基于胡聿賢譜的帶支撐廣義Maxwell 阻尼隔震結構隨機響應分析1)

2022-10-05 07:21:18鄒萬杰劉美華李創第葛新廣

力學學報 2022年9期

鄒萬杰劉美華李創第葛新廣

(廣西科技大學土木工程學院,廣西柳州 545006)

引言

減隔震聯用技術已廣泛應用于橋梁、鐵路、建筑結構等土木工程領域,隔震裝置可以延長結構自振周期,阻尼器消耗地震能量,在基礎隔震層設置阻尼器能抑制隔震層和上部結構可能發生的過大位移,有效減小建筑結構地震響應[1-3].黏彈性阻尼器耗能能力強,為了精確模擬黏彈性阻尼器的本構關系,國內外研究人員提出了各種黏彈性阻尼器力學模型,包括Maxwell 模型[4]、一般積分模型[5]、分數導數模型[6-7]、廣義Maxwell 模型[8]等.其中廣義Maxwell 模型由多個Maxwell 單元和一個彈簧單元并聯組成,各Maxwell 單元有不同的彈簧模量和黏壺黏度,因而具有不同的松弛時間,能更完善地模擬黏彈性阻尼器的力學松弛行為[9-10].阻尼器常通過消能支撐連接于建筑結構,支撐是保證結構有效耗能的重要構件,當地震作用時,阻尼器和支撐都能起到消能減震作用[11-13].

地震地面運動具有隨機性,時域法和頻域法是目前求解隨機地震響應的兩種主要方法[14-16].當地震動功率譜根據Fourier 變換轉化為其相應協方差函數表示時,用時域法分析有時更容易獲得隨機地震響應的解.在工程中常用的地震動隨機激勵模型中,白噪聲模型由于在數學上的簡單性,更容易獲得協方差函數[17],白噪聲模型假設在整個地震過程中地震動各頻率成分強度是恒定的,并不能準確反映地震動的頻譜特征.Kanai-Tajimi 模型過分夸大低頻地震動能量,不適用于低頻結構的隨機地震響應分析.胡聿賢模型[18]通過引入低頻減量參數,將Kanai-Tajimi 譜的特低頻部分進行合理弱化處理,從而使功率譜密度函數在零頻處不再有奇異點,且滿足連續兩次可積的條件,保證了導出的地面速度方差和地面位移方差有界,因此,采用胡聿賢模型模擬隨機地震作用更具有合理性.胡聿賢模型協方差函數比較復雜,但可通過濾波方程將胡聿賢譜激勵等效轉化為白噪聲激勵求解地震響應,從而解決胡聿賢模型直接用于時域分析難于求解的問題,再由Dirac 函數的性質,應用時域法分析基于白噪聲激勵的動力響應將得到極大簡化[19-20].

復模態法是常用的時域分析方法,復模態法可以將系統精確解耦為獨立的復模態變量方程[21-23],虛擬激勵法和傳遞函數法是頻域分析的兩種代表性方法.虛擬激勵法計算結構響應需對功率譜從零到無窮大范圍內進行積分[24-25],傳遞函數法利用拉普拉斯變換,獲得結構特征值與特征向量,從而在非擴階系統中得到瞬態響應的解析解[26].譜矩和方差是結構抗震設計的重要參數[27-29],利用復模態法求解結構地震響應需要擴階,擴階之后會因變量個數劇增而使計算效率變低,虛擬激勵法和傳遞函數法計算得到的譜矩表達式含積分項,需逐步積分計算確定譜矩值,會因積分步長和積分區間選擇不唯一導致計算結果具有不確定性,從而會影響計算精度.

為此,本文為了同時提高在胡聿賢譜激勵下帶支撐廣義Maxwell 阻尼隔震結構動力響應分析的精度與效率,基于復模態法的精確性,并且兼顧擴階之后的計算效率,通過重構結構運動方程,再運用復模態法解耦該聯立方程,最后通過簡化系統響應協方差表達式,得到系統響應功率譜和譜矩表達式,從而提出了一種擴階之后簡明的結構響應解析分析方法.與虛擬激勵法結果進行對比,驗證了系統響應功率譜和0～2 階譜矩的正確性.

1 隔震系統的運動方程

1.1 結構運動方程

設上部n層結構的質量、剛度、阻尼矩陣分別為M,K,C,每層層間質量、剛度、阻尼分別為mi,ki,ci(i=1,2,···,n);隔震層的質量、剛度、阻尼分別為mb,kb,cb;隔震層設置帶支撐廣義Maxwell 阻尼器PG(t),隔震層相對地面位移為xb,上部結構相對隔震層的位移為x.在隨機地震激勵x¨g(t) 作用下,基礎耗能隔震結構力學模型如圖1 所示,上部結構與隔震層的運動方程分別為

圖1 基礎耗能隔震結構力學模型Fig.1 Mechanical model of base energy dissipation isolated structure

1.2 帶支撐廣義Maxwell 阻尼器等效本構關系

廣義Maxwell 阻尼器由一個線性彈簧單元和多個Maxwell 阻尼單元并聯組成,該模型參數足夠多,對黏彈性阻尼器本構關系試驗擬合精度高.廣義Maxwell 阻尼器與支撐串聯設置在隔震層,將整體串聯系統作為等效阻尼器,以考慮支撐剛度對結構響應的影響,帶支撐廣義Maxwell 阻尼器力學模型如圖2 所示.由于阻尼器與支撐串聯連接,故支撐受力Pd(t)、廣義Maxwell 阻尼器受力PQ(t)[8]與等效阻尼器受力PG(t) 三者相等,力的平衡關系為

圖2 帶支撐廣義Maxwell 阻尼器力學模型Fig.2 Mechanical model of generalized Maxwell damper with braces

式中,kd和k0分別為支撐剛度和廣義Maxwell 阻尼器平衡剛度;xd和xQ分別為支撐位移和廣義Maxwell 阻尼器位移;pj為第j個Maxwell 阻尼單元的阻尼力;j=1,2,···,r,r為廣義Maxwell 阻尼器中標準Maxwell 阻尼單元的個數.

阻尼器位移xQ與隔震層位移xb和支撐位移xd之間滿足如下關系

由式(3)、式(5)和式(6),得阻尼器位移為

將式(7)代入式(4),得等效阻尼器受力PG(t) 為

將式(8)代入式(7),阻尼器位移xQ可改寫為

廣義Maxwell 阻尼器中,各Maxwell 阻尼單元微分本構關系為[8]

將式(10)代入式(11),將式(11)改寫為

為了便于后續復模態擴階,將式(12)寫成矩陣形式

將式(13)進一步簡寫為

1.3 重構運動方程

胡聿賢譜在零頻處不存在奇異點,因此,導出的地面均方速度和均方位移有界,胡聿賢譜濾波方程描述如下[18]

式中,為基巖運動的絕對加速度分別為地面相對基巖運動的加速度、速度和位移; ξg和ωg分別為基巖以上場地土的阻尼比和卓越頻率;μ為中間變量為對 μ 求三次導數; ωc 為低頻截止頻率; w(t) 為白噪聲隨機過程.根據式(15),將原上部結構運動方程式(1)改寫為式(16);根據式(8)和式(15),將原隔震層運動方程式(2)改寫為式(17)

式中,I1=[1,1,···,1]1×r.

引入狀態變量

聯立阻尼器微分本構方程式(14),胡聿賢譜濾波方程式(15)、結構運動方程式(16)和式(17),得到非經典阻尼系統

式中,o1為元素均為 0 的n×1 階向量;o2為元素均為0的n×n階矩陣;o3為元素均為 0 的n×r階矩陣;o4為元素均為 0 的r×1 階向量;E為n階單位矩陣;N=2n+r+7,N為矩陣M0和K0的階數,n為樓層總數,r為標準Maxwell 阻尼單元的個數.

2 系統響應的Duhamel 積分表達式

采用復模態法求解式(19),矩陣M0和K0可由右特征向量矩陣U和左特征向量矩陣V對角化,系統的特征值構成一個對角矩陣q,q滿足關系

式中,z為廣義復模態變量.

將方程(19)化為如下形式

式中,η=(VTM0U)-1VTγ.

由于q為對角矩陣,且z中的元素相互獨立,式(22)可以寫為具有獨立復模態變量的一階方程分量形式

式中,zk,qk和 ηk分別為z,q和 η 的第k個分量.

已經通過濾波方程式(15)將胡聿賢譜激勵等效轉化為基于白噪聲激勵來表示,由于白噪聲激勵功率譜表達式簡單,更容易獲得協方差函數,當地震動激勵相關函數可以用解析函數表示時,用Duhamel積分法求解更易于得到系統動力響應的解析解.因此,用Duhamel 積分法求解式(23),式(23)的Duhamel積分表達式為

根據式(18)、式(21)和式(24),通過狀態變量y中不同行對應的響應模態uj,可求得上部結構、隔震層、阻尼器以及支撐系列響應的Duhamel 積分表達式,如式(25)～式(35)和式(37)～式(39)所示.

上部結構第i層相對于隔震層的位移xi和速度x˙i的Duhamel 積分表達式為

式中,ul(l=n+3+i,1+i)為右特征向量矩陣U的第l行向量; λl.k為系統響應的模態強度系數,λl,k=ul,kηk;i=1,2,···,n,n為上部結構的樓層總數.

隔震層相對于地面的位移xb和速度的Duhamel積分表達式為

上部結構第i層的層間位移 Δxi和層間速度Δx˙i的Duhamel 積分表達式為

上部結構第i層的層間位移角 θi和層間位移角變化率的Duhamel 積分表達式為

式中,hi為結構第i層的樓層高度.

由式(8),等效阻尼器阻尼力PG的Duhamel 積分表達式為

由式(3)、式(5) 和式(33),支撐位移xd的Duhamel 積分表達式為

將式(27)和式(34)代入式(6),得阻尼器位移xQ的Duhamel 積分表達式為

將式(11)代入式(10),阻尼器位移變化率可表示為

將式(36)寫成Duhamel 積分形式

由式(6)、式(28)和式(37),支撐位移變化率的Duhamel 積分表達式為

由式(3)、式(5)和式(38),阻尼力變化率的Duhamel 積分表達式為

上述系列響應式(25)～式(35)及式(37)～式(39)均為Duhamel 積分形式,僅各個響應模態強度系數不同,故將它們寫成統一表達式

式中,Xk(t) 為X(t) 的響應分量,其表達式為

式中,βk為系統響應X(t) 對應的模態強度系數,系統系列響應模態強度系數 βk的具體解析表達式如式(42a)～式(48b)所示.統一變量符號 βk可分別指下文的

上部結構第i層相對隔震層位移xi和速度的模態強度系數分別為

隔震層相對地面位移xb和速度的模態強度系數分別為

上部結構第層層間位移 Δxi和層間速度的i模態強度系數分別為

上部結構第i層層間位移角 θi和層間位移角變化率的模態強度系數分別為

阻尼器阻尼力PG和阻尼力變化率的模態強度系數分別為

支撐位移xd和支撐位移變化率的模態強度系數分別為

阻尼器位移xQ和阻尼器位移變化率的模態強度系數分別為

3 響應方差

根據隨機振動理論[17],響應X(t) 的協方差可表示為

式中,E[·] 為數學期望.

將式(41)代入式(49),得系統響應分量的協方差為

要進一步對式(50) 求積分,必須先得到激勵w(t)的協方差表達式,由于w(t) 是白噪聲隨機過程,故其協方差函數可表示為

式中,δ(·) 為Dirac 函數.

將式(51)代入式(50),可將式(50)重寫為

利用Dirac 函數的性質,對式(52)的積分部分進行運算可得

將式(53)代入式(49),系統響應X(t) 的協方差最終可簡化為

令式(54)中 τ=0,即得系統響應方差

式中,βk與 βj的具體表達式詳見式(42a)～式(48b).將式(42a)～式(48b)分別代入式(55),可得系統系列響應方差.

4 響應功率譜與譜矩

根據Wiener-Khinchin 關系[17],平穩隨機過程功率譜密度是其相應協方差函數的Fourier 變換,即

將式(54)代入式(56)并對積分部分進行運算,得系統系列響應功率譜SX(ω) 為

式中,βk與 βj的具體表達式詳見式(42a)～式(48b).將式(42a)～式(48b)分別代入式(57),可得系統系列響應功率譜函數,例如,將式(42a)代入式(57),可得上部結構第i層樓的位移功率譜表達式為:Sxi=

系統響應的i階譜矩 κX,i定義為[17]

令式(58)中i=0,并對積分部分進行運算,得系統響應的0 階譜矩為

根據隨機振動理論[17],系統響應的方差等于0 階譜矩,式(59)驗證了本文方法的正確性.系統響應的2 階譜矩等于相應變化率的0 階譜矩,因此,系統響應的2 階譜矩可表示為

令式(58)中i=1,可得系統響應的1 階譜矩為

計算0 階譜矩和1 階譜矩時,βk與 βj的具體值由式(42a)、式(43a)、式(44a)、式(44b)、式(45a)、式(45b)、式(46a)、式(47a)以及式(48a)確定.計算2 階譜矩時,βk與 βj的具體值由相應系統系列響應變化率式(42b)、式(43b)、式(44c)、式(44d)、式(45c)、式(45d)、式(46b)、(47b)以及式(48b)確定.

5 算例

為了驗證本文方法求解地震響應的正確性,將其和虛擬激勵法對一棟10 層鋼筋混凝土基礎耗能隔震結構進行對比分析.基礎耗能隔震結構力學模型如圖1 所示,上部結構各層的層高h1,h2,···,h10=3.6 m,各層質量m1,m2,···,m10=310 t,各層的層間剛度k1,k2,···,k10=170 MN/m,結構阻尼比 ξ=0.05,結構的阻尼采用Rayleigh 阻尼,兩個比例系數分別為a0=0.262和a1=0.007 2.隔震層質量mb=440 t,隔震層剛度kb=30 MN/m,隔震層阻尼比 ξb=0.1,支撐剛度kd=1.5kb.隔震層設置廣義Maxwell 阻尼器,廣義Maxwell 阻尼器中Maxwell 阻尼單元的個數r=2,阻尼器平衡剛度k0=1.2 MN/m,兩個Maxwell 分支單元的剛度和松弛時間分別為抗震設防烈度為8 度,Ⅱ類場地,胡聿賢譜中低頻截止頻率ωc=2 rad/s,根據文獻[30],胡聿賢譜激勵的其他參數為:場地頻率 ωg=15.71 rad/s,場地阻尼比 ξg=0.72,功率譜強度因子S0=61.93 cm2/s3.

5.1 激勵與響應功率譜驗證

由式(15a)和式(15b),地面運動加速度可表示為

根據式(18)、式(21)和式(24),將地面加速度表示為Duhamel 積分形式

地面加速度的模態強度系數為

將式(64)代入式(57),得本文方法地面加速度功率譜為

胡聿賢地震動模型的傳統功率譜表達式為[13]

本文方法與虛擬激勵法都是根據各響應功率譜求解地震響應,因此,有必要驗證激勵功率譜與各響應功率譜的正確性.根據式(65)和式(66),繪制本文方法和傳統胡聿賢地震動模型功率譜曲線,如圖3所示;根據式(57)和附錄式(A16)、附錄式(A17),繪制本文方法和虛擬激勵法得到的各響應功率譜曲線,如圖4～圖11 所示.

圖3 地面加速度功率譜Fig.3 Power spectrum of ground acceleration

圖4 第 5 層絕對位移功率譜Fig.4 Power spectrum of absolute displacement of 5th floor

圖5 第5 層層間位移功率譜Fig.5 Power spectrum of inter-storey displacement of 5th floor

圖6 第5 層層間位移角功率譜Fig.6 Power spectrum of inter-storey drift angle of 5th floor

圖7 隔震層位移功率譜Fig.7 Power spectrum of isolated displacement

圖8 阻尼力功率譜Fig.8 Power spectrum of the damping force

圖9 阻尼器位移功率譜Fig.9 Power spectrum of damping displacement

圖10 支撐位移功率譜Fig.10 Power spectrum of bracing displacement

圖11 隔震層速度功率譜Fig.11 Power spectrum of isolated velocity

由圖3 可知,本文方法與傳統表達式繪制的胡聿賢地面加速度功率譜曲線完全吻合,驗證了本文方法計算地面加速度功率譜的正確性,表明通過濾波方程將胡聿賢譜激勵等效轉化為白噪聲激勵進行求解,只是物理上的轉換,并不會改變地震激勵的相關特性.由圖4～圖11 可知,本文方法與虛擬激勵法繪制的系統系列響應功率譜曲線完全吻合,驗證了本文方法計算系統系列響應功率譜和模態強度系數的正確性.由式(57)可知,本文所得系統系列響應功率譜表達式均為模態強度系數 βk、系統特征值qk、功率譜頻域變量 ω 以及譜強度因子S0相同規律的組合,其中項為二次正交形式,功率譜的二次正交化可使系統系列響應功率譜形式保持一致,只是各響應模態強度系數不同,式(57)體現了本文功率譜表達式的簡潔性,并且從功率譜表達式可直觀看出功率譜強度大小和峰值隨 ω 的變化情況.

5.2 譜矩計算精度和效率

為了驗證本文方法計算系統系列響應0～2 階譜矩的正確性,與虛擬激勵法計算的系統系列響應0～2 階譜矩進行對比分析.因為虛擬激勵法計算譜矩是對其功率譜進行數值積分,譜矩計算精度與選擇的積分步長和積分區間密切相關,積分區間越大同時積分步長越小,所得譜矩值就越精確.由系統系列響應功率譜圖4～圖11 可知,功率譜的卓越頻率均在50 rad/s 以內,因此,將頻域積分上限取為 300 rad/s,已足夠高過響應功率譜的卓越頻率.在積分區間[0,500]內,通過逐步縮小積分步長確定譜矩值,為提高計算結果的精度,虛擬激勵法積分步長分3 種情況取值,分別為: ①Δω=0.01 rad/s ;② Δω=0.15 rad/s ;③Δω=0.25 rad/s.圖12～圖14 為上部結構和隔震層絕對位移的0～2 階譜矩值,其中,隔震層譜矩值為隔震層相對于地面的譜矩值,上部結構譜矩值為上部結構相對于隔震層的譜矩值;圖15～圖17 為上部結構層間位移角的0～2 階譜矩值.

圖12 結構位移0 階譜矩Fig.12 Zero-order spectral moment of displacement

圖13 結構位移1 階譜矩Fig.13 First-order spectral moment of displacement

圖14 結構位移2 階譜矩Fig.14 Second-order spectral moment of displacement

圖15 層間位移角0 階譜矩Fig.15 Zero-order spectral moment of inter-storey drift angle

圖16 層間位移角1 階譜矩Fig.16 First-order spectral moment of inter-storey drift angle

圖17 層間位移角2 階譜矩Fig.17 Second-order spectral moment of inter-storey drift angle

為了與虛擬激勵法取不同積分區間的0～2 階譜矩值進行對比,以計算阻尼器位移譜矩值為例,將頻域積分步長統一取為 Δω=0.001 rad/s,通過逐步增大積分區間確定譜矩值,虛擬激勵法積分區間分3 種情況取值,分別為: ④ [0,100]; ⑤[0,200];⑥ [0,300].表1 為阻尼器位移0～2 階譜矩值,表中的誤差為虛擬激勵法與本文方法譜矩值的絕對誤差,反映的是虛擬激勵法隨著積分區間的增大,所得譜矩值與本文方法譜矩值的變化情況.

表1 阻尼器位移0～2 階譜矩計算效率及誤差Table 1 Calculation efficiency and accuracy of 0～2 spectral moments of damping displacement

由圖12～圖17 可知,隨著頻域積分步長 Δω 的減小,虛擬激勵法計算得到的結構位移和層間位移角的0～2 階譜矩值更逼近本文方法得到的譜矩值;由表1 可知,隨著積分區間的增大,虛擬激勵法計算得到的阻尼器位移0～2 階譜矩值同樣更逼近本文方法得到的譜矩值,這逼近的變化趨勢表明了本文所得譜矩值的精確性.基于同一CPU 計算結構位移和層間位移角的0～2 階譜矩值,本文方法一共耗時0.188 s,虛擬激勵法3 種情況分別耗時: ①0.499 s,② 0.839 s,③4.305 s,虛擬激勵法隨著頻域積分步長的減小耗時逐漸增加;由表1 可知,虛擬激勵法隨著頻域積分區間的增大,譜矩計算精度越高,但耗時也基本成相同數量級增加,積分區間每增大 100 rad/s,耗時就增大 3 s 左右.本文方法耗時均低于虛擬激勵法6 種情況耗時,由此可見,盡管本文通過復模態擴階求解,但由于所得響應為不帶積分的解析解,計算效率得到極大提高.

5.3 阻尼器減震效果

為研究隨支撐剛度變化耗能系統的系列響應方差,令支撐剛度kd=rbkb,rb為支撐剛度與隔震層剛度的比值,rb按照以下6 種工況取值,分別為0.1,0.5,1.5,5,10,50.表2 為6 種工況下得到的阻尼力方差阻尼器位移方差支撐位移方差隔震層相對地面位移方差、最大層間位移角方差以及結構相對隔震層總位移方差

由表2 計算結果可知,隨著rb的增大,阻尼器所提供的阻尼力和阻尼器位移增大,支撐位移、隔震層位移、最大層間位移角以及結構總位移減小,也即: 通過適當增加支撐剛度,能有效減小結構的地震響應.對于本算例,當比值rb超過1.5 時,隔震層位移、最大層間位移角和結構相對隔震層的總位移不再改變,也即: 當支撐剛度增加到一定限度時,結構的耗能減震效果基本趨于穩定.進行消能支撐結構設計時,在結構變形滿足抗震規范要求的情況下,支撐剛度可以最小化以提高經濟性.