一個(gè)函數(shù)值求解問題中的斐波那契數(shù)列及其推廣

◎盧予奇 盧興江

(1.浙江省富陽中學(xué)，浙江 杭州 311499；2.浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，浙江 杭州 310027)

數(shù)學(xué)問題蘊(yùn)藏在生活的各個(gè)角落，有心者常常會在不經(jīng)意間捕捉到身邊與數(shù)學(xué)相關(guān)的細(xì)節(jié)筆者在觀看某教育題材電視連續(xù)劇時(shí)，就特別留意了劇中數(shù)學(xué)老師布置給同學(xué)的一道每日難題，從近景鏡頭中能看到黑板上題目的全貌為便于本文敘述，現(xiàn)將這道題目的文字表達(dá)做些許改動，表述如下：

已知(),()為定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，()為嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，其函數(shù)值亦為正整數(shù)，而()=[()]+1,∈

記集合,分別為(),()的值域，即={(1),(2),(3),…},={(1),(2),(3),…}，若∪=,∩=?，試求(240)的值

劇中插班生稍加思索，就在黑板上奮筆疾書，他根據(jù)不完全歸納法尋找(),()函數(shù)值的規(guī)律，得到了答案389

筆者出于對數(shù)學(xué)的興趣，對該題進(jìn)行了求解，對問題背后的數(shù)學(xué)原理進(jìn)行了研究

首先計(jì)算出(),()的前若干項(xiàng)，初步觀察數(shù)字規(guī)律根據(jù)題設(shè)條件，(),()的值域互不相交，且覆蓋了整個(gè)正整數(shù)集，又因?yàn)?)是嚴(yán)格單調(diào)增加的，所以()也是嚴(yán)格單調(diào)增加的

由(1)<(2)<(3)<…且()=[()]+1>[()],知(1)=1,(1)=[(1)]+1=(1)+1=2

由(),()的單調(diào)性，必有()≥+1,()=[()]+1≥()+2≥+3,=2,3,4,…

因?yàn)?2)≥5，所以(2)=3,(3)=4,(2)=[(2)]+1=(3)+1=5

因?yàn)?3)=[(3)]+1=(4)+1>(4)，所以(4)=6,(3)=[(3)]+1=(4)+1=7

依次類推，可以計(jì)算出(),()前若干項(xiàng)的取值，見表1，若采用計(jì)算機(jī)C語言編程，可以更快速地得到(),() 前若干項(xiàng)的取值在程序運(yùn)行結(jié)果中，(240)=388，這表明劇中插班生的計(jì)算結(jié)果有誤，出現(xiàn)錯誤是因?yàn)椴煌耆珰w納法只是根據(jù)部分研究對象猜想普遍規(guī)律，沒有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撏评碜鲋?/p>

表1 u(x),v(x)前若干項(xiàng)取值

圖1 u(x)的經(jīng)驗(yàn)回歸直線

圖2 u(x)經(jīng)驗(yàn)回歸直線的殘差圖

基于這個(gè)現(xiàn)象回過頭來觀察表1，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)(),()的對應(yīng)規(guī)律中也隱含著斐波那契數(shù)列的特征：前3個(gè)正整數(shù)對應(yīng)了2個(gè)()的函數(shù)值和1個(gè)()的函數(shù)值；前5個(gè)正整數(shù)對應(yīng)了3個(gè)()的函數(shù)值和2個(gè)()的函數(shù)值；前8個(gè)正整數(shù)對應(yīng)了5個(gè)()的函數(shù)值和3個(gè)()的函數(shù)值；前13個(gè)正整數(shù)對應(yīng)了8個(gè)()的函數(shù)值和5個(gè)()的函數(shù)值，涉及的(),()函數(shù)值的個(gè)數(shù)均為斐波那契數(shù)列某一項(xiàng)的取值

由此可以猜測以下結(jié)論，并采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明

設(shè)斐波那契數(shù)列為{}，滿足==1,=-1+-2,=1,2,3,…，則在任意前(≥3)個(gè)正整數(shù)1,2,3,…,中恰有-1個(gè)的元素[即()的函數(shù)值]和-2個(gè)的元素[即()的函數(shù)值]

由表1可知，對=3,4,5,6,7皆成立

假設(shè)對=≥3成立，即前個(gè)正整數(shù)1,2,3,…,中有-1個(gè)的元素[即()的函數(shù)值]和-2個(gè)的元素[即()的函數(shù)值]，有

{1,2,3,…,}={(1),(2),…,(-1)}∪{(1),(2),…,(-2)}

由()的單調(diào)性可知，集合{(1),(2),…,()}中個(gè)元素恰是-1個(gè)[()](=1,2,3,…,-1)和-2個(gè)[()](=1,2,3,…,-2)所組成的，即有{(1),(2),…,()}={[(1)],[(2)],…,[(-1)]}∪{[(1)],[(2)],…,[(-2)]}

因?yàn)?)=[()]+1,=1,2,3,…,-1，所以集合{(1),(2),…,(-1)}中各元素分別是集合{[(1)],[(2)],…,[(-1)]}相應(yīng)元素之后的相鄰整數(shù)，

所以{1,2,3,…,+1}={[(1)],[(2)],…,[(-1)],[(1)],[(2)],…,[(-2)]}∪{(1),(2),…,(-1)}

即前+1個(gè)正整數(shù)中有個(gè)的元素[即()的函數(shù)值]和-1個(gè)的元素[即()的函數(shù)值]于是結(jié)論對=+1亦成立，證畢

(),()的取值其實(shí)定義了一種對應(yīng)規(guī)則，所以，當(dāng)前面個(gè)正整數(shù)對應(yīng)了-1個(gè)()的函數(shù)值和-2個(gè)() 的函數(shù)值之后，從+1個(gè)正整數(shù)開始可以看作對應(yīng)的重新開始，即相當(dāng)于把正整數(shù)+1 替代 1 的位置進(jìn)行同樣的對應(yīng)，于是可以得到以下推論

對任意的正整數(shù)≥3，在數(shù)列+1,+2,+3,…前(≥3)項(xiàng)中有-1個(gè)的元素[()的函數(shù)值]和-2個(gè)的元素[()的函數(shù)值]

根據(jù)結(jié)論一與推論一，即可在不采用計(jì)算機(jī)程序輔助的情況下，計(jì)算得到(240)的值

因?yàn)?377，所以前377個(gè)正整數(shù)中有=233個(gè)()的函數(shù)值和=144個(gè)()的函數(shù)值

因?yàn)?13，所以從+1=378開始的前13個(gè)數(shù)378，379，380,…,390中有=8個(gè)()的函數(shù)值和=5個(gè)()的函數(shù)值

(240)是以上8個(gè)()的函數(shù)值中第240-233=7個(gè)，由表1可知，(7)=11，所以(240)=377+11=388

上述結(jié)論一與推論一都是基于題設(shè)條件()=[()]+1,∈得到的，若將(),()的關(guān)系式改成()=[()]+2，()=[()]+3,∈,情形又會發(fā)生怎樣的變化？

已知(),()為定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，()為嚴(yán)格單調(diào)增加，其函數(shù)值亦為正整數(shù)，且()=[()]+,∈，其中正整數(shù)為常數(shù)試確定集合={(1),(2),(3),…},={(1),(2),(3),…}，使其滿足∪=,∩=?

根據(jù)題設(shè)條件，顯然對任意的∈，

有()=[()]+

(1)=1?(1)=1+?(2)=2,(3)=3,…,()=，

從而有(2)=2+,(3)=3+,…,()=+=2

因?yàn)?+1)=[(+1)]+=(2+1)+>3+=4，

所以(+1)=2+1,(+2)=2+2,…,(2)=3；(2+1)=3+1,(2+2)=3+2,…,(3)=4

從而有(+1)=4+1,(+2)=4+2,…,(2)=4+=5，依次類推

事實(shí)上，將條件()=[()]+1,∈下所得結(jié)果中每個(gè)()或()的位置依次用連續(xù)的個(gè)()或()去對應(yīng)即可

比如表2列出了當(dāng)=3時(shí)(),()前若干項(xiàng)的取值，由此可得到以下結(jié)論和推論

表2 推廣形式一：u(x),v(x)前若干項(xiàng)的取值

設(shè)斐波那契數(shù)列為{}，對()=[()]+,∈的情形有：在任意前(≥3)個(gè)正整數(shù)1,2,3,…,中，恰有-1個(gè)的元素[即()的函數(shù)值]和-2個(gè)的元素[即()的函數(shù)值]

對()=[()]+,∈的情形，對任意的正整數(shù)和正整數(shù)≥3，數(shù)列+1,+2,+3,…中前(≥3)項(xiàng)有-1個(gè)的元素[即()的函數(shù)值]和-2個(gè)的元素[即()的函數(shù)值]

在上述推廣形式中，()與[()]間的差值是一個(gè)常數(shù)若將問題進(jìn)一步推廣，將(),()的關(guān)系式改成()=[()]+,∈,情形就會變得更復(fù)雜，此時(shí)是否還具有斐波那契數(shù)列的特征？

已知(),()為定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，()為嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，其函數(shù)值亦為正整數(shù)，且()=[()]+,∈，試確定集合={(1),(2),(3),…},={(1),(2),(3),…}，使其滿足∪=,∩=?

因?yàn)?)=[()]+,=1,2,3,…，所以在正整數(shù)列1,2,3,4,5,…中，前()個(gè)數(shù)中有個(gè)()的函數(shù)值，有()-=[()]個(gè)()的函數(shù)值

因?yàn)榈赱()]個(gè)()的函數(shù)值為{[()]}，由函數(shù)(),()的嚴(yán)格單調(diào)性知，(),(+1)不是相鄰正整數(shù)，所以()={[()]}+1,=1,2,3,…

通過簡單分析計(jì)算可以得到，(),()前若干項(xiàng)的取值見表3，發(fā)現(xiàn)(),()的函數(shù)值的對應(yīng)規(guī)律符合另一個(gè)數(shù)列{}的特征，該數(shù)列定義為：===1,=-1+-3,=3,4,5，…，即數(shù)列某一項(xiàng)等于其前一項(xiàng)與其前三項(xiàng)之和，有=2,=3,=4,=6,=9，…

表3 推廣形式二：u(x),v(x)前若干項(xiàng)的取值

表3中前4個(gè)正整數(shù)對應(yīng)了3個(gè)()的函數(shù)值和1個(gè)()的函數(shù)值，前6個(gè)正整數(shù)對應(yīng)了4個(gè)()的函數(shù)值和2個(gè)()的函數(shù)值，前9個(gè)正整數(shù)對應(yīng)了6個(gè)()的函數(shù)值和3個(gè)()的函數(shù)值，前13個(gè)正整數(shù)對應(yīng)了9個(gè)()的函數(shù)值和4個(gè)()的函數(shù)值，涉及的(),()函數(shù)值的個(gè)數(shù)均為數(shù)列{}某一項(xiàng)的取值

由此可以猜測以下結(jié)論，并采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明

對()=[()]+,∈的情形有：在任意前(≥3)個(gè)正整數(shù)1,2,3,…,中，恰有-1個(gè)的元素[即()的函數(shù)值]和-3個(gè)的元素[即()的函數(shù)值]

由表3可知，對=3,4,5,6,7皆成立

假設(shè)對3≤≤結(jié)論成立，即有

{1,2,3,…,}={(1),(2),(3),…,(-1)}∪{(1),(2),(3),…,(-3)}

由此歸納假設(shè)，可知

{(1),(2),(3),…,(-1)}

={[(1)],[(2)],…,[(-2)]}∪{[(1)],[(2)],…,[(-4)]}，

從而有{1,2,3,…,}={[(1)],[(2)],[(3)],…,[(-2)]}∪{[(1)],[(2)],[(3)],…,[(-4)]}∪{(1),(2),(3),…,(-3)}

由前文所得()={[()]}+1,=1,2,3,…可知，

{(1),(2),(3),…,()}={(1)-1,(2)-1,(3)-1,…,(-2)-1}∪{{[(1)]},{[(2)]},…,{[(-4)]}}∪{[(1)],[(2)],…,[(-3)]}

(1)若(-2)-1=()，即(-2)=()+1，則正整數(shù)列前()+1個(gè)數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值為(1),(1),(2),(3),…,(),(-2)，也就是有個(gè)()的函數(shù)值和-2個(gè)()的函數(shù)值；

(2)若(-2)-1<()，且顯然(-1)-1>()，所以正整數(shù)列前()個(gè)數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值恰有個(gè)()的函數(shù)值和-2個(gè)()的函數(shù)值

因?yàn)?span id="g0gggggg" class="subscript">+1=+-2，所以正整數(shù)列前+1個(gè)數(shù)中有個(gè)()的函數(shù)值和-2個(gè)()的函數(shù)值，于是結(jié)論對=+1也成立，證畢

在推廣形式二中的對應(yīng)規(guī)則下，還可以得到以下推論

對()=[()]+,∈的情形，對任意正整數(shù)≥3，≥3，數(shù)列+1,+2,+3,…中前項(xiàng)有-1個(gè)的元素[即()的函數(shù)值]和-3個(gè)的元素[即()的函數(shù)值]

本文對一個(gè)有關(guān)函數(shù)值求解的問題進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)函數(shù)值的對應(yīng)規(guī)律中隱含著斐波那契數(shù)列，并根據(jù)正整數(shù)集的性質(zhì)，采用數(shù)學(xué)歸納法對結(jié)論進(jìn)行了嚴(yán)格證明在此基礎(chǔ)上將條件()=[()]+1推廣為()=[()]+和()=[()]+，發(fā)現(xiàn)在這兩種推廣情形下，函數(shù)值的對應(yīng)規(guī)律中也隱含著斐波那契數(shù)列延伸和變形后的特征在今后的研究中，我們可以考慮將條件進(jìn)一步推廣為()=[()]+，()=[()]+等其他更復(fù)雜的形式，以此繼續(xù)深化研究成果