簡諧激勵下黏彈性非線性能量阱的研究1)

范舒銅 申永軍,?,

* (石家莊鐵道大學機械工程學院,石家莊 050043)

? (省部共建交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室,石家莊 050043)

引言

黏彈性材料是一種既具有黏性又具有彈性的材料,能在很寬的頻帶內實現良好的減振降噪性能且不易老化[1-2].黏彈性材料由于良好的耗能特性被廣泛應用于航空[3-4]、土木[5-6]、機械[7-8]等領域,具有良好的減振效果和應用前景.為了更好地研究黏彈性材料的動態力學行為,學者們將其簡化成本構模型進行表征[9].其中,Kelvin 模型和Maxwell 模型是兩種典型的模型.在實際工程中阻尼元件本身具有一定的彈性或者彈性元件本身具有一定的黏性,故Maxwell 模型更能代表工程實踐中的黏彈性材料[10].文獻[11-12]將黏彈性Maxwell 器件引入到動力吸振器中,發現具有結構簡單的特點并且可有效地降低振動幅值,拓寬減振頻帶.文獻[13]研究了單自由度系統強迫振動下Kelvin 模型和Maxwell 模型的系統響應,發現在偏心質量和支承運動引起的強迫振動情況下Maxwell 模型在小阻尼時振動控制效果遠優于Kelvin 模型.Dai 等[14]將Maxwell 型動力吸振器用于橋梁渦旋減振的優化設計中,發現控制效果較好且靜態拉伸較小.范舒銅等[15-16]利用推廣多尺度法和Melnikov 方法對含黏彈性Maxwell 器件的非線性動力系統進行了近似求解,并研究了該系統進入Smale 馬蹄意義下混沌的必要條件.

對于結構系統的振動控制,動力吸振器發揮著重要的作用,但是線性吸振器只能在較窄的頻帶實現較優的減振性能.為了解決線性吸振存在的缺陷,Roberson[17]將非線性剛度用于動力吸振器的設計中,發現增大了動力吸振器的吸振頻帶并提高了動力吸振器的魯棒性.之后,Vakakis 等[18-19]提出了由線性阻尼、非線性剛度和質量塊組成的非線性能量阱(nonlinear energy sink,NES),可將振動能量從主結構不可逆地傳遞至耗能元件.文獻[20-21]研究發現NES 能夠在較寬的頻帶范圍內顯著地耗散振動能量進而有效抑制主系統的振動.

由于非線性能量阱優良的減振性能和高效的減振效率,學者們提出各種類型的NES 模型.文獻[22]建立沖擊減振器與非線性能量阱耦合的新型吸振模型并分析系統參數對吸振效果的影響.文獻[23-24]將杠桿結構應用于NES 中,發現在同等質量及非線性剛度下,杠桿型NES 比傳統NES 吸振性能更優越.文獻[25-26] 提出新型的慣性式NES,發現慣容存在最佳取值范圍且慣性式NES 比傳統NES 具有更小的附加質量和更好的減振性能.另外,文獻[27-28]在理論和實驗研究的基礎上分別提出了分段線性剛度NES 和封裝的非線性能量匯(E-NES)增強了振動抑制效果.文獻[29]提出的振動碰撞雙穩態NES 在雙穩態和雙邊剛性約束的雙重影響下具有很高的減振效率.由于非線性項的引入,系統出現的復雜動力學行為也受到學者的關注.譚平等[30]利用復變量平均法推導了基底簡諧激勵下NES 系統的慢變微分方程,并用多尺度分析了系統的鞍結分岔邊界條件及Hopf 分岔邊界條件.李爽等[31]研究了簡諧激勵幅值變化對非線性能量阱系統全局分岔特性的影響.文獻[32]采用諧波平衡法分析周期穩態響應的幅頻響應曲線并且研究具有非線性能量匯耦合系統的復雜非線性動力學行為.

NES 作為一種被動阻尼技術,在工程實踐也得到了廣泛的應用.Zhou 等[33]將NES 用于超音速氣流中層壓復合材料板,有效抑制了非線性氣動彈性響應.劉中坡等[34]將軌道型NES 用于高層結構脈動風振,發現NES 可以同時減小結構多個模態的振動從而提高風載荷下高層建筑的安全性.甄冬等[35]將立方剛度NES 和負剛度NES 用于抑制汽車車身垂向振動有效減小車身在其固有頻率處的振動.Chen等[36]將非線性能量阱用于圓筒結構中抑制其渦激振動,從而有效降低順流和橫流方向的振幅.Huang等[37]研究帶有非線性能量阱的基礎激勵黏彈性隔振系統的動態響應,并基于減振準則和更寬的穩定范圍對一次系統和非線性能量阱的最佳參數進行了調整.

目前,不同類型的非線性能量阱模型得到廣泛研究.但是,作者尚未發現有研究將黏彈性Maxwell器件引入到非線性能量阱中并對該系統的減振性能進行詳細分析.黏彈性材料兼具黏性和彈性,除了良好的減振降噪和耗能特性,還容易構造可用于復雜尺寸和形狀的結構.基于黏彈性材料上述優良特性,本文以黏彈性NES 為研究對象,采用諧波平衡法求解系統的幅頻響應曲線并采用數值方法進行驗證.與傳統NES 相比,合理選擇黏彈性NES 參數可以實現較優的減振效果,即共振幅值降低,減振頻帶拓寬.進一步還分析了參數對主系統響應的影響以及不同質量比下黏彈性NES 參數的最佳取值范圍.

1 黏彈性非線性能量阱模型

將黏彈性Maxwell 器件代替傳統非線性能量阱的阻尼,提出一種新型的非線性能量阱,如圖1 所示.其中,m1為主系統的質量,k1為主系統主彈簧的線性剛度系數,c1為主系統的阻尼系數,k2為黏彈性NES 的非線性立方剛度系數,c2和k3分別為黏彈性Maxwell 器件的阻尼系數和剛度系數,F和ω分別為外激勵的幅值和頻率.

圖1 非線性能量阱模型Fig.1 Mechanical model of nonlinear energy sink

根據牛頓第二定律得到系統的動力學方程為

引入變換

2 諧波平衡法求解和數值驗證

為了進一步觀察系統響應隨參數的變化和黏彈性NES 的減振性能,本節運用諧波平衡法求解系統的幅頻響應曲線.基于諧波平衡法求解方程(2)的振動響應,可以近似為一組有限諧波的疊加,即

其中,a1j和b1j(j=1,2,3)為待確定的諧波系數.

將式(3)代入式(2)中,忽略高階項,平衡cos(γτ)和 sin(γτ) 的系數,得到一組非線性代數方程為

故系統的幅頻響應為

從式(4)可以看出,振幅之間存在非線性耦合,很難獲得解析解,故利用MATLAB 中fsolve 命令對非線性方程組(4)進行數值求解.

利用MATLAB 中的Runge-Kutta 數值方法驗證諧波平衡法求解的正確性.取系統參數m1=4 kg,m2=0.4 kg,c1=5 N·s/m,c2=5 N·s/m,k1=1×104N/m,k2=1×105N/m3,k3=1×103N/m,F=20 N,即μ=0.1,α1=10 m-2,α2=0.1,λ1=0.012 5,λ2=0.012 5,f=0.002,得到主系統和黏彈性NES 的幅頻響應曲線,如圖2 所示.從圖2 可以看出,無論是主系統響應還是NES響應,數值方法和諧波平衡法得到的結果吻合良好,驗證了解析解的正確性.

圖2 系統幅頻響應曲線對比Fig.2 Comparison of the amplitude-frequency response curves

3 黏彈性NES 減振性能分析

黏彈性NES 是用黏彈性Maxwell 器件替換傳統NES 中的阻尼元件,故本節主要分析黏彈性NES的減振性能和參數對主系統響應的影響.

3.1 非線性剛度比的分析

對于一個線性振子質量m1=4 kg、線性剛度k1=1×104N/m 以及阻尼c1=5 N·s/m,根據參考文獻[27]可知傳統NES 參數取m2=0.4 kg、非線性立方剛度k2=1×105N/m3、阻尼c2=5 N·s/m 時能促進傳統NES 的阻尼效應并使系統具有良好的魯棒性.基于文獻[27]的結論,黏彈性NES 參數取m2=0.4 kg,c2=5 N·s/m,k3=1×103N/m,即μ=0.1,λ2=0.012 5,α2=0.1,分別繪制不同外部激勵下非線性剛度k2取1×103N/m3,1×105N/m3和1×107N/m3時主系統的幅頻響應曲線以及傳統非線性能量阱k2取1×105N/m3時主系統的響應如圖3 所示,其中,CNES 為傳統非線性能量阱的簡稱.從圖3 可以看出,本文提出的黏彈性NES 的非線性剛度k2=1×105N/m3即α1=10 m-2時,主系統具有良好的魯棒性且共振幅值隨著非線性剛度的增加出現先減小后增大的現象.進一步發現,當非線性剛度k2=1×105N/m3且阻尼比λ2較小時,不同激勵下黏彈性NES 減振性能略優于傳統NES.

圖3 不同F 和k2 下主系統幅頻響應曲線Fig.3 The amplitude-frequency response curves of the primary system under different F and k2

因此,黏彈性NES 的非線性剛度比α1取10 m-2進行下面的分析.

3.2 線性剛度比分析

根據3.1 的分析,選取系統參數μ=0.1,α1=10 m-2,λ1=0.012 5,f=0.002,在不同線性剛度比α2和阻尼比λ2下可得到一系列的幅頻響應曲線,提取其最大幅值A并觀察其變化趨勢如圖4 所示,其中CNES 代表傳統NES,VNES 代表本文所提出的黏彈性NES.根據圖4 發現,黏彈性NES 在大部分設計參數下比傳統NES 減振效果更佳.

圖4 最大幅值隨剛度比α2 的變化Fig.4 Variation of the maximum-amplitude with stiffness ratio α2

為了進一步觀察主系統的振動趨勢,繪制了λ2取0.025 和0.075 時不同剛度比α2下的幅頻響應曲線如圖5 所示,其中CNES 代表傳統NES.根據圖5可知,當線性剛度比α2取0.1 時,主系統的振動幅值最小,減振頻帶最寬.并且從圖4 和圖5 發現,隨著線性剛度比α2的增加,主系統峰值的總體趨勢先減小接著增大最后幾乎保持不變.當阻尼比λ2小于0.2時,較小剛度比α2會讓黏彈性NES 的吸振能力弱于傳統NES;而不管λ2取何值時,α2增加到一定程度,黏彈性NES 的減振性能與傳統NES 的減振性能相近.

圖5 不同α2 和λ2 下的主系統幅頻響應曲線Fig.5 The amplitude-frequency response curves of the primary system under different α2 and λ2

總之,對于不同的阻尼比,主系統在α2=0.1 附近的振動幅值最小,故取α2=0.1.

3.3 阻尼比的分析

此時,選取系統參數μ=0.1,α1=10 m-2,α2=0.1,λ1=0.012 5,f=0.002,主系統隨λ2變化的幅頻響應曲線的三維圖和二維等高線圖如圖6 所示.從圖6可知,隨著λ2的增大,主系統的響應從單峰向雙峰變化且共振區域的幅值先降低然后上升,故存在一個最優的阻尼比λ2使主系統的共振幅值最小.圖7分析了傳統NES (CNES)和黏彈性NES (VNES)隨著λ2變化幅頻響應曲線最大幅值A的變化趨勢.從圖7 可以觀察出,兩種NES 均可以減小主系統的共振峰值,而黏彈性NES 的減振性能比傳統NES 更優.在一定的阻尼比范圍內,隨著阻尼比λ2的增大,兩種NES 的減振效果相差越多.圖8 為黏彈性NES在不同阻尼比λ2下的幅頻響應曲線.根據圖7 和圖8可發現,黏彈性NES 的共振幅值隨著阻尼比的增大先減小后增大,在λ2取0.112 5 時共振峰值達到最小.

圖6 主系統幅頻響應曲線隨λ2 的變化Fig.6 The amplitude-frequency response curves of the primary system with λ2

圖7 最大幅值隨λ2 的變化Fig.7 Variation of the maximum-amplitude with λ2

圖8 不同λ2 下黏彈性NES 的幅頻響應曲線Fig.8 The Amplitude-frequency response curves of viscoelastic NES under λ2

為了更好地分析兩種NES 減振性能,繪制了不同阻尼比下兩種NES 的幅頻響應曲線如圖9 所示,其中CNES 代表傳統NES 和VNES 代表本文所提出的黏彈性NES.從圖9 可知,與傳統NES 相比,相同的阻尼比下黏彈性NES 不僅可使主系統的共振幅值更低而且減振頻帶更寬.可見恰當地選擇阻尼比可實現較為優越的減振效果.

圖9 不同λ2 下兩種NES 減振性能比較Fig.9 Comparison of damping performance of two NES under different λ2

圖9 不同λ2 下兩種NES 減振性能比較(續)Fig.9 Comparison of damping performance of two NES under different λ2 (continued)

4 黏彈性NES 參數的最佳取值范圍

由第3 節可知,黏彈性NES 參數對系統幅頻響應曲線的影響已經進行了分析.黏彈性NES 的線性剛度比α2和質量比μ為固定值,同時改變非線性剛度比α1和阻尼比λ2得到一組幅頻響應曲線,提取其最大幅值A觀察減振效果的變化,找到最佳取值范圍.

當質量比μ分別取0.025,0.05,0.1,0.15 時,α1和λ2同時變化,主系統最大響應幅值的變化趨勢如圖10～圖13 所示.顯然,不同的質量比下參數的最佳取值范圍是不同的,所能達到的減振效果也是有差異的.圖10 中黏彈性NES 參數在最佳取值范圍內主系統的最大振幅接近0.03.當質量比μ增加到0.05 時,最優區間內主系統的最大振幅降低到0.02,如圖11 所示.而根據圖12 和圖13,當質量比μ取0.1 和0.15 時,主系統的最大振幅約為0.01.此外,從圖10～圖13 發現,隨著質量比的增加,非線性剛度比和阻尼比的最佳取值范圍越大;且當非線性剛度比和阻尼比都取較小值或較大值時,減振效果均較差.

圖10 主系統的最大幅值隨著α1 和λ2 的變化(μ=0.025)Fig.10 The maximum-amplitude of the main system varying with α1 and λ2 (μ=0.025)

圖11 主系統的最大幅值隨著α1 和 λ2 的變化(μ=0.05)Fig.11 The maximum-amplitude of the main system varying with α1 and λ2 (μ=0.05)

圖12 主系統的最大幅值隨著α1 和 λ2 的變化(μ=0.1)Fig.12 The maximum-amplitude of the main system varying with α1 and λ2 (μ=0.1)

圖13 主系統的最大幅值隨著α1 和 λ2 的變化(μ=0.15)Fig.13 The maximum-amplitude of the main system varying with α1 and λ2 (μ=0.15)

總之,隨著質量比的增加,主系統最大振幅的最小值先降低最后趨于不變.但是,由于質量比過大會增加系統的負擔,故合適選擇黏彈性NES 質量及其他最佳參數可充分發揮黏彈性NES 的減振優勢.

5 結論

本文將黏彈性Maxwell 器件引入到非線性能量阱中,提出一種新型的黏彈性非線性能量阱并研究了其在簡諧激勵下的減振性能.采用諧波平衡法得到了系統的幅頻響應曲線,并利用MATLAB 中的Runge-Kutta 數值方法驗證了解析解的正確性.分析了系統參數對的減振性能的影響.還研究了不同質量比下非線性剛度比和阻尼比同時變化時,主系統最大幅值的變化趨勢,進而得到黏彈性NES 的最佳取值范圍.具體結論如下.

(1)合適地選擇黏彈性NES 的非線性剛度比可使主系統在不同激勵幅值下具有良好的魯棒性.隨著非線性剛度的增加,主系統的共振幅值先減小后增大;當非線性剛度相同、阻尼比較小時,不同激勵下黏彈性NES 減振性能略優于傳統NES.

(2) 與傳統非線性能量阱相比,當線性剛度比α2過小或過大,黏彈性材料都不能發揮其優良的減振特性.隨著阻尼比的增加,傳統NES 和黏彈性NES 均使主系統的共振幅值出現先減小后增大的趨勢,但在相同的阻尼下黏彈性NES 減振效果更優,即振動幅值減小量更大、減振頻帶更寬.

(3)隨著質量比的增加,主系統的最大振幅先降低后幾乎保持不變且非線性剛度比和阻尼比的最佳取值范圍增大.但質量比過大會增加系統的負擔,故適中的質量比及其他參數的恰當選擇會使黏彈性NES 的減振性能達到最優.

總之,黏彈性NES 參數的恰當選擇會實現優于傳統NES 的減振性能,這些結論為以后黏彈性NES 的實踐和應用提供了一定的理論依據.