元認(rèn)知視角下初中生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力的評(píng)價(jià)分析

楊曉蝶

（重慶師范大學(xué) 重慶 401331）

人們稱元認(rèn)知為認(rèn)知的認(rèn)知，實(shí)際上是指不斷地自我反思與行為修正，是人所特有的能力，從幼年小孩到普通成人，每個(gè)人都具有元認(rèn)知，但是人與人之間的元認(rèn)知能力又具有很大的差異，即使是從同一個(gè)角度去理解某個(gè)問(wèn)題，不同的人也會(huì)有或淺顯、或深?yuàn)W的看法。而一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力與其元認(rèn)知能力是相貼合的，因此，筆者嘗試?yán)迷J(rèn)知起作用的階段性來(lái)反映學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力。

一、問(wèn)題背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》提出了初中生問(wèn)題解決能力的層次要求：第一，初中生要能從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，在具體情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題；第二，能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；第三，在經(jīng)歷了從不同方向分析解決問(wèn)題的過(guò)程后，初中生要能掌握分析和解決問(wèn)題的一些基本方法；第四，理解他人的思考方法和結(jié)論，能針對(duì)他人所提的問(wèn)題進(jìn)行反思，初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)。[1]因此，教育者們想要了解學(xué)生的問(wèn)題解決能力，就需要建立相應(yīng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，而元認(rèn)知能力恰好就是學(xué)生對(duì)問(wèn)題思考過(guò)程的認(rèn)知與反思能力。可以通過(guò)感知學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中的元認(rèn)知能力，依據(jù)SOLO 分類理論評(píng)價(jià)其數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力。

二、評(píng)價(jià)工具

（一）SOLO 分類理論

SOLO 分類評(píng)價(jià)法源于皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段論，SOLO將學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果由低到高分為五個(gè)不同的層次，即：前結(jié)構(gòu)、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)、拓展抽象結(jié)構(gòu)。五個(gè)層次在SOLO 水平特征表現(xiàn)層層遞進(jìn)，其中前結(jié)構(gòu)是最基本的能力層次，表現(xiàn)為不明白題目所指，沒(méi)有任何的理解；或者可能已獲得零散的信息碎片，但它們是無(wú)組織結(jié)構(gòu)的，且與實(shí)際內(nèi)容沒(méi)有必然聯(lián)系。相反地，拓展抽象結(jié)構(gòu)則是最好的能力層次，表現(xiàn)為能利用所有可用數(shù)據(jù)，將其相互關(guān)聯(lián)起來(lái)，得出合理抽象結(jié)構(gòu)；超越所給信息，進(jìn)行從具體到一般的邏輯推理；能歸納并做出假設(shè)，在開放結(jié)論中使用組合的推理結(jié)果；能用新的、抽象的功能來(lái)拓展知識(shí)結(jié)構(gòu)；尋找控制可能變化的方法及這些變化之間的相互作用；可注意來(lái)自不同觀念的結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行遷移。[2]依據(jù)這五個(gè)層次，將初中生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力也細(xì)化為五個(gè)層次。

（二）元認(rèn)知的作用階段

克魯爾在1982 年修正并發(fā)展了元認(rèn)知理論，將元認(rèn)知分為元認(rèn)知知識(shí)和元認(rèn)知策略兩大塊，元認(rèn)知知識(shí)即陳訴性知識(shí)，元認(rèn)知策略則指的是程序性知識(shí)，這一觀點(diǎn)被稱為元認(rèn)知結(jié)構(gòu)的二分法。納爾遜則在此基礎(chǔ)上提出了動(dòng)態(tài)的認(rèn)識(shí)模型，將心理過(guò)程分為認(rèn)知和元認(rèn)知兩個(gè)層次，從認(rèn)知走向元認(rèn)知的過(guò)程被稱為元認(rèn)知監(jiān)控，而將元認(rèn)知走向認(rèn)知的過(guò)程則稱為控制。控制和監(jiān)控理所當(dāng)然被認(rèn)為是元認(rèn)知策略的重要組成部分。[3]隨著近年來(lái)關(guān)注元認(rèn)知這一領(lǐng)域的學(xué)者們?cè)絹?lái)越多，逐漸發(fā)展到將元認(rèn)知運(yùn)用到各個(gè)學(xué)科中，本文便將元認(rèn)知分為被動(dòng)元認(rèn)知與主動(dòng)元認(rèn)知，元認(rèn)知的實(shí)質(zhì)是對(duì)認(rèn)知活動(dòng)的自我意識(shí)和自我調(diào)節(jié)。為了反映初中生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力層次，這里將元認(rèn)知分為以下三個(gè)階段：

1.元認(rèn)知知識(shí)

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題有初步印象，可以區(qū)分表面與實(shí)質(zhì)，能在情境中提煉出零碎的相關(guān)信息。這是一種記憶能力和基礎(chǔ)的思維導(dǎo)向，也是達(dá)到元認(rèn)知體驗(yàn)階段的大前提。

2.元認(rèn)知體驗(yàn)

學(xué)生通過(guò)再感知、再記憶、再思維，在解決問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)自我認(rèn)知。這是貫穿整個(gè)問(wèn)題解決過(guò)程中的，包括知與不知的體驗(yàn)。

3.元認(rèn)知監(jiān)控

學(xué)生能夠自我檢查，確認(rèn)自己的解題能力是否達(dá)到預(yù)期。這是問(wèn)題解決能力的考查核心，代表學(xué)生能否自我進(jìn)行監(jiān)視、控制與調(diào)節(jié)。

三、課堂測(cè)驗(yàn)設(shè)計(jì)

（一）設(shè)計(jì)理念及原則

設(shè)計(jì)以考查學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力為目的，以數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、函數(shù)思想、信息整理等學(xué)習(xí)理論，任務(wù)驅(qū)動(dòng)法、自主學(xué)習(xí)法等教學(xué)方法為理論基礎(chǔ)，以SOLO 分類與元認(rèn)知的作用階段為工具，在評(píng)價(jià)初中生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力時(shí)，可代化為考查初中生們從數(shù)學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力以及對(duì)數(shù)學(xué)情境的關(guān)聯(lián)、逆向思考、反推能力。最后構(gòu)建出與數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而給出評(píng)價(jià)。

設(shè)計(jì)以直觀性、理論聯(lián)合實(shí)際、科學(xué)性與教育性為原則，課堂教學(xué)知識(shí)符合邏輯，教師需要在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生處理好直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用理論知識(shí)去分析和解決問(wèn)題。

（二）測(cè)驗(yàn)流程

第一步，教師在課前引入數(shù)學(xué)問(wèn)題，逐步引導(dǎo)學(xué)生，為學(xué)生解決該問(wèn)題指明方向。

第二步，學(xué)生體驗(yàn)情境模式，將情境問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，回憶數(shù)學(xué)模型，尋找解決問(wèn)題的方法。

第三步，引導(dǎo)學(xué)生深入反思，提出問(wèn)題變式，層層遞進(jìn)、循序漸進(jìn)，觀察學(xué)生們所具有的問(wèn)題解決的能力程度，從而給出相應(yīng)的評(píng)價(jià)。

設(shè)計(jì)流程圖

四、中學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決案例分析

通過(guò)綜合考量初中生在日常生活中通常會(huì)接觸到的數(shù)學(xué)問(wèn)題以及學(xué)生們的心智活動(dòng)、數(shù)學(xué)思維方式，將本次用于考評(píng)的教學(xué)案例確定為：二元一次方程求最值模型在實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

師：同學(xué)們，我們上周學(xué)習(xí)了二元一次方程求最值的數(shù)學(xué)模型，這個(gè)模型可以用來(lái)解決許多生活中的實(shí)際問(wèn)題，小明昨天就向老師提出了一個(gè)很有意思的問(wèn)題，有請(qǐng)小明同學(xué)起來(lái)給大家講一講。

小明：我昨天去超市買可樂(lè)，發(fā)現(xiàn)原味的罐裝可樂(lè)有兩種，并且都是350 毫升的，但是價(jià)錢卻不一樣，我想知道是不是因?yàn)榘b成本不一樣，那么哪一種包裝成本更低呢？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生已經(jīng)對(duì)一元二次函數(shù)的概念、圖像、基本性質(zhì)和應(yīng)用有了一定的認(rèn)識(shí)，但真正用這些理論知識(shí)來(lái)解決生活中實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)歷卻很匱乏。這樣設(shè)計(jì)可以建立起函數(shù)與實(shí)際生活的聯(lián)系，激起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高行動(dòng)力，以便考查學(xué)生元認(rèn)知知識(shí)能力。

生1：如果是包裝成本的原因，我認(rèn)為可以從包裝材料和材料的面積入手。

生2：材料都是鋁制的，就是看材料的尺寸。可以用上周學(xué)的一元二次函數(shù)求最值來(lái)計(jì)算包裝成本。

教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題“怎樣設(shè)計(jì)可樂(lè)罐的包裝可以使用料最少？”通過(guò)組織學(xué)生自主活動(dòng)后，同學(xué)展示思考結(jié)果。

生3：現(xiàn)在的問(wèn)題就是要求出可樂(lè)罐的表面積，體積是350 毫升，我們可以先假設(shè)半徑，再求出相應(yīng)的高，進(jìn)而求出表面積。

生4：這樣估算起來(lái)工作量太大。我認(rèn)為我們可以寫出一元二次函數(shù)表達(dá)式，通過(guò)底面半徑r與表面積S的關(guān)系求出函數(shù)表達(dá)式，再直接代入r的值就行了。

問(wèn)題解決能力分析：學(xué)生1 有發(fā)現(xiàn)生活與數(shù)學(xué)之間聯(lián)系的能力，具有良好的元認(rèn)知知識(shí)能力。學(xué)生2 能夠?qū)⑸钪械膯?wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題與學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)模型結(jié)合起來(lái)，具備優(yōu)秀的元認(rèn)知知識(shí)能力。學(xué)生3 明確數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用了方程問(wèn)題模型，但沒(méi)有考慮到問(wèn)題解決的可操作性，具有良好的元認(rèn)知知識(shí)、元認(rèn)知體驗(yàn)?zāi)芰ΑW(xué)生4 從問(wèn)題的情境中抓取到了核心，明晰應(yīng)該用什么數(shù)學(xué)模型最節(jié)約時(shí)間，提高效率，并且正確運(yùn)用了數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題，涉及了具體數(shù)字、數(shù)學(xué)運(yùn)算。目的明確，有優(yōu)秀的元認(rèn)知知識(shí)、元認(rèn)知體驗(yàn)?zāi)芰Α?/p>

（二）問(wèn)題求解與反思

教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)底面半徑r與表面積S的關(guān)系建立平面直角坐標(biāo)系，讓學(xué)生多計(jì)算幾組數(shù)據(jù)使得結(jié)果更加精準(zhǔn)，考查學(xué)生元認(rèn)知監(jiān)控能力。

師：同學(xué)們完成得很好，計(jì)算出了這么多組數(shù)據(jù)，可是你們發(fā)現(xiàn)了什么問(wèn)題嗎？仔細(xì)看看你們得到的數(shù)據(jù)呢？

學(xué)生5：我發(fā)現(xiàn)我取的r值計(jì)算出來(lái)的結(jié)果一直存在誤差，所以我認(rèn)為現(xiàn)在的問(wèn)題應(yīng)該是要準(zhǔn)確計(jì)算出可樂(lè)罐表面積最小時(shí)的半徑r的值。

學(xué)生6：我們可以求解證明：

可是求不出最值。難道人力無(wú)法計(jì)算出準(zhǔn)確值，需要計(jì)算機(jī)才可以嗎？

（教師活動(dòng)：借助幾何畫板向?qū)W生展示取得最小值的點(diǎn)，總結(jié)問(wèn)題求解的過(guò)程，如運(yùn)用函數(shù)公式變換以及工具的利用等。）

師：我們利用數(shù)學(xué)知識(shí)求出了最節(jié)省材料的包裝半徑，同學(xué)們結(jié)合生活實(shí)際看看，你們還有什么疑問(wèn)嗎？

學(xué)生7：為什么商家所用的包裝半徑不是我們求出來(lái)的最優(yōu)半徑呢？是我們模型建立錯(cuò)誤了還是影響因素不只包裝材料的尺寸呢？再添加影響因素的話是不是需要建立二元或者三元方程模型來(lái)計(jì)算了呀？

師：是的，沒(méi)想到超市里一個(gè)不起眼的可樂(lè)罐竟能蘊(yùn)含如此多的數(shù)學(xué)知識(shí)，同學(xué)們下課后可以試著自己設(shè)計(jì)一個(gè)函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題并解決它。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題后多加反思，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是一個(gè)不斷優(yōu)化的過(guò)程，學(xué)生不僅要掌握理論知識(shí)，還要學(xué)會(huì)實(shí)踐與模擬，反思理論知識(shí)與生活的聯(lián)系。考查學(xué)生元認(rèn)知監(jiān)測(cè)能力，即在認(rèn)知后的回溯中，反思認(rèn)知過(guò)程，修正認(rèn)知結(jié)果。

問(wèn)題解決能力分析：學(xué)生7 具有良好的元認(rèn)知監(jiān)控能力，通過(guò)不斷的自我檢查、自我提問(wèn)，會(huì)反思解決過(guò)程有無(wú)錯(cuò)誤，明確問(wèn)題思考方向以及問(wèn)題解決目的，掌握了函數(shù)的應(yīng)用，能協(xié)調(diào)運(yùn)用不同板塊的數(shù)學(xué)知識(shí)，舉一反三，融會(huì)貫通，知識(shí)的遷移能力強(qiáng)，具有優(yōu)秀的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力。

五、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力與SOLO 理論評(píng)價(jià)對(duì)應(yīng)關(guān)系

學(xué)生在課堂上的主體性表現(xiàn)各不相同，一些學(xué)生能動(dòng)性很強(qiáng)，能在日常生活中自主地聯(lián)想到數(shù)學(xué)課堂知識(shí)，有高昂的學(xué)習(xí)熱情；一些學(xué)生自主性很強(qiáng)，能把教材中的內(nèi)容吸收消化，納入自己的精神領(lǐng)域中并能夠運(yùn)用它們解決實(shí)踐問(wèn)題；一些學(xué)生創(chuàng)造性很強(qiáng)，他們思維活躍，但是表現(xiàn)不同，一部分思維跳躍總是找不到關(guān)鍵點(diǎn)，有想法但是沒(méi)有清晰的思路；一部分思維靈活，有想法還能付諸實(shí)踐。通過(guò)觀察學(xué)生在課堂上運(yùn)用理論知識(shí)解決問(wèn)題時(shí)的能力表現(xiàn)，分析他們所能達(dá)到的元認(rèn)知能力階段，將學(xué)生劃分為以下五類層次。

表1 基于SOLO 分類理論的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)表

六、總結(jié)與反思

（一）教師應(yīng)重視學(xué)生元認(rèn)知知識(shí)能力的培養(yǎng)

人是積極主動(dòng)的機(jī)體，其主體意識(shí)監(jiān)控現(xiàn)在、計(jì)劃未來(lái)，有效地控制自己的思維和學(xué)習(xí)過(guò)程。[4]學(xué)生元認(rèn)知知識(shí)能力是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的基礎(chǔ)，也是學(xué)生較其他元認(rèn)知能力中最容易提高的能力，教師可以注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)一個(gè)問(wèn)題中有效信息的提取能力以及數(shù)學(xué)的敏銳感。讓學(xué)生對(duì)知識(shí)多加復(fù)習(xí)，引導(dǎo)反思，經(jīng)常反思才能提高學(xué)習(xí)效果，學(xué)生看見(jiàn)有效果才會(huì)自覺(jué)、積極地去開展反思活動(dòng)，養(yǎng)成反思的習(xí)慣，不斷提升自己。

（二）教師應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生直面錯(cuò)誤，加強(qiáng)元認(rèn)知體驗(yàn)，激發(fā)反思

弗拉維爾認(rèn)為，在認(rèn)知活動(dòng)中，元認(rèn)知知識(shí)和元認(rèn)知體驗(yàn)是相互作用的。[4]首先，學(xué)生擁有良好的元認(rèn)知知識(shí)能力才能體驗(yàn)到問(wèn)題解決的過(guò)程，從而能夠進(jìn)一步理解元認(rèn)知體驗(yàn)的意義。其次，學(xué)生有了元認(rèn)知體驗(yàn)后，能加深他們對(duì)知識(shí)的印象和理解，刺激再記憶，達(dá)到鞏固知識(shí)的效果，從而導(dǎo)致元認(rèn)知知識(shí)的增加、不斷修訂；鼓勵(lì)學(xué)生在錯(cuò)誤中增強(qiáng)問(wèn)題解決的過(guò)程體驗(yàn)，在反思中強(qiáng)化元認(rèn)知能力。

（三）掌握元認(rèn)知理論最終目的是解決問(wèn)題

不管學(xué)生是不斷復(fù)習(xí)鞏固還是不停反思修正，最終目的都是要解決問(wèn)題。這意味著并不是讓學(xué)生持續(xù)不停地反思，而應(yīng)該是張弛有度，以解決問(wèn)題為度，問(wèn)題解決了，一次反思相應(yīng)地也就結(jié)束了。此外，學(xué)生反思更不能是無(wú)腦反思，而應(yīng)該是選擇具有一定意義的問(wèn)題，而不是缺乏應(yīng)用價(jià)值的問(wèn)題。