基于深度學習的高中數學課堂教學策略研究
——以《余弦定理》為例

高敬飛,孫向辰

(哈爾濱師范大學教師教育學院，黑龍江哈爾濱，150000)

目前，新課程改革如火如荼，各省的高中數學課程開始使用新教材，與之配套的課堂教學方法需要新的理念進行指導.深度學習的理論與核心素養目標非常契合，可以借助深度學習理論指導新的高中數學課堂教學.在2019人教A版高中數學教材中，《余弦定理》一節課的位置調整到了必修第二冊第六章“平面向量及其應用”一章.這一調整，彰顯了新課程重視數學應用性的理念.

1 核心概念界定

關于深度學習，有著多視角的理解.

郭華教授認為，所謂深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義學習的過程.[1]

鐘啟泉教授認為，“深度學習”是指“學習者能動地參與教學的總稱”，亦即“通過學習者能動地學習，旨在培育囊括了認知性·倫理性·社會性能力，以及教養·知識·體驗在內的通用能力”.[2]

基于以上觀點，在高中數學教學中，本文將深度學習的概念界定如下：深度學習是指在教師的指導下，學生在具體的情境中，圍繞本節課的學習目標，經歷知識的形成過程，掌握數學知識的本質，建立新舊知識的聯系，培養數學思維和用數學方法解決問題的能力，發展數學核心素養的學習過程.

2 高中數學的深度學習課堂教學設計策略

2.1 明確深度學習的教學目標

教師作為課堂教學的主導者，需要結合普通高中數學課程標準、本節課的學習任務、學生的實際情況，制定合理的教學目標.借助深度學習理論，教師要摒棄以往“碎片化”教學的理念，明確在本節課中，學生需要“掌握哪些知識”“如何掌握這些知識”“新舊知識有哪些聯系”，將本節課內容與學生已有的知識融合成有機整體.教學目標是指導課堂活動的關鍵所在，教師制定的教學目標需要容易落地，擲地有聲.

2.2 創設基于學生認知的現實問題情境

在實際高中數學課堂中，學生已經經歷過義務教育階段的數學課程學習，在學習數學過程中形成了一定的方法和認知基礎.部分同學認為數學課程難度很大，在學習高中數學課程之前就已經產生畏難情緒.而心理學研究表明，學生熟悉的真實問題情境，能夠激起學生的研究興趣，而且學生對熟悉的內容接受程度較高.深度學習理論指導教師去創設合理的問題情境，形成認知沖突，引導學生嘗試用數學眼光看世界，用數學語言表達問題，用數學方法解決問題.[3]

2.3 設置基于深度學習的學習活動，探究數學本質

基于深度學習所創設的情境將學生的注意力吸引到將要學習的內容上來.如果整堂課的內容都僅限于有趣、好玩，就失去數學課程的學習數學知識和技能、鍛煉數學思維、提升數學核心素養的作用，舍本逐末.因此，教師需要保證數學課程的思想性，在成功將學生注意力和興趣引導到新知識學習上來后，引導學生思考如何利用已有的知識盡可能“靠近”解決現實問題.具體的策略是：設置具有邏輯性、思想性和方法性的問題串和學習活動，引導學生在解決問題的過程中獲得新知，并且引導學生把握新知識的數學本質，建立新舊知識之間的聯系.教師設計的問題串和學習活動要讓學生的思維充分“外顯”，可以利用讓學生自我分析、質疑辯論等等方式.

2.4 進行追求深度學習的反思指導

傳統的課堂教學雖然強調了反思的重要性，但是教學終結的反思不過是蜻蜓點水的一種點綴而已.進行反思的目的是，希望學生能夠回顧數學課堂的經歷，品味在數學課堂中有什么收獲.當致力于實現真實的深度學習的時候，教師可以把基于數學學科素養的理想的“反思”作為方向目標來設定，進行逆向教學設計.[2]

3 基于深度學習的教學設計

下面以《余弦定理》一節為例進行基于深度學習的教學設計.

3.1 教學目標

(1) 經歷把實際問題抽象為數學問題，利用平面向量定量研究三角形兩邊及其夾角確定第三邊的過程，推導余弦定理，體會平面向量的工具性；

(2) 通過定量研究三角形的邊角關系，建立全等三角形判定定理，勾股定理與余弦定理的聯系，形成新的認知結構；

(3) 通過實例探究余弦定理，并用余弦定理及其推論解決問題，提升數學建模、數學抽象、邏輯推理和數學運算的核心素養.

3.2 教學重難點

(1) 重點：余弦定理及其推論，余弦定理的應用；

(2) 難點：余弦定理的探索證明.

3.3 教學過程

3.3.1 創設情境

問題1如圖1，某勘測隊測量某一湖面的寬度，但是，湖邊地勢復雜，于是勘測隊員在地勢較平緩的地方選擇了一個適當的位置C，量出了C到湖邊A，B的距離，其中CA=3 km，CB=2 km，并利用經緯儀測出∠ACB=120°，那么，根據上述條件勘測隊能否測出湖面AB的寬度？

圖1

追問1：用題目中的條件，可以確定AB的長度嗎？你的理由是？

預設：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等(SAS)，也就是說，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的.因此，根據題目中的條件，可以確定AB的長度.

設計意圖:回憶初中學習的定性研究三角形的邊角關系方法，根據判定三角形全等的方法，可以由三角形的三條邊、三個角中的某些元素唯一確定三角形的形狀，為定量研究這些元素的數量關系做鋪墊.

追問2：給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的，也就是說三角形的其他邊和角都可以利用這兩邊及其夾角來表示.利用三角形的兩邊及其夾角求第三邊，你有什么方法？

預設：利用向量法.

設計意圖:由研究問題的特點，適配平面向量工具的應用條件，引出本節課主要探究方法是向量法.

3.3.2 探索新知

問題2在△ABC中，三個角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，怎樣用a，b和C表示c？

追問1：圖2中有哪些要素可以表示為向量？將幾何元素用向量表示后，問題轉化成了什么？

圖2

追問2：根據轉化后的條件和問題，你認為能利用向量的什么性質去解決呢？

預設：|c|2=c2.

學生活動：請用|a|，|b|和C表示|c|.

|c|2=c·c=(a-b)·(a-b)
=a·a+b·b-2a·b
=a2+b2-2|a||b|cosC.

將向量式轉化為幾何式，得：

c2=a2+b2-2abcosC.

追問3：如何用已知的邊b，c和它們的夾角A表示第三邊a？如何用已知的邊a，c和它們的夾角B表示第三邊b？

預設：a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB.

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.

學生活動：嘗試用余弦定理解決問題1.

設計意圖:將實際問題抽象為數學問題，引導學生利用平面向量解決幾何問題的“三步曲”解決該問題，增強學生用數學知識解決實際問題的能力，提升學生的數學建模的核心素養，使學生感受到數學的應用性、邏輯美、對稱美.

問題3觀察余弦定理的某一個公式，你能否將其進行變形得到其他的結論？

預設：由余弦定理，可以得到如下推論：

設計意圖:引導學生深入思考，利用方程思想深入挖掘得到的余弦定理的公式，拓展余弦定理的應用范圍.

3.3.3 認知深化

思考1：利用余弦定理，可以解決什么類型的幾何問題？

預設：已知三角形的兩邊及其夾角直接求出第三邊.

思考2：利用余弦定理的推論，可以解決什么類型的幾何問題？

預設：可以由三角形的三邊直接計算出三角形的三個角.

思考3：初中學習的勾股定理指出了三角形中的三邊關系，余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系，你能說說這兩個定理之間的關系嗎？

預設：余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.

思考4：你能用其他方法證明余弦定理嗎？課下請同學們繼續探究.

設計意圖:由一系列問題串引導學生思考，并數學地表達自己的思維過程，在教師的引導下，歸納出用平面向量解決幾何問題的一般步驟.通過一系列的追問、學生的批判思考，培養邏輯推理、數學運算的核心素養.將新學的余弦定理與初中學習的全等三角形的判定、勾股定理建立聯系，使學生將新舊知識整合，形成新的認知結構，避免“碎片化”的學習.

問題4利用余弦定理及其推論，你認為要求出三角形的三條邊、三個角，至少需要幾個條件？

預設：至少需要三個條件.

一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.

設計意圖:強調余弦定理及其推論的使用條件，明確其能夠解決什么樣的數學問題，達到應用余弦定理及其推論的目的.

3.4 教學反思

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出，高中數學課程的基本理念是：學生發展為本，立德樹人，提升素養；優化課程結構，突出主線，精選內容；把握數學本質，啟發思考，改進教學；重視過程評價，聚焦素養提高質量.[4]

3.4.1 更新觀念，發揮數學學科的育人價值

基于以上案例，在數學課堂教學中，教師并不是簡單地將某個知識點講授給學生，而是引導學生通過對現實世界的觀察，學會數學地觀察、表達自己的思維.教師要讓學生去做課堂的主人，讓學生在課堂中去體會數學知識的發現、歸納、應用的過程，去探究知識的來龍去脈，改變以往唯知識、唯習題的課堂授課模式，發揮數學課堂鍛煉邏輯思維、感悟數學之美、培育嚴謹求實的科學態度的育人價值.

3.4.2 鉆研教材，進行深度學習的教學設計

為落實核心素養，進行深度教學，教師需要深入分析教材，研究本節課內容的特點、位置、地位、作用，本節課知識與前后知識的聯系、邏輯關系，建立嚴密的知識系統，保證數學的整體性、系統性，防止碎片化教學.在教學中，創設真實的問題情境，搭建對話交流的平臺，讓學生真正參與到課堂活動中來.

3.4.3 持續評價，激勵學生深度思考

在深度學習的課堂中全方位地把握“教育評價”.誠然，成績評價是教育評價的一部分，但是，教師在課堂教學中不能僅僅依靠成績評價.教師在課堂中的對話、提問、交流過程中，都可以及時對學生作出評價，實時激勵學生深度參與到課堂活動中來.這對增強學生學習數學的信心具有重要意義.