高超聲速圓柱繞流中駐點(diǎn)熱流的稀薄效應(yīng)*

李憲開(kāi)，張志雨，何淼生，朱斌鑌，柳 軍

(1. 國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073; 2. 沈陽(yáng)飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所揚(yáng)州協(xié)同創(chuàng)新研究院有限公司， 江蘇 揚(yáng)州 225000; 3. 上海交通大學(xué) 航空航天學(xué)院, 上海 200240)

臨近空間高超聲速飛行器氣動(dòng)設(shè)計(jì)需要準(zhǔn)確預(yù)測(cè)壁面熱流，工程經(jīng)驗(yàn)及理論公式在近連續(xù)流區(qū)內(nèi)逐漸失效[1-3]，數(shù)值模擬方法仍然是壁面熱流預(yù)測(cè)的主要工具。然而，當(dāng)來(lái)流克努森數(shù)(Kn)大于0.01時(shí)，即便是簡(jiǎn)單的高超聲速平板繞流問(wèn)題仍然因方法的不同而存在較大差異[3-4]。

對(duì)于稀薄高超聲速流場(chǎng)，直接模擬Monte Carlo(direct simulation Monte Carlo, DSMC)方法被認(rèn)為是最可能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)壁面熱流的方法[5]。該方法雖物理上滿(mǎn)足Boltzmann方程并對(duì)其進(jìn)行直接模擬[6]，但并不能直接給出稀薄流場(chǎng)熱流輸運(yùn)的數(shù)學(xué)方程。目前，基于宏觀方程的數(shù)值方法還無(wú)法在全流域范圍內(nèi)獲得與DSMC結(jié)果一致的熱流結(jié)果，這說(shuō)明高超聲速流動(dòng)駐點(diǎn)熱流輸運(yùn)中稀薄效應(yīng)的作用機(jī)制還不夠清楚。

從工程應(yīng)用的角度來(lái)看，納維-斯托克斯(Navier-Stokes，N-S)方程的應(yīng)用是最廣泛的，其對(duì)熱流模擬的基礎(chǔ)是Fourier熱傳導(dǎo)定律。但是，將其直接應(yīng)用于稀薄高超聲速流場(chǎng)會(huì)獲得偏高的熱流結(jié)果[2-3]，最直觀的原因是壁面速度滑移或溫度跳躍現(xiàn)象的出現(xiàn)，故而從20世紀(jì)80年代至今發(fā)展了諸多滑移或跳躍邊界條件來(lái)拓展N-S方程在稀薄流域的應(yīng)用[7-9]。Maccormack[7,9]等提出的通用型滑移或跳躍邊條可使N-S方程在Kn=0.25的高超聲速圓柱繞流計(jì)算中獲得與DSMC誤差不大于10%的駐點(diǎn)熱流結(jié)果，但二者的流場(chǎng)結(jié)果具有極大的差異[10-11]。近期研究表明[12-14]，對(duì)于簡(jiǎn)單的高超聲速圓柱繞流和平板繞流問(wèn)題，即使采用更趨近于真實(shí)物理的高階滑移或跳躍邊界條件、非平衡邊界條件也無(wú)法獲得與DSMC一致的壁面附近流場(chǎng)信息。

從氣體物理的角度來(lái)看，隨著Kn的增大，局部流場(chǎng)的分子速度分布不再滿(mǎn)足平衡態(tài)Maxwell分布，也不再滿(mǎn)足線(xiàn)性本構(gòu)關(guān)系和Fourier熱傳導(dǎo)關(guān)系。近年來(lái)，不少學(xué)者在拓展流體動(dòng)力學(xué)方程上做了大量的研究，以其準(zhǔn)確模擬稀薄流域流動(dòng)問(wèn)題，包括Eu-type方程[15-16]、Burnett-type方程[17]等。例如，Eu-type方程可以在Kn=0.25、Ma=10的圓柱繞流中獲得與DSMC誤差不大于10%的駐點(diǎn)熱流結(jié)果[15]。有趣的是，非線(xiàn)性駐點(diǎn)熱流輸運(yùn)的相關(guān)研究[1-2]表明：基于Burnett方程的二階熱流展開(kāi)項(xiàng)對(duì)非線(xiàn)性熱流的貢獻(xiàn)為正，即稀薄效應(yīng)下的高階熱流表達(dá)應(yīng)為Fourier熱流加上二階熱流項(xiàng)，然而卻發(fā)現(xiàn)DSMC結(jié)果低于N-S方程Fourier熱流，這一矛盾被歸因于展開(kāi)項(xiàng)系數(shù)的不確定性。

此外，對(duì)于稀薄高超聲速流場(chǎng)的解析還可以采用基于速度分布函數(shù)計(jì)算的氣體動(dòng)理學(xué)方法，包括氣體動(dòng)理論統(tǒng)一算法[18]、統(tǒng)一氣體動(dòng)理學(xué)格式[19]和多尺度粒子方法[20]等，這一類(lèi)多尺度方法的研究也是近十幾年來(lái)稀薄計(jì)算的熱點(diǎn)。值得一提的是，這一類(lèi)方法的發(fā)展通常采用DSMC方法結(jié)果作為驗(yàn)證的標(biāo)準(zhǔn)[5]，本文內(nèi)容屬機(jī)理討論，因此采用最可能準(zhǔn)確的DSMC方法開(kāi)展研究。

總結(jié)上述兩個(gè)角度的調(diào)研，我們不難發(fā)現(xiàn)熱流輸運(yùn)中的稀薄效應(yīng)表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是壁面速度滑移和溫度跳躍現(xiàn)象，使得真實(shí)熱流低于Fourier熱流[3,7-8]；二是非線(xiàn)性本構(gòu)關(guān)系和非線(xiàn)性熱傳導(dǎo)，雖基于Burnett方程展開(kāi)項(xiàng)分析獲得較Fourier熱流偏高的結(jié)果[2-3]，但諸多計(jì)算數(shù)據(jù)卻獲得非線(xiàn)性熱流低于Fourier熱流的觀點(diǎn)[2-3,10]。前述兩點(diǎn)稀薄效應(yīng)的描述均基于宏觀上的理解和認(rèn)識(shí)，在微觀層面上的理解較少，然而深入的理解對(duì)進(jìn)一步發(fā)展準(zhǔn)確的駐點(diǎn)熱流預(yù)測(cè)方法是至關(guān)重要的。因此，本文從Fourier熱傳導(dǎo)定律失效的觀點(diǎn)出發(fā)，基于DSMC方法對(duì)Kn為0.01～0.1、Ma為5～10的高超聲速圓柱繞流駐點(diǎn)熱流中的稀薄效應(yīng)進(jìn)行研究，旨在從微觀視角上給出連續(xù)方法高估駐點(diǎn)熱流的新理解。

1 問(wèn)題描述

研究對(duì)象為半徑R=0.152 4 m的二維高超聲速圓柱繞流，以文獻(xiàn)[3]中Kn=0.05的算例為參照，通過(guò)改變來(lái)流壓力實(shí)現(xiàn)Kn為0.01～0.1的變化范圍。研究的物理問(wèn)題如圖1所示，為規(guī)避熱力學(xué)非平衡帶來(lái)的影響，來(lái)流氣體選為氬氣(Ar)，相關(guān)的氣體參數(shù)如表1所示。

圖1 物理問(wèn)題示意Fig.1 Schematic diagram of physical problem

表1 氬氣相關(guān)氣體參數(shù)

本文計(jì)算的算例分為兩組，第一組為不同來(lái)流Kn的算例，該組中Case-1至Case-10的來(lái)流Kn從0.01等差增長(zhǎng)至0.1，公差為0.01；第二組為不同來(lái)流Ma的算例，該組中Case-1至Case-11的來(lái)流Ma從5等差增長(zhǎng)至10，公差為0.5。第一組算例中來(lái)流Ma固定為10，第二組算例中來(lái)流Kn固定為0.05。

2 方法介紹

采用DSMC方法開(kāi)展微觀視角下的數(shù)值研究工作，該方法是以唯象論為物理基礎(chǔ)，并借助以往稀薄氣體流動(dòng)的模擬經(jīng)驗(yàn)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)而發(fā)展起來(lái)的一種計(jì)算算法，由Bird教授于20世紀(jì)70年代提出[6]。DSMC方法并不是直接對(duì)Boltzmann方程進(jìn)行求解，而是從物理上模擬了一個(gè)與Boltzmann方程描述一致的氣體流動(dòng)過(guò)程。20世紀(jì)90年代，Wagner[21]證明了DSMC方法的控制方程實(shí)為Boltzmann方程，自此之后DSMC方法才在高超聲速領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。

DSMC方法的具體介紹本文不再贅述，詳細(xì)內(nèi)容可參考Bird的專(zhuān)業(yè)書(shū)籍[6]。本文中采用的分子模型為可變徑硬球(variable hard sphere, VHS)模型，氣-壁相互作用過(guò)程通過(guò)Maxwell模型實(shí)現(xiàn)完全漫反射的固定壁溫邊界條件。對(duì)于VHS模型，可根據(jù)Chapman-Enskog理論和分子動(dòng)力學(xué)理論獲得以下幾個(gè)平衡態(tài)參數(shù)的定義：

1)平衡態(tài)分子平均自由程為：

(1)

2)參考溫度下黏性系數(shù)可表述為：

(2)

3)黏性系數(shù)冪次關(guān)系式為：

(3)

4)熱傳導(dǎo)系數(shù)定義為：

(4)

式(1)～(4)中各參數(shù)的含義可參考Bird專(zhuān)業(yè)書(shū)籍[6]，這里不再贅述。

針對(duì)駐點(diǎn)熱流展開(kāi)討論，采用三種不同的熱流計(jì)算方式。第一種是DSMC壁面熱流微觀統(tǒng)計(jì)結(jié)果，下文中采用“DSMC_data”來(lái)表示。DSMC的壁面熱流需要統(tǒng)計(jì)所有撞擊壁面的模擬分子的能量，如式(5)所示。

(5)

式中：qDSMC_data為壁面熱流密度；treal為真實(shí)物理時(shí)間；A為單位面積；e是單子氣體分子能量，包括平動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)能和振動(dòng)能，上標(biāo)in和re分別代表了入射壁面和從壁面反射離開(kāi)的模擬分子。

此外，為對(duì)比連續(xù)方法和微觀粒子算法在熱流結(jié)果上的差異，還采用了Fay-Riddell關(guān)系式作為第二種熱流表達(dá)方式，下文用“F-R correlation”表示，該關(guān)系式可寫(xiě)成：

(6)

式中，各參數(shù)含義可參考文獻(xiàn)[22]，本節(jié)不再贅述。

第三種熱流表達(dá)方式耦合了DSMC流場(chǎng)計(jì)算結(jié)果和Fourier熱傳導(dǎo)定律，即基于DSMC流場(chǎng)溫度的Fourier熱流，下文用“DSMC_Fourier”來(lái)表示，具體表達(dá)式為：

(7)

式中：κ為熱傳導(dǎo)系數(shù)，可由式(4)求得；η為壁面法向方向。

最后，為使不同來(lái)流條件下的熱流具有可比性，采用來(lái)流參數(shù)對(duì)其進(jìn)行無(wú)量綱化：

(8)

3 結(jié)果與討論

3.1 不同稀薄效應(yīng)下駐點(diǎn)熱流規(guī)律

圖2所示為不同來(lái)流Kn下駐點(diǎn)熱流變化規(guī)律，橫坐標(biāo)為來(lái)流Kn的1/2次方，縱坐標(biāo)為熱流系數(shù)cq。其中：“F-R correlation”通過(guò)式(6)求得；“DSMC_data”為DSMC壁面熱流結(jié)果，由式(5)確定；“DSMC_Fourier”為基于DSMC流場(chǎng)溫度的Fourier熱流結(jié)果，由式(7)求得。此外，圖2中采用藍(lán)色十字圖標(biāo)標(biāo)出了文獻(xiàn)[3]中的無(wú)滑移N-S方程的結(jié)果，與紅色實(shí)線(xiàn)的匹配結(jié)果可驗(yàn)證本文F-R關(guān)系式的正確性。

圖2 不同表達(dá)方式駐點(diǎn)熱流隨來(lái)流Kn的變化規(guī)律Fig.2 Trend of stagnation point heat fluxes with different Kn

根據(jù)式(6)的推導(dǎo)，容易得到F-R關(guān)系式熱流結(jié)果與Kn1/2成正比，圖中“F-R correlation”曲線(xiàn)所示亦如此。黑色虛線(xiàn)所示的DSMC壁面熱流結(jié)果從Kn1/2>0.1(Kn>0.01)開(kāi)始逐漸偏離F-R關(guān)系式預(yù)測(cè)結(jié)果，偏離程度隨Kn增大而增大，并且不再保持與Kn1/2的線(xiàn)性關(guān)系。前述觀察到的現(xiàn)象具有共識(shí)性，基于對(duì)稀薄效應(yīng)的宏觀認(rèn)識(shí)(壁面滑移或跳躍現(xiàn)象)可以較好地理解。

有趣的是，黑色實(shí)線(xiàn)所描述的基于DSMC流場(chǎng)溫度的Fourier熱流結(jié)果“DSMC_Fourier”與DSMC壁面熱流結(jié)果存在差異。這意味著即便N-S方程等連續(xù)方法能夠借助于壁面滑移或跳躍邊界條件獲得與DSMC結(jié)果一致的宏觀流場(chǎng)，也不能得到準(zhǔn)確的壁面熱流結(jié)果。更詳細(xì)地，不同Kn下“DSMC_Fourier”駐點(diǎn)熱流較DSMC微觀統(tǒng)計(jì)結(jié)果高，且相對(duì)誤差隨著Kn的增加逐漸從20%減小至10%左右，這隱喻著Fourier熱傳導(dǎo)定律的失效。

通常，稀薄效應(yīng)由來(lái)流密度變小或研究對(duì)象變小所引起，可以理解為流場(chǎng)狀態(tài)的稀薄程度，如圖2所示的Kn變化。來(lái)流Ma增大，會(huì)使激波及壁面附近的梯度增大，進(jìn)而局部Kn隨之增大，可以理解為流動(dòng)的稀薄程度。圖3給出了不同來(lái)流Ma時(shí)，三種不同熱流表達(dá)方式下的駐點(diǎn)熱流變化規(guī)律?？梢钥吹?，由來(lái)流Ma引起的稀薄效應(yīng)增強(qiáng)同樣使得駐點(diǎn)熱流結(jié)果增大，但三種不同表達(dá)方式下的熱流增長(zhǎng)具有差異性。黑色虛線(xiàn)所示的DSMC壁面熱流結(jié)果均小于F-R關(guān)系式預(yù)測(cè)結(jié)果，且二者的差異隨來(lái)流Ma的增加而增大。此外，“DSMC_Fourier”所示的Fourier結(jié)果在當(dāng)前Ma范圍內(nèi)仍然高估駐點(diǎn)熱流，且相對(duì)誤差隨著Ma的增加逐漸從24%減小至12%左右。

圖3 不同表達(dá)方式駐點(diǎn)熱流隨來(lái)流Ma的變化規(guī)律Fig.3 Trend of stagnation point heat fluxes with different Ma

總結(jié)圖2與圖3所示的熱流差異規(guī)律，可以做如下理解：

1) F-R關(guān)系式等連續(xù)方法與DSMC微觀統(tǒng)計(jì)的駐點(diǎn)熱流之間的差異主要由溫度跳躍現(xiàn)象引起，這是稀薄效應(yīng)的第一種體現(xiàn)；

2) 基于DSMC宏觀溫度的Fourier熱流和DSMC微觀統(tǒng)計(jì)的駐點(diǎn)熱流之間的差異表明，F(xiàn)ourier熱傳導(dǎo)定律不再適用于稀薄高超聲速駐點(diǎn)熱流的預(yù)測(cè)，這是稀薄效應(yīng)的第二種體現(xiàn)。

上述兩點(diǎn)理解通過(guò)兩種宏觀現(xiàn)象闡述，還需要基于微觀視角進(jìn)行進(jìn)一步的解釋?zhuān)饕卮饍蓚€(gè)基礎(chǔ)問(wèn)題：一是溫度跳躍現(xiàn)象的微觀理解是什么？二是稀薄效應(yīng)下Fourier熱傳導(dǎo)定律的失效機(jī)制是什么？后續(xù)兩個(gè)小節(jié)將分別針對(duì)前述兩個(gè)基礎(chǔ)問(wèn)題展開(kāi)。

3.2 駐點(diǎn)溫度跳躍現(xiàn)象的微觀理解

通常認(rèn)為，F(xiàn)-R關(guān)系式及N-S方程等連續(xù)方法在稀薄條件下高估熱流的主要原因是未考慮壁面滑移或跳躍現(xiàn)象。如同設(shè)計(jì)溫度跳躍邊界條件一樣，這是基于宏觀的一種認(rèn)識(shí)，通常借助局部克努森數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)。局部克努森數(shù)可定義[8]為：

(9)

式中，Q是溫度、速度和壓強(qiáng)等流場(chǎng)宏觀參數(shù)，η為壁面法向方向。

此外，一種簡(jiǎn)單且常用的溫度跳躍邊界條件可以是Smoluchowski跳躍邊界條件[7,9]：

(10)

若采用溫度計(jì)算KnGLL并代入跳躍邊界條件，可以得到：

(11)

由于壁面附近溫度變化不算太大，式(11)中γ和Pr可作常數(shù)處理。因此可認(rèn)為在當(dāng)前計(jì)算范圍內(nèi)，式(11)所示的比值基本保持不變。

式(10)或式(11)為溫度跳躍的數(shù)學(xué)或宏觀表達(dá)式，為印證其合理性，統(tǒng)計(jì)了不同來(lái)流Kn和來(lái)流Ma下式(11)左側(cè)所示的比值變化規(guī)律，如圖4中帶三角符號(hào)的紅色直線(xiàn)所示。可以看到，該比值同Kn和Ma基本保持無(wú)關(guān)性，這表明在當(dāng)前考慮的稀薄效應(yīng)程度下，采用KnGLL衡量連續(xù)介質(zhì)假設(shè)失效下的溫度跳躍現(xiàn)象是合適的，文獻(xiàn)[10]也表明采用式(10)所示的溫度跳躍邊界條件可以在Ma=10、Kn=0.05條件下獲得與DSMC誤差不超過(guò)10%的駐點(diǎn)熱流結(jié)果。

(a) 來(lái)流Kn變化(a) Freestream Kn changes

在微觀層面，當(dāng)邊界層內(nèi)、外存在足夠大的溫差時(shí)可以認(rèn)為溫度跳躍現(xiàn)象必然存在。無(wú)論第一層網(wǎng)格多小，其內(nèi)所含模擬分子不可能全部由壁面反射分子組成，第一層網(wǎng)格的物理量變化更多地取決于其他網(wǎng)格和該網(wǎng)格之間的流通量。故而，第一層網(wǎng)格宏觀溫度必然大于壁面溫度，而這種跳躍溫差取決于分子間碰撞頻率的大小。當(dāng)流動(dòng)逐漸偏離平衡態(tài)時(shí)，分子間碰撞頻率會(huì)減小，可能入射的模擬分子群和壁面反射分子群之間的碰撞減少，導(dǎo)致壁面附近流體溫度越發(fā)高于壁面溫度，溫度跳躍現(xiàn)象增強(qiáng)?；谏鲜隼斫?，定義一個(gè)微觀統(tǒng)計(jì)量非平衡度Dn來(lái)表征當(dāng)?shù)亓鲌?chǎng)的非平衡度：

(12)

式中，νsimu為DSMC碰撞過(guò)程中實(shí)際的碰撞頻率，νtheo為VHS模型對(duì)應(yīng)的理論平衡態(tài)碰撞頻率。那么，Dn=0為平衡態(tài)，Dn>0或Dn<0為非平衡態(tài)。值得注意的是，采用的氬氣為單原子分子，因此這里的非平衡指的是分子速度分布偏離Maxwell平衡態(tài)分布，也可稱(chēng)為平動(dòng)非平衡。

為驗(yàn)證前述所提出的偏離非平衡態(tài)和溫度跳躍之間的關(guān)系，圖4中列出了不確定度Dn、溫度跳躍Tj和來(lái)流Kn、來(lái)流Ma之間的關(guān)系。為保證Dn和Tj在同一坐標(biāo)中具有可比性，圖中藍(lán)色虛線(xiàn)所示為溫度跳躍的萬(wàn)分之一倍(Tj/104)。從圖4中不難發(fā)現(xiàn)，Dn和Tj均與Kn和Ma呈一次線(xiàn)性正相關(guān)關(guān)系。此外，圖中Dn與Tj曲線(xiàn)的斜率是十分接近的，可認(rèn)為非平衡度在一定程度上可以用于描述溫度跳躍的大小，這也表明了溫度跳躍現(xiàn)象在微觀層面上是由流動(dòng)偏離平衡態(tài)所引起。

3.3 Fourier熱傳導(dǎo)定律的失效機(jī)制

回顧圖2和圖3中所示的熱流規(guī)律可知，基于DSMC流場(chǎng)溫度的Fourier熱流結(jié)果與DSMC壁面熱流仍然存在差異，這表明稀薄效應(yīng)增強(qiáng)時(shí)，采用Fourier定律描述沿駐點(diǎn)線(xiàn)的熱流輸運(yùn)是不合適的。通常認(rèn)為該問(wèn)題由線(xiàn)性本構(gòu)關(guān)系失效導(dǎo)致，進(jìn)而發(fā)展了諸多高階熱流關(guān)系式來(lái)解決該問(wèn)題。然而，類(lèi)如Wang、Singh等的研究工作表明二階熱流項(xiàng)的貢獻(xiàn)為正[1-2]，體現(xiàn)在壁面熱流上應(yīng)該獲得較Fourier熱流更大的結(jié)果，但數(shù)值結(jié)果獲得相反的結(jié)論。

本節(jié)通過(guò)對(duì)比DSMC和基于DSMC流場(chǎng)溫度的Fourier表達(dá)沿駐點(diǎn)線(xiàn)的熱流結(jié)果，嘗試給出線(xiàn)性Fourier熱傳導(dǎo)定律的微觀失效機(jī)制。圖5所示為Kn=0.01、Ma=10的高超聲速圓柱繞流駐點(diǎn)線(xiàn)熱流輸運(yùn)結(jié)果，其中“DSMC_Fourier”為基于DSMC流場(chǎng)溫度的Fourier熱流，由式(7)計(jì)算求得；“DSMC_data”為DSMC微觀統(tǒng)計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)網(wǎng)格內(nèi)模擬分子的能量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)而寫(xiě)成熱流通量的形式[23]。

(13)

式中：c為矢量熱運(yùn)動(dòng)速度；int為單個(gè)氣體分子的內(nèi)能，包括轉(zhuǎn)動(dòng)能及振動(dòng)能。當(dāng)氣體為單原子時(shí)，略去式(13)第二項(xiàng)。

圖5 駐點(diǎn)線(xiàn)熱流輸運(yùn)及非平衡度變化趨勢(shì)Fig.5 Variation of the heat transfer and non-equilibrium degree along the stagnation streamline

根據(jù)熱運(yùn)動(dòng)速度分解，可寫(xiě)出x方向上的熱流通量表達(dá)式[23]：

(14)

此外，由于速度分布偏離平衡態(tài)分布是線(xiàn)性本構(gòu)關(guān)系不再成立的內(nèi)在原因，因此圖5中還給出了沿駐點(diǎn)線(xiàn)的非平衡度Dn的變化趨勢(shì)，如圖中藍(lán)色曲線(xiàn)所示。

圖5中，綠色實(shí)線(xiàn)所示的“DSMC_Fourier”線(xiàn)性熱流輸運(yùn)在激波內(nèi)和壁面附近與DSMC微觀統(tǒng)計(jì)結(jié)果存在明顯差異。另外，藍(lán)色曲線(xiàn)所示的非平衡度在激波和壁面附近均大于零(分子速度分布偏離平衡態(tài))，可認(rèn)為局部稀薄誘導(dǎo)的非平衡效應(yīng)是Fourier熱傳導(dǎo)定律不再適用的本質(zhì)原因。更詳細(xì)地，線(xiàn)性Fourier表達(dá)在激波內(nèi)低估傳熱，在壁面附近高估傳熱。激波內(nèi)大梯度引起的偏離平衡態(tài)分布和壁面附近大梯度引起的偏離平衡態(tài)分布在分布形式上是不同的，盡管兩種偏離均引起碰撞頻率的減小，但最終引起的線(xiàn)性熱傳導(dǎo)失效是不同的。另外，還可以觀察到一個(gè)有趣的現(xiàn)象：非平衡度的峰值并沒(méi)有對(duì)應(yīng)著熱流最大的位置，而是比較靠近激波的前邊界，也許這也是諸多可計(jì)算氣體動(dòng)理學(xué)方法在激波前緣位置與DSMC結(jié)果吻合不太好的緣故。

圖5右上角的紅色實(shí)心圓點(diǎn)為DSMC駐點(diǎn)熱流結(jié)果，該結(jié)果高于壁面第一層網(wǎng)格內(nèi)的DSMC微觀統(tǒng)計(jì)熱流。對(duì)比了所有算例的第一層網(wǎng)格熱流和駐點(diǎn)熱流，結(jié)果表明：駐點(diǎn)處第一層網(wǎng)格熱流均小于駐點(diǎn)熱流。并且，該差異隨Kn和Ma的增大而增大，在本文計(jì)算的最小Kn和最小Ma條件下，二者是十分接近的。第一層網(wǎng)格熱流和壁面熱流之間的差異正是溫度跳躍存在的一種證明。

此外，綠色曲線(xiàn)所示的“DSMC_Fourier”熱流輸運(yùn)在靠近壁面幾層網(wǎng)格內(nèi)出現(xiàn)了突增的現(xiàn)象，本文所計(jì)算的算例均出現(xiàn)了不同程度的Fourier熱流突增現(xiàn)象，并且這種突增現(xiàn)象均發(fā)生在距離壁面約3倍當(dāng)?shù)胤肿悠骄杂沙痰目臻g內(nèi)。正好，根據(jù)Maxwell速度分布可知，在一個(gè)平均碰撞時(shí)間內(nèi)95%以上的分子可自由移動(dòng)的距離均在3倍分子平均自由程內(nèi)。同理，從壁面反射的分子在無(wú)分子間碰撞的條件下可自由移動(dòng)的距離基本上均小于3倍分子平均自由程，即壁面反射分子直接影響流場(chǎng)的作用范圍約為3倍分子平均自由程。因此，將觀察到的Fourier熱流突增現(xiàn)象解釋為壁面約束效應(yīng)，這和文獻(xiàn)[24]中觀察到的近壁面分子平均自由程變化規(guī)律在物理上是相通的。

為量化前述壁面約束效應(yīng)，表2列出了各算例條件下的Fourier熱流突增的強(qiáng)度，表中的數(shù)值為近壁面3倍分子平均自由程范圍內(nèi)的Fourier熱流最大值和最小值之比。從表2中可看到，量化Fourier熱流壁面約束效應(yīng)的比值隨Kn的增大而減小，也隨Ma的增大而減小。因此，來(lái)流Kn和Ma的增大均使得Fourier熱流突增減弱?；仡檲D5中“DSMC_Fourier”曲線(xiàn)，壁面附近平動(dòng)非平衡效應(yīng)使Fourier表達(dá)高估熱流，壁面約束效應(yīng)同樣使Fourier表達(dá)高估熱流。圖4和表2表明，壁面附近平動(dòng)非平衡度隨Kn、Ma增加而增加，壁面約束效應(yīng)隨Kn、Ma增加而減弱。二者共同作用下，F(xiàn)ourier表達(dá)下的駐點(diǎn)熱流高于DSMC結(jié)果，且相對(duì)偏差隨Kn、Ma增加而減小，從而可認(rèn)為壁面約束效應(yīng)對(duì)Fourier熱傳導(dǎo)失效的貢獻(xiàn)更大。

表2 壁面約束效應(yīng)下Fourier熱流突增強(qiáng)度規(guī)律

由于DSMC方法的特點(diǎn)是隨機(jī)，雖獲得了流場(chǎng)的非平衡度描述，但無(wú)法確定哪些模擬分子代表非平衡態(tài)，哪些模擬分子代表平衡態(tài)。也正由于模擬分子的隨機(jī)碰撞和自由移動(dòng)，可在統(tǒng)計(jì)壁面熱流時(shí)以非平衡度的大小按概率統(tǒng)計(jì)平衡態(tài)熱流和非平衡態(tài)熱流。若非平衡度為0.1，那么與壁面發(fā)生碰撞的模擬分子有10%的能量交換統(tǒng)計(jì)為非平衡態(tài)熱流，剩余90%的能量交換統(tǒng)計(jì)為平衡態(tài)熱流。

圖6 非平衡態(tài)熱流隨來(lái)流Kn、Ma的變化規(guī)律Fig.6 Variation of the nonequilibrium heat flux with respect to the freestream Kn and Ma

基于上述觀點(diǎn)，可獲得如圖6所示的非平衡態(tài)熱流隨Kn和Ma的變化規(guī)律，且容易看到：非平衡態(tài)熱流與Kn和Ma均呈現(xiàn)出線(xiàn)性正相關(guān)關(guān)系。同時(shí)，由于Kn為零時(shí)，流動(dòng)處于平衡態(tài)，此時(shí)非平衡態(tài)熱流也應(yīng)為零，因此可以認(rèn)為非平衡態(tài)熱流與Kn成正比。

4 結(jié)論

針對(duì)工程上關(guān)心的稀薄高超聲速駐點(diǎn)熱流預(yù)測(cè)中存在的方法適用性問(wèn)題，采用Fay-Riddell關(guān)系式、DSMC方法和基于DSMC流場(chǎng)溫度的Fourier傳熱三種熱流表達(dá)方式，對(duì)不同來(lái)流Kn和Ma的高超聲速圓柱繞流駐點(diǎn)熱流規(guī)律及差異開(kāi)展了研究，針對(duì)經(jīng)典連續(xù)方法在稀薄流區(qū)高估駐點(diǎn)熱流的現(xiàn)象給出了如下幾點(diǎn)理解：

1) 基于微觀統(tǒng)計(jì)的非平衡度參數(shù)Dn和壁面溫度跳躍Tj均與Kn、Ma呈線(xiàn)性正相關(guān)關(guān)系且斜率接近，Dn所描述的平動(dòng)非平衡正是溫度跳躍現(xiàn)象在微觀層面上的誘因。溫度跳躍會(huì)削弱溫度梯度導(dǎo)致熱流降低，從而無(wú)滑移連續(xù)方法會(huì)高估駐點(diǎn)熱流。

2) 流場(chǎng)局部稀薄效應(yīng)使得壁面附近分子速度分布偏離平衡態(tài)，線(xiàn)性本構(gòu)關(guān)系不再保持，F(xiàn)ourier熱傳導(dǎo)定律失效且高估熱流，從而基于DSMC流場(chǎng)溫度的Fourier熱流高估駐點(diǎn)熱流。

3) 受到壁面反射分子的影響，基于DSMC流場(chǎng)溫度的Fourier熱流在壁面附近約3倍分子平均自由程內(nèi)高估熱流，稱(chēng)之為壁面約束效應(yīng)，這也是Fourier熱傳導(dǎo)定律失效且高估駐點(diǎn)熱流的第二種體現(xiàn)。