尋找撬動“量感”教學的阿基米德支點
——三年級面積單元研究課側記

馬 珂

（北京市海淀區七一小學 北京 100036）

一、“量感”和“量感教學”

“數”和“量”是不可分割的，“數感”是課標（2011年版）提出的十大核心素養之一，“量感”是“數感”的一個分支、一個方面，也是一個核心素養。結合學生的生活經驗和教師的教學實踐，可將“量感”分為“生活量感”和“數學量感”。“生活量感”是學生借助自身生活經驗，通過感官所習得的對于物體大小、長短、粗細、快慢等量的形態的感性認知；“數學量感”，是指學生在教師的引導下，以估測能力的培養為目標，借助生活量感并依托課標和教材來系統設計學習活動，讓學生在體驗中形成對某個量大小的推斷或推斷用某個單位表示的量與哪個物體大小相吻合的一種感覺（以下“量感”均表示“數學量感”）在小學數學學習階段中主要是指計量單位的學習，即對時間、質量、長度、面積和體積等的直觀感受和認知。

提升學生的“量感”素養，“具身認知理論”可以成為其理論和實踐基礎。“具身認知理論”是由美國語言學家拉考夫和哲學教授約翰遜提出，主張認知是由知識、環境和身體三者互相作用的結果。由于小學生以具體形象思維為主，抽象能力不強，而量感具有抽象的特質，因此學生需要在多層次、多維度的情境與估測活動中深度體驗，才能建立對“單位量”的表象和對“疊加量”的認知。具身認知理論倡導要充分調動學生身體的各種感官，在“實感具身”“實境具身”“離線具身”的多維度體驗活動中促進認知的發展。

二、尋找支點培養“量感”

本學期，三年級數學教研團隊聚焦“量感教學”，分別選取了北師大版第六冊“面積單位”和“面積單位的換算”兩節課作為研究課，授課教師分別為樊靜老師和朱冠楠老師。

1.支點1：“實感具身”重視對單位量感知——“面積單位”的認識

“面積單位”一課是北師大版小學數學第六冊第五單元的內容，本課是在學生已經認識面積的含義，學會用觀察、重疊、數方格等方法比較物體表面或平面圖形大小的基礎上進行學習的。同時，本課又是后續探索長方形、正方形面積計算公式以及面積單位間的進率的基礎，是本單元學習的關鍵內容。樊靜老師關注到學生的認知基礎，課前引入環節首先讓學生回憶比較面積大小的方法，接下來通過“估一估”“量一量”“比一比”等活動讓學生體會統一面積單位的必要性。

【課前思考】

第一，學生心目中的面積單位是怎樣的？學生在生活中已有哪些有關面積的經驗？哪些知識經驗能促進或干擾學生對面積單位的學習？從前測中了解到，學生對面積單位的統一有所感悟，但對面積單位的了解較模糊，沒有形成正確的表象。因此，如何更好地幫助學生建立1平方厘米、1平方分米、1平方米的準確概念，無疑是教學的重、難點。而且，由于在較長的時間里，學生學習和了解的測量知識都與長度有關，積累的都是一維空間的活動經驗，所以相關數學知識和方法的負遷移影響幾乎不可避免。

第二，從學生的學習視角出發，該選擇怎樣的教學方式，推進面積單位的教學呢？課堂中，面積單位的教學以怎樣的順序和方式展開？是逐一學之，還是三者同學？學生對面積單位和長度單位的混淆不可避免，教師又該如何直面學生的認知現實，利用學生已有的知識經驗，淡化對概念的咬文嚼字，強化面積單位的建立，并借助多種活動，引導學生在不斷修正錯誤中形成概念的準確表象呢？基于上述思考，三年級數學教研團隊對這節課的教學進行了實踐探究，現選取其中的片段與大家分享、探討。

【教學實踐】

片段一：激活經驗，感悟單位。

師：老師這里準備了一些盲袋，里面裝有不同的學具，請你利用它們來測量數學書封面的大小。

生1：我們組的學具袋里是邊長為5厘米的小正方形，擺滿了6個，我們認為數學書封面是6個小正方形的面積。

生2：我們組用邊長為4厘米的小正方形，橫著可以擺4個，豎著擺6個，4×6=24，數學書封面是24個小正方形的面積。

生3：我們組的學具是小圓片，發現將數學書封面左側鋪滿后是15個圓片的面積，右側可以用兩個半圓片鋪滿，但是仍然有空隙，所以是17個半圓片的面積。

【思考】“面積”是對二維圖形所占區域大小的度量，通過度量可以對圖形進行大小比較；度量的關鍵是設立單位，度量的操作是測量，其實質就是選擇合適的單位、工具、方法測量圖形中所包含的單位數。單位，可以是“自選單位”，也可以是“標準單位”。在上述環節中，樊教師提供結構化的探究材料，通過想、拼、擺、數、比、說等多種感官共同參與的活動過程，讓學生深刻體驗當圖形形狀和大小不同時，測量的面積也不同，因此為了便于交流，就需要使用統一的單位，而“面積單位”是用來度量圖形大小的“標準單位”。基于以上認識，在教學中凸顯“面積單位”的度量本質，引導學生在測量過程中產生統一度量單位的內在需求就顯得尤為重要。

片段二：創作體驗，驗證完善。

師：下面小組合作一起完成面積單位的制作，可以選擇“1平方厘米”“1平方分米”“1平方米”中的一個或幾個；完成后向大家說清楚：你制作的是哪個面積單位？怎么制作的？并想辦法驗證你制作的面積單位。

生1：我們組做的是1平方厘米，在紙上先畫一條10厘米的線，再沿著和它垂直的邊畫和它相等的10厘米。

師：怎么證明自己找的就是1平方分米？

生1：量一量正方形的邊長，看是不是10厘米。

師：那就請你來驗證一下。

生2：我們組做的是1平方米。

生3：它看起來像一個長方形，應該不是1平方米。

師：有同學質疑，你怎么驗證一下？

生3：我用米尺測量它的長是105厘米，寬是98厘米，所以這不是邊長100厘米的正方形，面積就不是1平方米。

生4：雖然有誤差，但是面積已經很接近1平方米了。

【思考】上述環節，教師在教學中著重突出1平方米的認識，因為對學生而言，1平方厘米和1平方分米面積單位比較小，容易想象，建構概念要比1平方米的簡單，所以1平方米的教學要放慢、放大，在不斷的自我探究中修正經驗、完善表象、豐富認知。最后，教師的教學并未就此止步，而是讓學生尋找生活中的1平方厘米、1平方分米和1平方米，不斷引導學生向形、面的屬性靠近，這也正是面積單位的本質所在。

2.支點2：“離線具身”運用推理建立大單位量感——“面積單位的換算”

“離線具身”是指在創設的情境中，通過個體自身的經驗或者他人的言語描繪喚起的具身效應。推理能力是《義務教育數學課程標準（2011 年版）》的一個核心概念，“推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式”。朱冠楠老師在執教“面積單位的換算”一課時，將對學生推理能力的培養貫穿于整個教學環節中。

【課前思考】

相鄰長度單位間的進率是人為規定的，而相鄰面積單位間的進率則是推算而來的。那么，如何引導學生發現并推算出相鄰面積單位間的進率是本節課研究的重點。教學中，朱老師創設了需要用方磚修補一塊正方形墻面的問題情境，以邊長為1厘米的小正方形代替方磚，以邊長為1分米的大正方形代替墻面，試圖讓學生在解決實際問題的過程中發現面積單位間的聯系，并通過對圖示、數據的觀察與分析，組織猜想、驗證、比較等活動，推算面積單位間的進率。

【教學實踐】

片段一：創設情境，在估量中感量。

（課前準備：小組長通過抽簽得到的數字，為小組領取對應號碼的學具筐）

師：上節課我們認識了三個面積單位，分別是什么呢？

生1：平方厘米、平方分米、平方米。

師：今天我們要運用這三個單位修補一塊墻面，為了方便操作，我們用1平方厘米的小正方形代替方磚，用1平方分米的大正方形表示墻面，在活動前，請你先估一估鋪滿墻面需要多少個小方磚？

生2：我認為大概需要60-70塊。

生3：我用指甲蓋比了比，大概需要80多塊。

生4：應該是100塊。

【思考】心理學研究表明：學生感知的材料越豐富，活動的體驗越充分，建立的表象就越清晰、越持久。在面積單位的教學中，學生在生活中找到指甲蓋面、紐扣接近1平方厘米；開關盒、手掌的面接近1平方分米；教室里一塊地磚的面比1平方米小一些，有這些如此形象生動的實物作支撐，學生很容易建立面積單位的表象，這些都可以作為他們的“標準模型”，其他物體的大小都可以用這些“標準模型”去作比較。因此，本節課讓學生估計墻面所需方磚的數量，可以鍛煉學生迅速提取有關面積單位的表象的能力并做出初步的估計和判斷，逐步提高對物體平面圖形大小的直觀判斷能力。

片段二：活動體驗，在拼擺中驗證。

師：請你數一數袋中方磚的數量，思考怎樣修補能讓別人看出鋪滿這個墻面需要的方磚數量？

生1：我們組認為鋪滿需要100塊方磚，我們組袋子里也有100塊方磚，雖然沒有全鋪滿，但是鋪滿一行有10塊，有這樣的10行，10×10=100（塊）。

生2：我們組也認為需要100塊。因為袋子里只有36塊，我們先把一行鋪滿需要10，兩邊接著鋪滿就是10-1=9（塊），還剩下一條邊就是10-2=8（塊），這樣一行有10塊，有10行，也就是100塊。

生3：我們組袋中有19塊方磚，估計需要100塊，我們先把第一行鋪滿，需要10塊，再把一列鋪滿，需要9塊，這樣也可以看出來有10行10列，一共100塊。

生4：我們組袋中有49塊，我們鋪滿一行需要10塊，一列鋪滿有10塊，斜著有10塊，這樣估計需要100塊。

師：斜著的每一塊表示它所在的位置有什么意義呢？

生4：表示它所在的每一行和每一列各有10塊。

師：如果把斜著的每一塊全部移到左邊或全部移到上邊，我們仍然能發現每一行和每一列都是10塊，這樣一共需要100塊。

生5：我們組有11塊，鋪滿一行需要10塊，剩下的1塊鋪在了另一邊，因為這是一個正方形，邊長都相等，所以用邊長乘邊長得到10×10=100（塊）。

【思考】弗賴登塔爾指出：數學教學的核心是學生的“再創造”。讓兒童通過自己的實踐和思考，創造數學知識，建構數學意義。計量單位是小學數學教學中的一個重要內容，而單位換算則是學生學習計量單位的一個難點。學生在單位換算時出錯的情況主要有三種：（1）概念不明確。表現為經常胡亂填寫計量單位。（2）進率不明確。表現為面積單位、計量單位、時間單位之間不會相互換算。（3）轉化不明確。一些學生明白進率概念，但在轉化時，不知是乘以進率還是除以進率。在片段二中，學生根據自己袋中方磚的數量解決修補整個墻面的問題，創設屬于自己的拼擺方式，再在交流討論中統一成需要方磚的數量為100塊。活動的巧妙之處在于讓學生在動手操作中通過量一量、擺一擺、算一算，以“動”促“思”，找到平方分米和平方厘米之間的進率；接著要求學生根據已有的認知和經驗對平方分米和平方米之間的進率進行猜想，并能想辦法進行驗證；最后使學生對面積單位之間的進率有一個完整的了解，初步體會相鄰兩個面積單位間的進率都是 100，幫助學生豐富對面積單位的感性認識，發展學生的空間觀念。

三、我的感悟

在小學階段計量單位的教學內容雖課時有限，但發展學生的量感是一個漫長持續的過程，學生量感能力的建立不是一蹴而就的，需要教師根據學生的學習認知特點開展豐富，多層次的體驗活動，讓學生在觀察、操作、比較、調整中不斷積累“量”的數學活動經驗，在提高學生估測能力的同時真正促進量感的內化和形成。“具身認知”強調個體的認知在身體與環境的互動中形成，引申到教學領域即為身心融合的體驗式教學理念，教師可以在“實感具身、實境具身、離線具身”三種情境下設計教學活動，使學生在體驗中掌握估測方法，提高估測能力，促進量感的培養和數學核心素養的形成。