異步切換下切換時變時滯系統的保成本控制

李同彬, 高 娟

(1. 哈爾濱師范大學經濟學院，哈爾濱 150001; 2. 哈爾濱師范大學數學科學學院，哈爾濱 150001)

0 引言

切換系統由一系列連續時間或離散時間子系統和一個控制它們之間切換的切換信號組成。不僅在傳統的應用領域，如航天和汽車工程等領域廣泛應用，也頻繁地應用于新興的領域，如計算機科學和計算機網絡、電源轉換器、活性污泥廢水處理系統、開關連續攪拌釜反應器等。因此，切換系統的研究具有重要的理論及實踐意義。近年來，切換系統越來越受到重視，研究結果可參閱文獻[1–6]。由于時滯現象廣泛存在工程系統中，具有時滯的切換系統一直是控制界研究的熱點[7–8]。學者們提出了很多有效的研究切換系統的方法，如二次Lyapunov 函數法、多Lyapunov 函數方法[9–10]、平均駐留時間技術[11–13]、線性矩陣不等式方法等[7,14]。

上述所有研究工作都假設控制器與子系統同步切換。然而，在實際操作中，系統在識別子系統并請求控制器切換到該子系統相應的控制器的過程需要花費一段時間，這種子系統和控制器“異步切換”的現象是不可避免的[15]。關于異步切換下的切換系統研究有很多，如穩定性分析[16–19]、故障檢測[20]、滑?？刂芠21]、輸出跟蹤控制[22]、輸出反饋控制[23–24]、H∞濾波[25]。然而，據我們所知，異步切換下具有時變時滯的切換系統的保成本控制問題尚未得到研究，這啟發了本研究。保成本控制是設計控制系統以實現系統穩定性和足夠水平的魯棒性能的一種實用方法[26]，學者們對不同系統的保成本控制問題進行了研究，如非線性系統[26]、網絡控制系統[27]、不確定切換時滯系統[28]、切換非線性系統[29]、切換奇異系統等[14]。

基于上述工作，本文研究了異步切換下切換時變時滯系統的保成本控制問題。與以往大多數使用普通二次Lyapunov 函數實現保成本控制的工作不同，本文采用了分段Lyapunov 函數方法，與普通二次Lyapunov 函數方法相比，具有更小的保守性。因為分段Lyapunov 函數方法的復雜性，關于保成本控制的研究很少。本文使用分段Lyapunov 函數(已被證明是處理異步切換下切換系統的有效工具[22–23])，以及平均駐留時間技術，實現了異步切換下切換時變時滯系統的保成本控制。

本文的主要工作如下：

1) 研究了切換時變時滯系統在異步切換下的保成本控制問題；

2) 采用分段Lyapunov 函數方法實現了保成本控制。

1 問題描述及引理

考慮如下時變時滯切換系統

其中t ≥0,x(t)∈Rn為系統狀態向量，u(t)∈Rm為系統輸入向量，σ(t) : [0,+∞]→={1,2,···,N}，一個關于時間的分段常值函數，由它決定的子系統的切換序列可描述為

其中t0= 0 表示初始時刻，tn為第n個切換時刻。σ(t) =i表示第i個子系統運行。N表示子系統個數。Ai、Bi、Ci(i ∈)為已知的適維實值常數矩陣。ψ(s)為給定的向量值初始函數，d(t)為時變時滯且滿足

σ′(t)表示控制器的實際切換信號，控制輸入為

控制器的切換瞬間滯后于子系統的切換瞬間，控制器的實際的切換序列可描述為

控制器相對于相應子系統的切換時滯滿足

注1條件?n＜ infn≥1(tn+1?tn)意味著異步切換系統的整個運行時間，可劃分為子系統和控制器“匹配時間段”和“不匹配時間段”。在匹配時間段內，子系統和控制器同步運行，在不匹配時間段內，子系統和控制器異步運行。

在控制器(4)下，得到下面的閉環切換系統

對系統(1)定義成本函數

其中λ>0 為常數，Q和R為給定的正定加權矩陣。

定義1對于異步切換下的時變時滯系統(1)，如果存在控制律u(t)和一個正數J?，使得閉環系統(5)是穩定的，并且成本函數(6)滿足J ≤J?，則J?稱為切換系統(1)的一個成本上界，u(t)稱為切換系統(1)的一個保成本控制律。

定義2[30]如果存在常數δ ≥1 和λ>0，使得系統(1)的解滿足

則稱切換系統(1)的平衡點x?=0 是指數穩定的，其中

定義3[31]給定常數τa>0,N0≥0 和任意的T2>T1≥0，若不等式

成立，則稱τa為切換信號σ(t)的平均駐留時間，其中Nσ(T1,T2)為切換信號σ(t)在時間區間(T1,T2)上的切換次數，N0為顫抖界。

在實際使用時，一般取N0=0。

引理1[32]對于任意對稱正定常數矩陣L ∈Rn×n和常數ω> 0，如果存在向量值函數ξ:[0,ω]→Rn，使得積分

正確定義，那么下面的不等式

成立。

引理2(Schur 補引理) 給定一個適當維數的對稱矩陣

其中S11和S22均為對稱矩陣，且=S21，則下列三式等價：

2 主要結果

假設當t=tn?1時，第i個子系統被激活，即σ(tn?1) =i，當t=tn時，第j個子系統被激活，即σ(tn) =j。由于控制器切換滯后于子系統切換，當第i個子系統切換到第j個子系統時，控制器Ki還在運行直到?n這么長時間后，才切換到Kj。因此，閉環切換系統(5)可描述為

首先，利用分段Lyapunov 函數方法，給出了保證成本控制器(4)存在的一個充分條件，解決了切換時變時滯系統(1)在異步切換下的保成本控制問題。為了方便起見，令T?(t0,t)表示子系統在時間區間[t0,t)上受控于匹配控制器的總時間，T+(t0,t)表示子系統在時間區間[t0,t)上受控于不匹配控制器的總時間。

定理1考慮異步切換系統(1)，成本函數為(6)，給定正的常數α和β，μ≥1，對于任意的i,j ∈,i ?=j，如果存在矩陣Pi>0,Si>0,Zi>0，使得下面矩陣不等式成立

那么，對于任意平均駐留時間滿足

的切換信號，閉環切換系統(5)在狀態反饋控制器(4)下是指數穩定的，成本函數的一個加權上界為

其中

證明 穩定性分析將從控制器與子系統匹配和不匹配兩方面分別進行。

當t ∈[t0,t1)∪[tn?1+?n?1,tn),n= 2,3,···時，匹配時間段運行。選擇如下Lyapunov 函數

計算它的導數得

由(3)式，可得

應用引理2，有

另一方面，由Leibniz 公式，可得

結合(17)～(20)式，得

其中

根據矩陣不等式(12)，可得

對(22)式從tn?1+?n?1到t(當t ∈[t0,t1)時，從t0到t)進行積分，可得

當t ∈[tn,tn+?n),n=1,2,···，不匹配時間段運行。選擇如下Lyapunov 函數

與前面類似，可得

由矩陣不等式(13)，可得

對(26)式的兩邊從tn到t進行積分，可得

通過計算，顯然有下面兩個不等式

成立。由(28)式和(29)式，可得

另一方面，由(3)式，得

由(31)式和(32)式，可得

用(11)式計算，有

由(30)式和(34)式，有

對于整個區間[t0,t)，考慮如下分段Lyapunov 函數

結合(23)式、(27)式、(33)式和(35)式，當t ∈[t0,t1)∪[tn?1+△n?1,tn),n=2,3,···時，我們可得

根據定義3和(14)式，有

進一步，可得

其中

由(38)式和(39)式，得到

當t ∈[tn,tn+△n),n=1,2,···時，可得

由定義3 和(14)式，我們有

由(39)式和(40)式，可得

由定義2 和(14)式，閉環系統(5)是指數穩定的。

另一方面，由(22)式和(26)式，有

對(43)式兩邊從tn?1+?n?1到t(當t ∈[t0,t1)時，從t0到t)進行積分，對(44)式從tn到t進行積分，得到

或

以及

其中

當t ∈[t0,t1)∪[tn?1+△n?1,tn),n=2,3,···時，由(33)式、(35)式、(45)式和(46)式，我們可得

對(47)式兩端乘以e?(lnμ+(α+β)h)Nσ(0,t)，可得

由(8)式和(14)式，有

因此，(48)式可以寫為

注意到

我們有

其中κ已在(15)式中定義。

分別對(51)式兩端從0 到∞積分，得到

顯然可得

當t ∈[tn,tn+△n),n=1,2,···時，我們有

(55)式兩端乘以e?(lnμ+(α+β)h)Nσ(0,t)，可得

由(49)式，可得

注意到

我們可得(51)式。所以，最終可得(54)式。由定義1，可知

是系統(1)的一個成本上界。

注2對比文獻[14,28]的結果，在文獻[14,28]中，使用公共二次Lyapunov 函數來實現保成本控制。相較公共Lyapunov 函數法，本文定理1 中使用的分段Lyapunov 法不但能實現保成本控制，而且保守性更低。

下面給出保成本控制器設計的線性矩陣不等式條件。

定理2考慮異步切換系統(1)，成本函數(6)，給定正的常數α,β,μ≥1，對于任意的i,j ∈,i ?=j，如果存在矩陣Xi>0,Ni>0,Li>0 和矩陣Mi，使得下面的線性矩陣不等式成立

那么，對于任意平均駐留時間(14)，閉環切換系統(5)在狀態反饋控制器(4)下是指數穩定的，成本上界為

其中

控制器增益為

證明 由Schur 補引理，矩陣不等式(12)等價于

其中

那么，(61)式等價于

其中

(62)式的兩端分別左乘對角矩陣

右乘對角矩陣

記

可得矩陣不等式(58)成立，這意味著(12)式等價于(58)式。以類似方式，(13)式等價于(59)式。

3 數值仿真

本節通過一個數值例子來驗證本文結論的有效性。

考慮由兩個子系統組成的切換系統，子系統矩陣參數為

d(t) = 0.1 + 0.1 sint，易得h= 0.2,τ= 0.1。初始值ψ(t) = [0.5et,?2et]T,t ∈[?0.2,0]。成本函數(6)的加權矩陣為

選取λ=0.25,α=0.4,β=0.5,μ=1.02。解線性矩陣不等式(57)～(59)，可得

由(60)式，我們可得

成本上界J?=285.876 4。

根據(14)式計算，可得

圖1 切換信號

圖2 閉環系統的狀態響應

4 結論

本文研究了一類切換時變時滯系統在異步切換下的保成本控制問題。通過構造允許在異步階段函數值增加的分段Lyapunov 函數，并使用平均駐留時間方法，給出了閉環系統指數穩定的一個充分條件和閉環系統成本函數的一個界。我們將保成本控制器的設計問題轉化為求解一組線性矩陣不等式，給出了一個數值例子說明了結果的有效性。