以反思性思維的發生、發展為線索進行概念課教學
——以“平方根”教學為例

徐麗君，李 明

(桐廬縣城關初級中學，浙江杭州，311599)

初中教師在數學概念教學中，主要有兩種認識：一是強調概念的辨識與應用；二是強調以概念為中心的相關數學知識解析.兩種認識下的課堂共性是以學生認知與新概念交集設置問題情境，其后風格迥異.前者淡化學生思維的起點，設計的教學表達方式傾向于習題化，造成學生對概念缺乏理性認同，增加后期學習中出現認知混淆的風險.后者由于強調知識之間的邏輯關系，課堂有強烈的“數學味道”，但學科本位一定程度上對學生反思性思維發展過程中的痛點、盲點、堵點選擇性忽視，導致學生的主動探究愿望不強烈，獲得感較低.反思性思維是對某個問題進行反復的、嚴肅的、持續不斷的深思.從根本上看，學習完全是一種反思性活動.在概念課教學中，以學生反思性思維的發生、發展為綱，以概念相關知識之間的邏輯性為目，綱舉目張，突出思維過程中的主動獲得，從而達成較好的學習體驗.本文以“平方根”教學為例對此作些探索.

1 反思性思維要素分析

1.1 起點：從哪開始想

1.2 痛點：實在想不出

開平方是平方的逆運算，該逆向思維類似于“已知某數的絕對值求這個數”.把“求一個正數的平方根”這一問題回到思維起點(注意并不等同)：已知某個正數的平方，求這個正數.學生的已有經驗是：已知正方形的面積求正方形邊長.優先選擇平方數作為被開方數，一方面體現開方是一種運算，以便學生感悟互逆；另一方面符合從特殊到一般的認知規律.但對大部分同學(乘方運算不熟練的同學更加)，從42=16易，142=196難，更難的是看到196，還要想到196不僅是14的平方，還是-14的平方，何其難！雖然可以通過分解：196=22×72=(2×7)2=142求得196的正平方根，但分解過程往往涉及后續積的乘方相關運算，同時分解運算需要較多精力投入，不利于思維聚焦.由此，課堂不宜出現繁雜的平方數(《義務教育教學課程標準(2022年版)》明確規定帶分數不涉及乘方、開方運算)，同時需要在前期積累對常見的平方數的感覺，這個感覺就是數感.

1.3 盲點：實在沒想到

對平方數有了感覺，學生被問到：哪個數的平方等于9時，通常脫口而出：32=9，很難想到(-3)2=9.更鮮有人思考過：除了(±3)2=9還有沒有其他數的

平方也等于9?思維盲區往往是慣性思維的負遷移.思維盲點有必要由教師點亮，并在前期(如上一章)學習做好鋪墊.可以回到思維起點“面積為9的正方形的邊長一定是3嗎？”學生不難理解：邊長大于3，則面積大于9；邊長小于3，則面積小于9；當且僅當邊長等于3時，面積等于9.事實上，面積是邊長的二次函數且是函數圖象的右半支，函數值與自變量的值一一對應；當去除正方形背景后(即某數的平方等于某個正數)，每一個正的函數值對應兩個互為相反數的自變量的值.可見，思維盲點審視可以回歸思維起點，同時可以滲透數學概念之間的邏輯關聯.

1.4 堵點：有點想不通

2 教學設計

【模塊1】準備：培養平方數數感，以便課堂思維聚焦

(1) 計算：02，12，22，…，152

(2) 計算：(-1)2，(-2)2，…，(-15)2

設計意圖：對薄弱同學，通過常見數的平方，熟識常見平方數.規律也蘊含其中，如：互為相反數的平方相等；分數的平方即分子分母分別平方再相除；若底數小數點向左(或右)移動1位，則冪的小數點向左(或右)移動2位;底數的絕對值越大則二次冪越大.第(1)小題是基礎，是所有相關發現的思維起點.課堂上不一定生成這些結論，學生有所感悟即可.

【模塊2】起點：創設正平方根情境，建立思維發展起點

(1) 正方形的面積為9，邊長是.

(2) 寫出所有分別滿足下列條件的數：

① 某數的平方等于9，這個數是；

② 某數的平方等于0，這個數是；

③ 某數的平方等于-4，這個數是.

(3) 結合(1)(2)，師生合作解析、文字敘述平方根概念(順勢導出正平方根、負平方根、0的平方根).

設計意圖：第(1)問通過經歷正方形面積與邊長的互逆運算，體會平方根的產生源于實際需求，第(2)問經歷已知指數和冪求底數的過程，一方面領會與“平方”的互逆，另一方面體會研究平方根是數學發展的需要.同時第(1)與第(2)①的思維沖突，激活數學思維，思考要嚴肅、解答要完備：正數的平方根有兩個且互為相反數.思維發展來看，先求正平方根，再寫負平方根；求正平方根即已知正方形面積求邊長.注意：第(1)問師生需共同體會邊長有且只有3，從而為第(2)①有且只有±3作鋪墊，突出平方根概念的完備性.第(4)問板書如下(為符號化做準備)：

∵32=9，(-3)2=9即(±3)2=9

∴9的平方根是±3.

【模塊3】發展：特殊到一般，數感到符號感

(1) 正方形的面積為3，邊長是；

(2) 3的正平方根是，負平方根是，平方根是.

設計意圖：通過思維沖突、符號演化、例題示范，深刻體會平方根符號化的必要性、合理性、簡潔性.從平方數到開不盡方的數，符合學生從特殊到一般的認知規律.(1)問的符號演變如下圖(動畫演示)：

∵32=9,(-3)2=9即

∴9的平方根是±3，即

∵(±3)2=9

【模塊4】內化：思維個性化，新的起點.

小結：板書小結，如下圖.

設計意圖：利用課堂生成的板書，師生回顧思維發展過程關鍵節點.教師從知識技能、思想方法兩方面引導，教師主導，共同感悟.

3 實踐感悟

數學是思維的科學，數學課堂是思維的課堂.教學表達形式既要重視數學知識的邏輯，更需關注學生學習的邏輯——反思性思維的發生、發展.以反思性思維的發生、發展為主線即以學習者的學習邏輯為綱，引導學習者主動理解、應用概念，生成數學知識技能并在過程中學會數學思考.

3.1 理解學習的本質即反思性活動，積累反思性思維要素分析經驗

并不是每一個數學概念的學習都有思維(指反思性思維，下同)痛點、盲點、堵點，思維起點也因人、因班而異.思維起點的確定與概念相關知識的解析、班級整體的數學素養密切相關，素養越高越傾向于“數學化”，相反則傾向于“生活化”.如平方根概念教學中，思維起點可以是“已知正方形面積求邊長”，也可以是“乘方的三要素：底數、指數、冪，已知二者求第三者”.另外，隨著課堂的行進，知識技能的掌握，思維也在發展，學習個體的思維起點也在動態變化，教師應鼓勵學生的個性化合理思維，絕不能有“一定要這樣想”的想法跟言語、感情表露.

3.2 關注學生群體思維的動態變化，領悟模塊組合之“法”

以反思性思維的發生、發展為主線的概念課教學需要預設，包括準備、起點、發展、反復、內化五個模塊.五個模塊并不是缺一不可，如：平方根中的“準備”模塊，如果學生對平方數已經有了足夠的數感，這一模塊自然可以省略.課堂應“順”著學生思維的發展行進，故五個模塊在課堂中的行進順序也不是非得這樣，甚至可以穿插進行，如：平方根教學中的“發展”模塊，在平方根的符號生成后，就可以用不同形式的呈現方式引導學生反復思考，以利于“符號感”的生成.模塊之間的靈活組合需要教師關注學生群體的思維發展變化，并作出判斷.

3.3 注意教材對于學生思維的留白與冗余，以生為本是概念教學設計之“道”

浙教版每一節教材的呈現都有強烈的反思性思維味道，充分考慮普遍的學生認知特點.但教材與課堂不同，教材一覽無余，課堂徐徐展開.一覽無余，雖能面面俱到，但易點到即止，難判輕重；徐徐展開，雖有利思維，但易缺失目標，偏頗重心.如此，教師對教材的再創作成為必然.進行再創作，教師一方面須對與概念相關的知識邏輯了然于胸，不僅要有全局觀、整體觀、還要有高觀點；另一方面須對學生的現有認知基礎、學習特點一清二楚.初中階段，以學生的學習邏輯為主線設計教學要注意教材中的素材呈現之于學生思維的留白與冗余.如“平方根”中，面積為1.44的正方形的邊長是多少？對于大部分普通孩子而言，此處有大量留白：正方形的面積公式如何？哪個數的平方是144？哪個數的平方是1.44？面積144之于1.44的關系如何與邊長有聯系？(見本文第3頁【模塊一】)教師要思考的是：對與我的孩子們，哪些思維留白是需要做填充的.同樣，“平方根”中也有信息冗余(因人、因班而異)，本節課共有10個新術語：平方根、二次方根、正平方根、負平方根、根號、負根號、正、負根號、被開方數、開平方、算術平方根.新術語在課堂中的高頻出現，不利于思維的連續、聚焦、反復.算術平方根可以先放一放，甚至被開方數、開平方也可以先放一邊，只待時機成熟，一語點破.