基于矩陣運算的直升機旋翼/機體耦合動力學模型

吳 靖，劉湘一，宋山松

（海軍航空大學，山東煙臺 264001）

直升機的旋翼/機體耦合動態響應仿真對于其動穩定性分析，特別是非線性動穩定性分析，以及故障響應分析等動力學問題來說具有重要意義，旋翼/機體耦合動力學建模是其進行動態響應仿真的基礎。國外最經典的旋翼/機體耦合動力學模型是由Coleman 等提出的，他們針對鉸接式旋翼直升機，在旋轉坐標系中建立各槳葉的運動方程，在固定坐標系中建立機體的運動方程，在研究旋翼/機體耦合動穩定性時，將2種運動統一在同一個坐標系中，通過多槳葉坐標變換，把槳葉在旋轉坐標系中的運動自由度轉換到固定坐標系中。爾后，大部分學者都是在此基礎上對直升機旋翼/機體耦合動穩定性進行研究的。張曉谷等根據簡化的旋翼槳葉模型，采用復數坐標系及互激勵方法，由簡到繁，從機理上對直升機地面共振進行了研究，探究了產生動不穩定性的主要原因及影響動穩定性的主要因素，建立了適合工程應用的直升機旋翼/機體耦合動力學模型。

計算槳葉任一剖面的速度及加速度是直升機旋翼/機體耦合動力學建模過程中的重點問題，傳統的矢量方法雖應用較為廣泛，但由于直升機旋翼/機體耦合動力學問題中涉及的變量（包括槳葉的擺振角、揮舞角和機體的滾轉角、俯仰角以及對應的角速度和角加速度等）較多，主要變量達6+6 個（為旋翼槳葉數），在采用矢量方法推導槳葉任一剖面的速度及加速度，并用于直升機旋翼/機體耦合動態響應仿真時較為復雜。因此，在進行推導的過程中須進行簡化，如進行小角度線性假設等，這樣建立的模型一般適用于小擾動線性分析。另外，基于動力學模型進行直升機旋翼故障診斷等分析時，對動力學模型的計算精度要求較高，保留運動非線性有利于仿真得出更準確的故障樣本。

基于矩陣運算，在保留運動非線性的情況下推導槳葉任一剖面的速度及加速度，并建立對應的直升機旋翼/機體耦合動力學模型，用于對直升機動態響應進行仿真分析。

1 坐標系及坐標變換

直升機槳葉和機體為剛性模型，采用帶外伸量的當量鉸。旋翼機體物理模型坐標系，如圖1所示。

圖1 物理模型及坐標系Fig.1 Physical model and coordinate system

圖1中：為機體固定坐標系，其中，為機體滾轉軸，為機體俯仰軸；為旋翼坐標系，原點即為運動前的槳轂中心；為槳轂不旋轉坐標系，坐標原點固定于槳轂中心；為槳轂旋轉坐標系，隨旋翼轉動；為槳葉未變形坐標系；為槳葉運動坐標系，軸和槳葉變距軸重合。

第片槳葉揮舞角β上揮為正，擺振角ζ后擺為正，則從變換到為：

從變換到只是平移，變換矩陣為單位陣。

2 槳葉任一點的速度及加速度

揮舞/擺振鉸外伸量為，點在中的矢徑為：

點在中的矢徑為：

槳轂中心距機體重心縱向距離為，槳轂中心距機體運動軸距離為，點在中的矢徑為：

令=，=，則：

點在中的速度和加速度為：

點在中的速度和加速度為：

在計算槳葉任一點速度及加速度時，假定槳葉是剛性的，因此，建立的動力學模型適用于鉸接式旋翼直升機以及變形主要發生在槳葉根部的無鉸式或無軸承式旋翼直升機。

3 旋翼/機體耦合動力學模型

3.1 旋翼運動方程

槳葉作用于揮舞/擺振鉸的力矩包括慣性力矩、彈簧力矩、結構阻尼力矩及氣動力矩等，因此，第片槳葉的揮舞運動及擺振運動方程為：

3.2 機體運動方程

式（16）（17）中：I、c和k分別是機體在滾轉方向上的慣性矩、阻尼和剛度；I、c和k分別是機體在俯仰方向上的慣性矩、阻尼和剛度。

3.3 動力入流方程

作用在旋翼上的氣動力是非定常的，對于低頻振動的直升機來說，用動力入流模型能較好地描述非定常氣動力的作用。

用擴展的Pitt-Peters 動力入流模型來描述非定常氣動力，其動力入流方程為：

式（18）中：為空氣的質量矩陣；為入流的增益矩陣；、和分別為旋翼總的氣動升力、對槳轂中心的氣動滾轉力矩和氣動俯仰力矩；、和分別為平均誘導速度、氣動滾轉力矩和俯仰力矩引起的誘導速度，均為無量綱量。

將所有槳葉的揮舞和擺振運動方程、機體的俯仰和滾轉運動方程以及旋翼動力入流方程聯立，組成直升機旋翼/機體耦合動力學模型。

4 旋翼/機體耦合動態響應仿真

4.1 主要參數

所用模型為美國NASA采用的無鉸旋翼模型，槳葉剖面翼型為NACA23012，旋翼、機體模型的主要參數取自文獻[18]，如表1 所示。旋翼設定轉速為1 000 r/min，槳葉初始安裝角為6°，來流角為0°。

表1 旋翼及機體模型參數Tab.1 Model parameters of rotor and fuselage

4.2 小角度線性簡化的影響

以機體運動為例，觀察小角度線性簡化的影響。令 β=ζ=0 ，即 槳 葉 無 揮 舞 和 擺 振 運 動，Ф=Asinωt，Ф=Asinωt，A、ω和A、ω分別為滾轉和俯仰運動的幅值和頻率，線性簡化時，sinФ=Ф，cosФ=1，sinФ=Ф，cosФ=1。不同機體運動頻率下，小角度線性簡化前后槳尖方向最大速度的差值比=(′-)隨機體運動幅值的變化，如圖2所示。

圖2 小角度線性簡化的影響Fig.2 Effect of small angle linear simplification

由圖2可以看出，隨著機體運動幅值的增加，小角度線性簡化對結果的影響越來越大。對于滾轉頻率為3.96 Hz的情況，滾轉幅值15°時，差值已超過5%；對于俯仰頻率為1.59 Hz 的情況，俯仰幅值15°時，差值已超過6%。另外，隨著運動頻率的減小，小角度線性簡化的影響逐漸增強，分析可知，機體運動速度影響槳轂中心的速度，從而影響槳葉的速度，而機體運動速度取決于幅值和頻率，隨著頻率的減小，幅值對速度的影響將被強化。

4.3 不同槳距的仿真結果

總距為0 ～5°時，直升機第1片槳葉揮舞和擺振的響應,如圖3、4 所示。由圖3、4 可知，采用所建直升機動力學模型進行響應求解，15 s 后結果基本能收斂穩定，說明模型能很好地計算不同總距情況下的響應，隨著總距的增加，在氣動力的作用下，槳葉的揮舞角和擺振角隨之增加。

圖3 不同總距下的揮舞角Fig.3 Flapping angles at different collective pitches

圖4 不同總距下的擺振角Fig.4 Lag angles at different collective pitches

5 結論

通過計算機體不同運動情況下進行小角度簡化前后槳葉的速度，發現隨著機體運動幅值的增加，小角度簡化帶來的誤差越來越大，且運動頻率的減小會進一步增大誤差。對不同槳距的情況進行仿真，結果表明，所建模型可以快速求解直升機的響應，采用該模型可對不同旋翼轉速、不同阻尼情況、不同頻率情況下的直升機旋翼/機體耦合動態響應進行仿真，從而實現旋翼/機體耦合動穩定性時域分析。通過設置槳葉初始安裝角、改變槳葉不同位置的質量來實現旋翼不平衡故障的模擬，為旋翼動平衡故障診斷研究提供仿真數據樣本。