建構深度教學 提升核心素養
——議核心素養下的小學“數學廣角”教學

◎王宏偉

(甘肅省天水市清水縣原泉小學，甘肅 天水 741400)

數學核心素養是學生經過較長時間的學習，有了諸多的數學活動經歷和體驗，獲得了一定的數學知識，具備了一定的數學技能基礎后，所形成的能夠促進他們全面和可持續發展的關鍵能力和思維品質，也是數學課程目標的集中體現數學核心素養具體包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析這六大核心素養既各自獨立，又相互融合，是一個有機的整體“數學廣角”的深度教學暗合了數學思想方法的滲透和數學核心素養的落實，教師施教時必須有計劃地部署和設定目標，挖掘知識背后蘊藏的數學思想方法，做到心中有數，從而在教學時做到游刃有余、深入淺出

一、彰顯數形結合的魅力，發展邏輯推理能力

華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微”在數學中，數和形是兩個主要的研究對象，也是數學呈現在學生面前的兩個主要形式幾何圖形直觀形象，便于理解，代數方法可操作性強，便于把握在一定條件下，數與形之間又可以相互轉化，相互滲透數形結合作為小學數學學科的重要思想方法，其目的是既分析數量關系，又揭示其幾何圖形所蘊含的意義，使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，從而探求解決問題的思路和方法，使學生腦洞大開，這對于培養學生的學習興趣十分重要從學生深度學習數學知識這一層面來說，引導學生掌握數形結合思想是非常有必要的隨著學生對數學學習和研究的不斷深入，數學知識本身的抽象性也會逐漸體現出來，而數形結合思想就是幫助學生解讀抽象數學知識的工具，使學生更加全面地認識數學知識

又如，在五年級數學廣角“植樹問題”的教學中，難點就是幫助學生理解樹與樹之間的間隔和種植數量之間的關系，如果沒有圖形的直觀幫助，學生很容易走入誤區，單純地用乘除法解答問題，忽略了兩個端點要各種上一棵樹這一現實問題，導致最終的運算結果出現錯誤為降低教學難度，在突破重難點時，小學數學教師可以引導學生依據題意畫線段圖，用線段上的點表示樹，用點與點之間的線段表示間隔，從而形象地解決了三種植樹問題中的間隔數和種植數之間的關系，促進學生邏輯思維的發展，并讓學生對這部分知識理解深刻，結合生活實際感受數學和實踐的關系，巧妙地突破了教學難點數與形的完美結合，不管是以形解數，還是以數助形，都在推動學生的思維向深層次邁進，都是為了啟發學生從更多角度去思考數學問題，不被數學問題的表面形式迷惑作為小學數學教師，要注重對學生數形結合思想的引領，讓學生發現在不能單純地用數量關系求解的時候，應考慮是否能夠轉換成圖形來解決問題，反之亦然，借此提高學生的邏輯推理能力當然，不同學生的思維能力是不同的，教師需要在相關知識的傳授中制訂個性化的解決方案，讓每一個學生都能通過思維的發展感受數學知識的樂趣，進而在探究興趣的引導下進行深度學習

二、激活假設思維，搭建數學模型思想

數學模型是指參照某種事物的特征或數量關系，采用形式化的數學語言，概括或近似地表達出來的一個數學結構數學模型思想的應用價值在于讓學生徹底吃透一類數學題型，而不僅僅是記住某一道題目的解題方法在數學學習的過程中，有很多學生沒有嘗試去理解問題本身的數學邏輯關系，而是通過死記硬背的方式強行記下某道題的答案，此之謂重術輕道，因小失大而數學建模思想就是通過建立數學模型解決問題的方法小學數學廣角涉及數學建模思想的內容有雞兔同籠、植樹問題、鴿巢問題等

“雞兔同籠”是著名的古題，最早出自《九章算術》，也是具有代表性的題目之一它的解法多樣，也滲透著不同的數學思想教材中的列表法和畫圖法為學生思維的切入降低了難度，并滲透了列舉、猜想和假設的數學思想可列表法和畫圖法受到數據的限制，解題過程較為煩瑣，有一定的局限性，在數量過于龐大的時候，列表法和畫圖法無法成為解答這類問題的首選答題方法這就要求我們的思維上升到數學抽象的層面，尋求更全面、更有代表性的解答方法這時，假設思想下的算術方法應機而生，它既不受限于數據的大小，又能將解題方法放大，將解題范圍擴大

在設計教學時，小學數學教師可以先假設籠子里全是雞(或兔)，讓學生得出矛盾，即假設后的腿數比實際腿數少(或多)，再引導學生找出假設與實際問題出現矛盾的原因：一只雞比一只兔少2條腿，然后將所缺失的條件補足，這樣，學生就可以算出把多少只兔(雞)當成雞(兔)了，進而就知道了兔(雞)的只數教師可以將假設法解題的思路歸結為：假設—出現矛盾—尋找原因—解決矛盾—回答問題教師在幫助學生梳理了解題思路之后，無論雞兔同籠問題中的數量擴大了多少倍，學生都能夠靈活地使用列式法和方程法輕而易舉地得到答案學生一旦建立起這樣的數學模型，思維就有了支撐框架，當雞兔同籠問題變式延伸至龜鶴問題、人民幣問題、搶答題問題、運輸中的賠付問題等復雜的生活問題時，他們都可以不變應萬變，應用數學模型思想順利解決

在上述教學預設中，學生接觸到的是生活中的數學，觸摸到的是數學中的核心，感受到的是數學建模思想的浸潤和滲透在經歷了有深度、有廣度、有張力的學習體驗之后，學生的思維是活躍的，知識脈絡是清晰的，知識框架是立體的數學建模思想帶給學生最大的啟發就是當所需條件不足的時候，可以去創造條件，無論問題的形式和提問的方法怎么變化，只要其最終解答的思路和尋求的答案沒有變化，就可以利用所構建的數學模型去解決

三、降低文本難度，助力數學抽象走向深入

數學抽象是將具有共同特性的事物集中起來，穿過這些事物的表象，提取事物的本質和共性，形成數學概念，并且運用這些數學概念進一步推理、判斷、發現事物存在的數學規律數學作為一門較為抽象的學科，抽象是其最基本的表現形式和思維方式學生對數學學科抽象性特點的認知水平決定了其思維的深入程度，而思維的深刻性是思維品質的重要表現，是衡量人的智力水平的重要指標小學生抽象思維能力不足，為了更好地發展學生的數學抽象素養，數學教師應夯實抽象的基礎，指導抽象的方法，重視抽象的過程，加強學生的抽象實踐活動，強化對學生抽象素養的評價和引導

在實際的數學教學當中，小學數學教師可以適當地通過一些方法降低文本理解難度，使學生的抽象思維即有縱深度又有活躍度，而不是淺嘗輒止，輕描淡寫，這也不是數學深度教學所期望的降低文本難度的方法有很多，如教師可以引導學生通過畫線段圖變抽象知識為直觀感受，再由直觀感受升級為數學方法，從而解決問題；又如列舉法、代換法，學生可透過表象尋求本質去解決問題；也可以通過對文本的深度閱讀和理解，尋找題設和問題之間的聯系，從而分析解決問題應該說，方法的形式不是最關鍵的，關鍵是讓學生能夠理解題意，避免主觀臆斷

“找次品”是人教版五年級“數學廣角”的內容，這一廣角內容研究的問題是：在一堆零件中有一個是次品(次品輕一些)，假如用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？這個問題具有非常規的問題模式，其背后又有深刻的中學知識背景，給師生的教與學都帶來了很大的挑戰，是數學廣角中較有難度的案例自入選教材內容以來，它也一直是教學研究的熱點學生在初次讀題的時候往往摸不著頭腦，但是在反復研讀后，學生就會發現，理解“至少稱幾次能保證找出次品”這句話是解題的關鍵而“至少稱幾次能保證找出次品”指的是保證能找出次品的最少稱重次數，而不是用最大稱重次數來包含這個最小值最少稱重次數與稱法有關，而可選稱法又是復雜多樣的，那么該如何有章法、 可操作地去研究它呢？這似乎讓人沒有頭緒教師可以引導學生通過反復試驗，記錄數據，對比分析，得到將一堆待查零件盡量平均分成3組，才可以得出找出次品的最少稱重次數這樣的練習將尋找次品的范圍由天平上擴大到天平外，收到“稱一查三”的效果，即稱一次就能對已稱和未稱的部分都進行排查，大大減少了稱的次數，達到了求最少稱重次數的目的為了給這一問題增添更多的變化，教師可以在天平的稱重數量上做出限制，如一方托盤最多能同時容納兩個零件等，讓學生更加深入地理解“三分法”和“均分法”整個解題思路中，“三分法”和“均分法”的提出和理解離不開對文本的深度解析，離不開師生的反復試驗，更離不開學生數學抽象思維培養的層層深入和穩步推進培養學生的數學抽象思維能力必須要有科學、合理的教學規劃，教師把握好教學節奏才能夠收到更好的教學效果

四、注重知識生成，拓展直觀想象空間

直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態和變化，利用空間形式特別是圖形來理解和解決問題的素養其主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用幾何圖形描述問題、分析問題，建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，從而探索出解決問題的思路

人教版六年級數學廣角“鴿巢問題”是一個疑難課例，其難點在于：第一，結論描述的抽象性，教材中的“總有”“至少”兩個關鍵詞將抽屜原理的多種情況和豐富內涵全部概括，直觀上給學生的理解造成了困難；第二，探究的繁雜性，雖然抽屜原理的結論是確定的，但其本身又蘊含著隨機性和不確定性，在此之前，學生所接觸的數學問題大多都會給出一個確定的數值用于運算，而這類涉及抽象思維和邏輯思維的問題，對于學生而言是一次考驗

課中例題：把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆為什么呢？其中的數學邏輯是什么？怎樣解釋這種現象？教學中，教師會組織實踐探究活動，引導學生初步感知其“原理”，在經歷不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆后，讓學生用畫圖的方式將所有情況記錄下來，再用自己的發現解釋上述現象產生的原因接著，教師引導學生感知“最不利的情況”，也就是先平均分，每個筆筒中放1支鉛筆，然后把剩下的1支不管放進哪個筆筒里，一定會出現總有一個筆筒里至少有2支鉛筆的結果，從而得出結論：只要鉛筆的數量比筆筒的數量多1，就總有一個筆筒里至少有2支鉛筆從畫圖的直觀感知，到最不利情況的抽象理解，最后提升至把個物體放進個抽屜，如果÷=……(，，，均為非零自然數，且<),那么一定有一個抽屜至少可以放進(+1)個物體這樣的教學設計細化了知識的出處，突出了知識的生成過程，層層鋪墊，層層遞進，在做到有序思考的同時將學生的抽象思維和直觀想象能力發揮到極致，充分體現了“數學廣角”內容的意義和價值，促進了學生核心素養的發展

人教版三年級“數學廣角”的教學目的是讓學生在觀察、操作、猜測等初步體驗活動之上，逐漸探究出更簡潔、更抽象的表達方式，旨在讓學生感受排列組合思想的同時提升有序、全面思考問題的能力，是核心素養培養的重要素材舉例來說：有4支球隊，每兩支球隊踢一場比賽，一共要踢多少場比賽？學生已有連線解答問題的基礎，不難得出共有6場比賽此時，教師就要重視學生思考的順序性和表述方式的科學性，引導學生：每支球隊不能和自己比賽，所以第一支球隊踢了3場，而第二支球隊踢了2場，第三支球隊踢了1場，一共踢了3+2+1=6(場)比賽再將模型應用于拓展練習：六(1)班有51名學生，在畢業座談會上，每個人都要和他人擁抱一次，全班同學共擁抱了多少次？列式為：50+49+48+47+…+3+2+1，算式如此龐大，令學生頭疼此時，教師可以讓學生依托之前的鋪墊，每個人都要和除自己之外的50人擁抱，也就是每人都要擁抱50次，那么51人共擁抱51個50次，即50×51=2550(次)，這時有同學會發現，每個人都算50次的話，這2550次中有一半是重復計算了的，所以應是50×51÷2=1275(次)乘法的引入解決了數據太大造成的加法計算的局限性，知識生成水到渠成，使教學柳暗花明，使學生有了思考的深度和廣度

五、結束語

總之，深度教學是新時代小學數學教學的方向，是培養學生核心素養的重要途徑通過上面幾點分析，我們可知深度教學深在思想，深在方法，深在知識內核，深在學習能力，深在教育本質對于小學數學教師來說，構建深度教學的關鍵在于尋找一個能夠讓學生展開探索、深入研究數學知識的契機，而“數學廣角”中的內容恰好符合這個條件數學廣角中的題目能充分考驗學生的思維能力和應變能力，是開展深度教學的最佳素材小學數學教師要基于學科視野和學科內容，深析教材，優化策略，讓新時代的小學生在有情感、有思考、有創造的教學中感悟數學魅力，體會數學價值，提升數學核心素養，助力未來發展