求不定積分的常用技巧方法

◎李東方 胡夢薇

(河南省許昌市許昌電氣職業(yè)學(xué)院公共教學(xué)部，河南 許昌 461000)

不定積分是積分學(xué)的重要組成部分，也是微積分的核心學(xué)好不定積分對后續(xù)積分學(xué)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要求不定積分的方法有很多，主要有直接積分法、第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法為了更好地學(xué)習(xí)不定積分，我們不僅需要掌握基本的求解方法，而且要掌握一定的技巧，這樣才能在求解不定積分時(shí)思路開闊，靈活解題在本文中，筆者依據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐，結(jié)合被積函數(shù)的特點(diǎn)，介紹幾種常用的求不定積分的技巧

一、第一換元積分法

由于此方法將′()d湊成微分d()=d，所以它也叫作“湊微分法”應(yīng)用湊微分法的關(guān)鍵是把被積函數(shù)表達(dá)式湊成[()]d()的形式

在湊微分時(shí)，要具體問題具體分析同學(xué)們應(yīng)在熟記基本積分公式和常用湊微分式子的基礎(chǔ)上，通過不斷練習(xí)，掌握這一重要的積分法

二、第二換元積分法

其中=()是=()的反函數(shù)

應(yīng)用第二換元積分法的關(guān)鍵在于合理選取變量代換=()，消去被積函數(shù)中的根號，使積分計(jì)算簡單化

三、分部積分法

運(yùn)用分部積分法時(shí)，恰當(dāng)選取和d是關(guān)鍵一般地，“對反冪三指(對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù))”，兩者之間排在前面的設(shè)為

四、最小公倍數(shù)法

令=[,]=，則d=6d，從而有

=3-6+6ln|+1|+

五、整體湊微分法

湊微分法是求不定積分的重要方法之一一般的湊微分法是利用基本微分公式解題，而整體湊微分法是根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)，將整個(gè)式子湊進(jìn)去，從而使問題得到解決的一種方法

六、方程組法

當(dāng)被積函數(shù)是一些特殊的分式時(shí)，我們可以構(gòu)造與其關(guān)聯(lián)的另一個(gè)不定積分，然后通過解方程組進(jìn)行計(jì)算

①

=ln|sin+cos|+

②

聯(lián)立①②,解方程組可得

=cos(ln)+,

①

=sin(ln)-

②

聯(lián)立①②,解方程組可得

七、分部循環(huán)法

八、恒等變換法

若被積函數(shù)中含有三角函數(shù)，則往往利用三角恒等變換將被積函數(shù)進(jìn)行變形，進(jìn)而求解不定積分

考慮到cos 2=cos-sin，我們對被積函數(shù)進(jìn)行恒等變換如下：

=-cot-tan+

九、添項(xiàng)相消法

添項(xiàng)相消法是求解不定積分的一種常用技巧，一般方法是根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行加項(xiàng)、減項(xiàng)或者乘項(xiàng)、除項(xiàng)

根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)，分子、分母同乘e，得

=ln(e-1)-+

十、部分相抵法

部分相抵法是將所求不定積分分解成兩個(gè)不定積分的和或差，在計(jì)算不定積分的過程中部分積分可以相互抵消的一種方法

先計(jì)算第一個(gè)不定積分，由分部積分法可得

運(yùn)用分部積分法之后，出現(xiàn)了第二個(gè)不定積分的形式，可以相互抵消，所以

十一、歐拉(Euler)變換法

我們將上述變換稱為歐拉(Euler)變換

十二、商的不定積分法

設(shè)函數(shù)()，()在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且()，′()在區(qū)間上不恒為0，那么：

上式兩端求不定積分，可得

移項(xiàng)，可得

運(yùn)用商的不定積分法，通過計(jì)算導(dǎo)數(shù)，可以簡化被積函數(shù)，降低難度下面我們通過具體例子來說明此方法的應(yīng)用

通過觀察被積函數(shù)，由商的不定積分法可得

十三、結(jié)束語

本文通過經(jīng)典樣例給出了求解不定積分的常用技巧方法，可見不定積分的計(jì)算方法靈活，技巧性強(qiáng)，形式多種多樣在求解不定積分時(shí)，我們要具體問題具體分析，善于歸納總結(jié)，融會(huì)貫通，這樣才能為后續(xù)定積分內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定一個(gè)良好的理論基礎(chǔ)