適度綜合，注重“概念”認(rèn)知的深度考量
——關(guān)于“周長(zhǎng)”概念測(cè)評(píng)題的設(shè)計(jì)與說(shuō)明

浙江省嘉興市南湖區(qū)教育研究培訓(xùn)中心 費(fèi)嶺峰

浙江省嘉興一中實(shí)驗(yàn)經(jīng)開學(xué)校 李亞群

測(cè)評(píng)題命制是學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)價(jià)的重要內(nèi)容之一，命制過(guò)程需要依據(jù)課程目標(biāo)、學(xué)習(xí)目標(biāo)及學(xué)生當(dāng)下的學(xué)習(xí)狀況三個(gè)方面的內(nèi)容。與傳統(tǒng)的測(cè)評(píng)題相比，素養(yǎng)理念下的測(cè)評(píng)題不僅需要了解學(xué)生在知識(shí)理解、技能掌握方面的表現(xiàn)狀況，還需要對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)素養(yǎng)做出診斷與把握，以便有利于教師在后續(xù)的教學(xué)中為發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)素養(yǎng)提供全面的幫助。概念認(rèn)知作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，當(dāng)然也不例外。以下結(jié)合幾道關(guān)于“周長(zhǎng)”概念的理解與應(yīng)用的測(cè)評(píng)題，就核心素養(yǎng)理念下的“概念”認(rèn)知的測(cè)評(píng)題命制，談一些想法與實(shí)踐。

周長(zhǎng)是什么？周長(zhǎng)屬于一維長(zhǎng)度的范疇。對(duì)周長(zhǎng)概念的認(rèn)知，一般包括認(rèn)識(shí)、理解與應(yīng)用等幾個(gè)水平層次。傳統(tǒng)的測(cè)評(píng)題編制過(guò)程中，相對(duì)單一的指向一個(gè)維度的測(cè)評(píng)更多些，比如指出或測(cè)量、或計(jì)算某個(gè)圖形的周長(zhǎng)等。這在測(cè)評(píng)學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)知過(guò)程中也是必要的。但核心素養(yǎng)理念下的測(cè)評(píng)，需要在了解學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)、理解與應(yīng)用水平的同時(shí)，適度考慮測(cè)評(píng)題對(duì)分析、綜合、評(píng)判甚至創(chuàng)造的要求，在測(cè)評(píng)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)理解與基本技能掌握的基礎(chǔ)上，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與基本數(shù)學(xué)思想方法的形成、應(yīng)用水平，從而體現(xiàn)素養(yǎng)立意測(cè)評(píng)的特征與意義。

典型題例1：下面的圖形有周長(zhǎng)嗎？如果有，請(qǐng)用水彩筆描出它的周長(zhǎng)。

[內(nèi)容]人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方形和正方形”單元“周長(zhǎng)”的相關(guān)知識(shí)。

[設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明]“長(zhǎng)度”是認(rèn)識(shí)圖形的重要維度之一，而“周長(zhǎng)”又是認(rèn)識(shí)平面圖形的重要內(nèi)容。認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)、理解周長(zhǎng)的含義，是“周長(zhǎng)”概念學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)。傳統(tǒng)教學(xué)中，對(duì)學(xué)生是否認(rèn)識(shí)了周長(zhǎng)、理解了周長(zhǎng)的含義，一般的檢測(cè)會(huì)以單個(gè)的圖形進(jìn)行（比如就上題中的某個(gè)圖形請(qǐng)學(xué)生做出描述或判斷）。這樣的測(cè)評(píng)題當(dāng)然能對(duì)學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)概念的認(rèn)識(shí)水平有一定的了解，但相對(duì)單一，對(duì)學(xué)生綜合分析與判斷的能力的關(guān)注相對(duì)弱化。以上測(cè)評(píng)題則以多個(gè)圖形整體呈現(xiàn)，請(qǐng)學(xué)生做出判斷，并要求有“描”這樣的操作要求跟進(jìn)，對(duì)學(xué)生關(guān)于“周長(zhǎng)”概念的認(rèn)知狀況的了解則會(huì)更加全面。在實(shí)際解答時(shí)，學(xué)生一般會(huì)出現(xiàn)以下三種情況：

情況一：能夠?qū)D1、圖2做出準(zhǔn)確判斷，對(duì)圖3、圖4的判斷則較為困難。

圖1

圖2

圖3

圖4

情況二：能夠?qū)D1、圖2做出準(zhǔn)確判斷的同時(shí)，對(duì)圖4也能做出準(zhǔn)確判斷，即能夠正確描出圖4整個(gè)圖形的周長(zhǎng)（外面一圈）。

情況三：能在對(duì)圖1、圖2和圖4做出準(zhǔn)確判斷的基礎(chǔ)上，還能對(duì)圖3進(jìn)行準(zhǔn)確描述，即能夠描出圖3中三角形的周長(zhǎng)（因其也是一個(gè)封閉圖形）。

以上三種結(jié)果，反映了學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”概念理解的三種水平。情況一，表明學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)是指封閉圖形一周的長(zhǎng)度”的基本認(rèn)識(shí)是有的，但深度理解不足，延展力不夠，當(dāng)出現(xiàn)一些干擾因素時(shí)，判斷圖形的周長(zhǎng)就會(huì)出現(xiàn)困難；情況二，表明學(xué)生對(duì)圖形周長(zhǎng)的概念相對(duì)比較清晰，不受圖形內(nèi)部信息的干擾；情況三，表明處于此水平的學(xué)生深度理解了“周長(zhǎng)”的含義，對(duì)他們來(lái)說(shuō)，只要發(fā)現(xiàn)封閉的平面圖形，便能夠描述這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。對(duì)于對(duì)周長(zhǎng)具有此認(rèn)知水平的學(xué)生，結(jié)合圖4進(jìn)行追問(wèn)，學(xué)生還有可能表述出不同圖形的周長(zhǎng)，即除了可以描述整個(gè)圖形的周長(zhǎng)，還可以描述圖中兩個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

此題一般在本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)后用來(lái)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況進(jìn)行檢測(cè)，當(dāng)然也可以在單元練習(xí)中作為了解學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)概念理解狀況的測(cè)評(píng)題。

典型題例2：下面的長(zhǎng)方形被分成甲、乙兩個(gè)部分，哪個(gè)部分的周長(zhǎng)比較長(zhǎng)？請(qǐng)寫出你的想法。

[內(nèi)容]人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方形和正方形”單元“周長(zhǎng)”的相關(guān)知識(shí)。

[設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明]同樣作為“周長(zhǎng)”內(nèi)容學(xué)習(xí)后即時(shí)跟進(jìn)的測(cè)評(píng)題，與上一題相比，本題有更高的分析與綜合的要求，不僅考查學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)概念的理解，同時(shí)也將圖形的特征納入分析中，考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力。相對(duì)來(lái)說(shuō)，此題對(duì)學(xué)生的素養(yǎng)要求更高。另外，在平時(shí)的考查中，我們一般只需得出結(jié)果。但在素養(yǎng)立意的測(cè)評(píng)中，我們還需要學(xué)生表達(dá)出相關(guān)的思考過(guò)程，以便更加準(zhǔn)確地把握學(xué)生的思維狀態(tài)，了解學(xué)生解答此問(wèn)題的過(guò)程。實(shí)際解答時(shí)，有學(xué)生受了“面”的直觀大小的干擾，做出了錯(cuò)誤的判斷（即或甲周長(zhǎng)大于乙周長(zhǎng)，或甲周長(zhǎng)小于乙周長(zhǎng)。上圖中回答后者的可能性更大些，因?yàn)榧椎拿娣e明顯小于乙的面積），解答正確的學(xué)生會(huì)表現(xiàn)出以下兩種思路：

思路一：量出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，再量出中間那條曲線的長(zhǎng)度，然后分別將長(zhǎng)、寬與曲線的長(zhǎng)度加起來(lái)后進(jìn)行比較。

思路二：根據(jù)長(zhǎng)方形“對(duì)邊相等”的特征進(jìn)行推理。即甲圖形的周長(zhǎng)是“長(zhǎng)+寬+曲線的長(zhǎng)度”，乙圖形的周長(zhǎng)也是“長(zhǎng)+寬+曲線的長(zhǎng)度”，因?yàn)榧住⒁覂蓚€(gè)圖形的周長(zhǎng)均是以“長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬的長(zhǎng)度和+公共曲線的長(zhǎng)度”來(lái)計(jì)算的，所以兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)是一樣的。

以上兩種思路，反映了學(xué)生對(duì)圖形周長(zhǎng)的理解是正確的，但在解答問(wèn)題時(shí)，其思維水平還是有差異的。產(chǎn)生思路一的學(xué)生，對(duì)圖形的周長(zhǎng)是理解的，即“圍成這個(gè)封閉圖形的所有邊的長(zhǎng)度之和”，當(dāng)然，其思維顯然處于需要得到具體的“量”才能判斷結(jié)果的水平；產(chǎn)生思路二的學(xué)生，能夠結(jié)合圖形的特征，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行綜合分析，在理解周長(zhǎng)含義的基礎(chǔ)上，借助圖形特征進(jìn)行推理，其對(duì)“量”的理解、信息的綜合分析水平顯然高于思路一的學(xué)生。

類似的測(cè)評(píng)題還有如“下圖中大正方形的周長(zhǎng)是小正方形周長(zhǎng)的幾倍”這樣的題。同樣是在“面”的干擾下，檢測(cè)學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的本質(zhì)“圖形一周的長(zhǎng)度”的理解水平。解此題首先要找到大正方形的周長(zhǎng)，再根據(jù)大正方形與小正方形邊的關(guān)系（小正方形邊長(zhǎng)的2倍是大正方形的邊長(zhǎng)）來(lái)判斷大正方形周長(zhǎng)與小正方形周長(zhǎng)的倍數(shù)關(guān)系。當(dāng)然，此題受到“面”的干擾可能更大一些，更適合用于學(xué)完“面積”與“周長(zhǎng)”知識(shí)后，作為概念比較與辨析時(shí)的檢測(cè)題。

典型題例3：如下圖，兩個(gè)完全一樣的直角梯形拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形。其中一個(gè)直角梯形的周長(zhǎng)是多少？

[內(nèi)容]人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形和梯形”內(nèi)容中圖形特征的相關(guān)知識(shí)。

[設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明]認(rèn)識(shí)平面圖形一般有兩條路徑，即從“邊”的角度來(lái)認(rèn)識(shí)與從“角”的角度來(lái)認(rèn)識(shí)。“周長(zhǎng)”即是從“邊”的角度，基于長(zhǎng)度屬性來(lái)認(rèn)識(shí)平面圖形。學(xué)生在三年級(jí)學(xué)習(xí)了“周長(zhǎng)”后，在四年級(jí)“平面圖形的認(rèn)識(shí)”中，再次出現(xiàn)“周長(zhǎng)”的相關(guān)知識(shí)，這也是幫助學(xué)生全面建構(gòu)圖形特征必不可少的過(guò)程。題干內(nèi)容表述文字雖然不多，但涉及的知識(shí)點(diǎn)卻有長(zhǎng)方形、梯形、周長(zhǎng)的概念等，具有較強(qiáng)的綜合性。本測(cè)評(píng)題作為2022年某市四年級(jí)期末檢測(cè)試卷中的習(xí)題，學(xué)生在解答時(shí)出現(xiàn)的幾種典型錯(cuò)誤如下：

錯(cuò)誤一：直接計(jì)算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，即（16+30）×2=92（cm）。

錯(cuò)誤二：計(jì)算了長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，再除以2，即（16+30）×2=92（cm），92÷2=46（cm）。

錯(cuò)誤三：計(jì)算了長(zhǎng)方形的面積，再除以2，即

16×30=480（cm），480÷2=240（cm）。

三種典型錯(cuò)誤，第一種錯(cuò)誤是由于學(xué)生審題不清，后兩種錯(cuò)誤則反映了四年級(jí)學(xué)生在“周長(zhǎng)”概念的認(rèn)識(shí)上仍然存在著問(wèn)題。問(wèn)題一（即錯(cuò)誤二），學(xué)生對(duì)在復(fù)雜情境中對(duì)梯形周長(zhǎng)的認(rèn)知不清，將其簡(jiǎn)單化為整個(gè)圖形周長(zhǎng)的一半，實(shí)質(zhì)也是在“周長(zhǎng)”概念表象建立過(guò)程中出現(xiàn)了問(wèn)題；問(wèn)題二（即錯(cuò)誤三），學(xué)生混淆了“面積”與“周長(zhǎng)”的二維與一維屬性，這也是學(xué)生在學(xué)習(xí)了“面積”相關(guān)知識(shí)后，時(shí)常會(huì)出現(xiàn)的問(wèn)題，實(shí)屬正常情況。同時(shí)也表明，在新知學(xué)習(xí)后將舊知與新知結(jié)合起來(lái)考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體把握情況，有著極為重要的現(xiàn)實(shí)意義。

在對(duì)正確的答案進(jìn)行分析后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解答思路主要表現(xiàn)為兩種：

思路一：16+30+18=64（cm）。用此種方法解答的學(xué)生，對(duì)平面圖形周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)相當(dāng)清楚。要求這個(gè)直角梯形的周長(zhǎng)，就是求直角梯形上底、下底和兩條腰的長(zhǎng)度和。根據(jù)圖中的相關(guān)信息，兩條腰的長(zhǎng)度已知（16cm和18cm），上底和下底的長(zhǎng)度分別是多少雖然不知道，但它們的長(zhǎng)度之和是30cm。于是將這些長(zhǎng)度加起來(lái)，即為這個(gè)直角梯形的周長(zhǎng)。

思路二：（16+30）×2＝92（cm），92÷2＝46（cm），46+18＝64（cm）。從思維水平來(lái)說(shuō)，用此種思路解答且正確的學(xué)生，其對(duì)周長(zhǎng)概念的理解還是相當(dāng)深刻的，而且思維水平也比較高。因?yàn)樗麄儾粌H知道求直角梯形的周長(zhǎng)就是求上、下底和兩腰的長(zhǎng)度和，同時(shí)也知道可以借助整個(gè)圖形去思考解決這個(gè)問(wèn)題。即在算出長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的一半時(shí)，還能夠?qū)?8cm這條腰的長(zhǎng)度加上去。這表明：這部分學(xué)生不僅知道梯形的周長(zhǎng)是哪一部分，還能夠厘清直角梯形與拼成后的長(zhǎng)方形之間的關(guān)系。顯然，他們的高階思維能力也比較強(qiáng)。

典型題例4：超市牙膏“買一送一”。將下圖這樣的兩盒牙膏用透明膠帶綁起來(lái)，綁一圈至少需要多少厘米長(zhǎng)的透明膠帶？（膠帶重疊的部分忽略不計(jì)）

[內(nèi)容]人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方體和正方體”與“周長(zhǎng)”的相關(guān)知識(shí)。

[設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明]“周長(zhǎng)”作為一種圖形認(rèn)識(shí)中的長(zhǎng)度屬性，同樣也是認(rèn)識(shí)立體圖形特征時(shí)的重要維度之一。這也是圖形認(rèn)識(shí)從一維到二維再到三維的一個(gè)系統(tǒng)建構(gòu)的過(guò)程。同時(shí)也表明，將孤立的數(shù)學(xué)知識(shí)納入知識(shí)系統(tǒng)中進(jìn)一步理解也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)系統(tǒng)性的基本特點(diǎn)，還是學(xué)生綜合分析能力發(fā)展的重要過(guò)程。顯然，此題將周長(zhǎng)知識(shí)結(jié)合立體圖形的認(rèn)識(shí)進(jìn)行考查，便具有了更強(qiáng)的綜合性。這對(duì)學(xué)生的空間想象能力與概念應(yīng)用能力的要求更高。學(xué)生在解答此題時(shí)出現(xiàn)的兩種典型思路事實(shí)上也正反映了不同的思考與解決問(wèn)題的水平。

思路一：算出綁扎一個(gè)牙膏盒所需要的膠帶長(zhǎng)度，然后乘2，再去掉重合的兩條邊的長(zhǎng)度。當(dāng)然，以這樣的思路來(lái)解答此問(wèn)題時(shí)需要理解，兩盒牙膏重疊起來(lái)時(shí)，所求膠帶長(zhǎng)度其實(shí)由原來(lái)的“8條邊長(zhǎng)（8個(gè)4cm）的和”變成了“6條邊長(zhǎng)的和”，中間2條邊重合后，就不屬于周長(zhǎng)部分了。因此，用此種思路解答的學(xué)生，很容易在這個(gè)點(diǎn)上出現(xiàn)錯(cuò)誤，可能不會(huì)去掉這兩條邊，還有可能只去掉一條邊。

思路二：直接計(jì)算一個(gè)長(zhǎng)8cm、寬4cm的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。以此種思路解答這道題的學(xué)生，其腦海中已經(jīng)建構(gòu)了兩個(gè)盒子重疊后，算所綁膠帶長(zhǎng)度的問(wèn)題其實(shí)就是求一個(gè)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的問(wèn)題。這個(gè)過(guò)程對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求比較高，同時(shí)要求學(xué)生對(duì)圖形的特征及圖形拼組后“邊”的變化有較為清晰的認(rèn)知。值得注意的是，本題題干中并沒(méi)有出現(xiàn)“周長(zhǎng)”字眼，學(xué)生需由一個(gè)長(zhǎng)方體想象兩個(gè)同樣的長(zhǎng)方體拼組后的立體圖形，并通過(guò)問(wèn)題情境的描述，還能從立體圖形中抽象出一個(gè)平面圖形。能夠這樣思考并解決這個(gè)問(wèn)題的學(xué)生，其思維水平已經(jīng)比較強(qiáng)了，因此解題的正確率也會(huì)比較高。

另外，此測(cè)評(píng)題的綜合性還體現(xiàn)在，除了結(jié)合生活情境、具有現(xiàn)實(shí)意義，從“量感”發(fā)展的角度來(lái)看，將“周長(zhǎng)”概念的理解置于抽象的數(shù)學(xué)分析中，周長(zhǎng)概念的應(yīng)用經(jīng)歷了一個(gè)從“線”到“面”再到“體”的直觀演進(jìn)過(guò)程，同時(shí)在解決問(wèn)題的過(guò)程中卻又經(jīng)歷了一個(gè)從“體”回到“面”再到“線”的抽象概括過(guò)程。事實(shí)上，這也是周長(zhǎng)概念系統(tǒng)化建構(gòu)的必要過(guò)程，因?yàn)閷?duì)周長(zhǎng)概念的理解當(dāng)然不能停留于對(duì)線的理解水平，它應(yīng)該被納入圖形認(rèn)知的系統(tǒng)中，在發(fā)展周長(zhǎng)“量感”的同時(shí)，經(jīng)歷從一般的直觀感知理解水平上升到直觀想象甚至數(shù)理抽象的認(rèn)識(shí)過(guò)程，以真正將“周長(zhǎng)”上升到長(zhǎng)度維度作為認(rèn)識(shí)圖形、發(fā)展空間觀念的重要內(nèi)容。這也許就是適度綜合測(cè)評(píng)題的意義與價(jià)值。