單元的收獲與不足，以及本單元知識在教材中的地位

(二)教師示范如何做單元小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生自主完成單元小結(jié)(教師先示范，學(xué)生再獨(dú)立完成)

第一版塊知識歸納的原則：(1)先總后分，先宏觀后微觀(2)對重要概念解析要下功夫

第二版塊典型例題的選擇原則：與重要知識相呼應(yīng)

教師通過單元復(fù)習(xí)課，和學(xué)生共同梳理本章概念、知識點(diǎn)、解題方法，進(jìn)行題型分類訓(xùn)練，然后收集學(xué)生的錯誤做法，分析錯誤成因，引導(dǎo)學(xué)生完成單元小結(jié)

(三)批改學(xué)生的單元小結(jié)

教師應(yīng)從知識結(jié)構(gòu)的完整性、系統(tǒng)性的角度評價學(xué)生是否完全理解了本章的知識體系，從所選例題代表性看學(xué)生是否關(guān)注到本章內(nèi)容主線之間的關(guān)聯(lián)，從易錯題分析評價學(xué)生是否掌握所學(xué)內(nèi)容及復(fù)習(xí)的有效性，從對本章的感想了解學(xué)生學(xué)習(xí)過程中可能遇到的困惑，為下一階段的教學(xué)提供依據(jù)

通過單元小結(jié)，學(xué)生既概括了單元知識要點(diǎn),使知識系統(tǒng)化,又培養(yǎng)了綜合歸納能力，能清楚地知道自己對本單元知識哪一部分學(xué)得最好,哪一部分學(xué)得不夠好，或者還有哪些歸納不會做,主要原因是什么，并及時地查缺補(bǔ)漏這里主要培養(yǎng)了學(xué)生對知識的整體觀

鐘啟泉認(rèn)為，單元不是把教學(xué)內(nèi)容碎片化地當(dāng)作知識點(diǎn)來處置，而是有機(jī)地、模塊式地組織和構(gòu)成的；單元設(shè)計(jì)不是單純知識點(diǎn)傳輸和技能訓(xùn)練的安排，而是教師基于學(xué)科素養(yǎng)，思考怎樣描繪基于一定目標(biāo)和主題而展開探究活動敘事的活動，目的是創(chuàng)造優(yōu)質(zhì)的教學(xué)

呂世虎認(rèn)為，單元教學(xué)設(shè)計(jì)是教師以教材為基礎(chǔ)，用系統(tǒng)論的方法對教材中具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的內(nèi)容進(jìn)行分析、重組、整合，并形成相對完整的教學(xué)單元，在教學(xué)整體觀的指導(dǎo)下將教學(xué)諸要素有序規(guī)劃，以優(yōu)化教學(xué)效果的教學(xué)設(shè)計(jì)，單元教學(xué)設(shè)計(jì)具有整體性、層序性、生本性和創(chuàng)造性

李昌官認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一個不可分割的、相互聯(lián)系的整體，數(shù)學(xué)教育的價值蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)核心概念及其相互聯(lián)系之中，因此，數(shù)學(xué)知識的整體性和聯(lián)系性決定了數(shù)學(xué)教育應(yīng)該大處著眼、小處著手