水下爆源位置誘導艦艇總強度鞭狀響應規律

晏衛東，黃亞舒，劉智博，楊娜娜，王志凱

（1. 92941部隊，遼寧葫蘆島， 125001；2.哈爾濱工程大學，黑龍江哈爾濱， 150001）

艦船的細長結構特征決定了其一階固有頻率與常見兵器爆炸后產生的氣泡脈動頻率相接近，因此，在氣泡脈動載荷誘導下，艦船產生鞭狀運動，將會給艦船的總縱強度帶來嚴重的威脅。

艦艇的主要結構形式為由耐壓外殼和加強筋組成的加筋殼。當受到武器攻擊時，沖擊波載荷和氣泡脈動載荷先后會對艦艇結構造成破壞，使艦艇的生命力受到威脅，因此，加強對加筋殼結構毀傷特性研究的重要性不言而喻。

針對艦艇船體在水下爆炸作用下的鞭狀響應，Keil A H指出了氣泡脈動載荷對船體梁鞭狀運動影響顯著的主要原因，并基于球形氣泡理論和船體梁理論，給出了結構在水下爆炸氣泡載荷下動態響應的計算方法；Jeffrey W S對鞭狀運動中的阻尼機制進行了討論，并基于球形氣泡理論和Morison公式，提出了鞭狀運動的計算方法，結果顯示，其方法與試驗吻合良好；Zong Z對氣泡載荷下自由梁的動態塑性響應進行研究；張振華使用有限元軟件MSC.DYTRAN對沖擊波載荷下加強殼動響應情況模擬仿真，其結果為環肋加強殼結構設計提供了參考；李玉節等研究了氣泡脈動激起細長船模做鞭狀響應的現象，得出了氣泡作用下船體梁響應由剛體運動和彈性變形2 部分組成；張瑋通過模態疊加法，計算了水下爆炸由氣泡引起的艦艇鞭狀運動規律；宮國田等采用有限元仿真分析軟件ABAQUS 對水下爆炸載荷作用下加強殼的總體進行了模擬，為實際工程提供了有價值的參考資料；沈曉樂等采用試驗的方法研究了在水下爆炸沖擊載荷作用下的加肋加強殼結構模型的動態響應，證明了應變測量的方法對結構進行模態分析的可行性；劉云龍等采用雙漸進法對水下爆炸沖擊載荷作用下加強殼結構損傷問題進行了研究，發現爆距較近時，氣泡脈動載荷占主要成分，較遠時，沖擊波占主要成分；王海坤等采用二階DAA 流固解耦技術，揭示加強殼梁模型在水下爆炸載荷作用下的總體低頻運動特性及鞭狀響應規律，為研究細長體加強殼結構在水下爆炸載荷作用下的鞭狀效應總體損傷，提供了試驗基礎及理論方法；黃曉明等利用試驗的方法對加強殼在水下爆炸作用下的鞭狀響應試驗進行了研究；Zhang N在考慮氣泡遷移、自由面效應和拖曳力的基礎上，建立氣泡動力學方程，并使用龍格庫塔方法計算實際船模動態彈塑性響應。

由于采用有限元數值方法計算船體梁鞭狀運動的計算成本通常較大，且試驗多受現實條件制約，故需要大量工況計算的規律總結性工程應用并不適用。本文提出1 種在水下爆炸作用下，一維船體梁鞭狀運動響應計算的解析方法，該解析法利用速度勢函數和Morsion 相對速度公式計算氣泡載荷水動力，利用Newmark 數值求解法求解水下爆炸氣泡載荷作用下船體梁動態響應，建立了一維船體梁模型與氣泡載荷之間的耦合計算模型，并對船體梁模型的鞭狀響應進行了計算，計算效率大幅提高，可實現在艦艇設計初期總強度的快速校核。為此，在驗證了該船體梁解析計算方法的正確性后，引入無量綱系數，研究了爆炸參數對鞭狀運動響應的影響規律，旨在為艦艇結構總體損傷評估和結構設計研究提供參考。

1 鞭狀運動響應解析法

1.1 氣泡載荷水動力計算

Geers（2002）運用二階DAA法對水下爆炸氣泡以及氣泡周圍流體的相互作用進行研究，在線性可壓縮流體介質的假設下，提出基于球形氣泡的水下自由場動力學氣泡模型，即Geers-Hunter氣泡模型。

根據Geers-Hunter 氣泡模型進行求解，可以得到半徑及氣泡上浮速度隨時間變化的情況，由此可以求得氣泡的速度勢。水下爆炸氣泡坐標系，如圖1所示。

圖1 水下爆炸氣泡坐標系Fig.1 Coordinate system of underwater explosion bubble

速度勢函數可以表示為：

式（1）中：為點源強度系數；為偶極強度系數；為流場中任一點到氣泡中心徑向距離；為任一點到偶極中心徑向距離；和為點源及偶極徑向與垂向之間的夾角。

全局使用笛卡爾坐標系，速度勢函數分別關于、和方向求偏導數，可以求得氣泡載荷作用下流場中任一點流體的速度。計算公式如下：

對于細長結構在流場中的振動問題，通常采用切片理論的思想，簡化為二維問題分析。本文將流場假設為不可壓縮，考慮流體慣性及拖曳力，使用Morison相對速度公式，計算作用于結構的水動力。Morison相對速度公式如下：

式（3）中：為作用于結構外表面單元的水動力；為流體密度；為表面單元的橫截面積；為表面單元直徑；為單元長度；和?分別為流體質點在徑向的速度和加速度；?和?分別為結構點在徑向的速度和加速度；為流體慣性相對運動系數；為拖曳力相對運動系數，本文取1.0。利用Geers-Hunter氣泡模型得到船體梁各位置的流體質點速度以及加速度，進而得到任意時刻船體梁所受的水下爆炸載荷。

1.2 船體梁響應求解

在由水下爆炸載荷引起的船體梁鞭狀運動的研究中，通常將船體梁簡化為包含集中質量的一維變截面梁。由于引起船體梁鞭狀運動響應的主要原因是低階頻率共振，且一維梁模型在計算低階頻率響應方面較為準確，因此使用此模型具有合理性。

當受到外界激振力作用時，含有阻尼的多自由度振動系統會產生強迫振動，根據牛頓運動定律以及達朗貝爾原理建立的強迫振動微分方程如下：

式（4）中：為船體梁質量矩陣；為船體梁阻尼矩陣；為船體梁剛度矩陣；?為加速度矢量；?為速度矢量；為位移矢量；為激振力矢量。

在解析解法中，為了保證計算的準確性且能夠降低計算難度，選用的阻尼類型為瑞利阻尼。瑞利阻尼矩陣可以表示為質量矩陣和剛度矩陣的線性疊加形式：

對于船體梁在氣泡載荷階段的動響應運動方程的求解，由于船體梁在水下爆炸載荷作用下的剛體位移成分占有一定比例，因此，運動方程更適合采用時域顯式積分方法求解。本文采用Newmark 方法求解運動方程，Newmark方法的基本方程是對位移和速度進行Taylor 展開建立的，位移和速度的Taylor 展開式如下：

Newmark 指出，當取值0.25，取值0.5 時，求解過程無條件穩定。船體梁的運動方程可以寫成如下形式：

根據上式可以求得，+時刻的平衡方程為：

Suzuki H指出，將Newmark 方法應用于非線性載荷作用下結構動力學方程求解問題時,建議采用Newmark-Raphson 迭代方法，故本文采用此迭代法對船體梁在氣泡載荷階段的動響應運動方程進行求解，得到任意時刻船體梁的位移、速度和加速度響應。

2 解析法驗證

本研究中模型參數為：加強殼總長度6 m，殼體厚度2 mm，殼體總質量51.7 kg，總配重76.6 kg，總排水量128.3 kg。以某型號艦艇橫艙壁位置為參考，確定加強筋位置。試驗模型具體尺寸，如圖2所示。

圖2 模型尺寸參數及測點布置圖Fig.2 Model size parameters and measuring point layout

爆心位置為加筋加強殼中部正下方，即方位角為90°。藥量的選取原則為由炸藥引起的氣泡載荷的脈動周期與模型低階固有周期接近。最終確定的試驗工況，如表1所示。

表1 試驗工況設置Tab.1 Setting of test conditions

在試驗研究的基礎之上建立加筋加強殼數值模型，基于聲固耦合方法，對加筋加強殼鞭狀運動響應進行數值仿真計算，工況設置與試驗相同。模型使用的材料是Q235 鋼，密度為7 850 kg/m，彈性模量為2.1×10Pa ，鋼 的 泊 松 比 為0.3；水 的 密 度 為1 000 kg/m，水的體積模量為2.140 4×10Pa 。鋼材本構模型選用Plastic-Kinematic 模型。加筋加強殼采用S4R四節點殼單元建立，外流場采用AC3D4四節點聲學介質單元建立。加筋加強殼及外流場的三維有限元模型如圖3、4所示。

圖3 加筋加強殼有限元模型Fig.3 Finite element model of the reinforced cylindrical shell

圖4 外部流場有限元模型Fig.4 External flow field finite element model

使用有限元仿真軟件得到的前三階濕模態固有頻率數值解的相對誤差分別為5.12%、1.99%和0.90%，可以認為，所建有限元模型的總體剛度分布、質量分布、外流場分布與真實模型較為接近。

為了驗證解析法計算結果的正確性，將工況1、2的船體梁中部截面應變的數值解、試驗解和解析解繪制在同一張圖中，并從應變峰值和峰值出現時間2 方面進行分析。

圖5 中部截面應變時歷曲線數值解、試驗解和解析解對比Fig.5 Comparison of numerical solution,experimental solution and analytical solution of the time-history curve of strain in the middle section

表2 中部截面應變最大值數值解、試驗解和解析解對比Tab.2 Comparison of numerical solution,experimental solution and analytical solution for the maximum strain in the middle section

從表3 可以看出，數值解和解析解的應變幅值和首次氣泡脈動產生鞭狀運動峰值時間都在一定的誤差允許范圍之內。由此驗證了鞭狀運動數值仿真解法和解析解法的準確性。在鞭狀運動應變幅值與首次氣泡脈動產生應變峰值時間預報方面，解析解法和數值解法準確性相差不大，在計算成本方面，使用解析解法預報鞭狀運動無須建立模型，計算時間也遠遠小于數值仿真解法，但解析解法對輸入數據的準確性要求較高。

表3 首次鞭狀運動峰值時間數值解、試驗解和解析解對比Tab.3 Comparison of numerical solution,experimental solution and analytical solution of peak time of the first whip motion

3 船體梁的鞭狀響應

基于解析法，計算該船體梁模型的鞭狀運動響應。爆點與加筋加強殼的軸線保持在同一水平面，且位于加強殼長度方向的中部（1/2處，為加強殼總長度）。采用加強殼中部截面應變幅值來評估炸藥深度對鞭狀運動響應的影響，分別討論了炸藥深度、爆距和爆點軸向位置對鞭狀運動響應的影響規律。

3.1 炸藥深度對鞭狀運動響應影響

炸藥深度影響了氣泡脈動周期，進而影響了鞭狀運動周期和應變幅值，為了減少這部分誤差，得到適用于不同模型的普遍規律，因此引入無量綱系數：

式（11）中：為氣泡脈動周期；為結構一階濕模態固有周期。

圖6 顯示了不同炸藥深度條件下，加筋加強殼鞭狀運動對比情況。從圖中可以明顯看出，隨著炸藥深度不斷增加，加筋加強殼鞭狀運動的周期縮短，氣泡載荷脈動周期逐漸縮短。因此可以得出結論：氣泡載荷脈動周期同鞭狀運動周期呈正相關。

圖6 不同炸藥深度下加筋加強殼鞭狀運動應變時歷曲線Fig.6 Time-history curves of whip motion strain of the reinforced cylindrical shell at different explosive depths

具體工況設置，如表4 所示。表5 顯示了不同工況下鞭狀運動最大應變幅值同氣泡脈動周期和加強殼一階濕模態周期之比之間的關系。

表4 工況設置Tab.4 Setting of working conditions

表5 不同工況下鞭狀運動最大應變幅值Tab.5 Maximum strain amplitude of whip motion under different working conditions

為了能夠更加直觀地分析規律，使用3 次樣條插值的方法，將數據繪制成圖7。

圖7 鞭狀運動最大應變幅值隨δ 變化曲線Fig.7 Curve of maximum strain amplitude of whip motion with δ

從圖7可以看出，隨著周期比增加，加筋加強殼鞭狀運動的應變幅值逐漸增加。當為1.34時，鞭狀運動的應變幅值達到最大值，隨后逐漸衰減。

綜合不同工況分析可知，不同炸藥深度對應工況的氣泡脈動周期不同，氣泡脈動時對應加強殼鞭狀運動的波峰、波谷情況不同。當089 ≤≤134 時，多個氣泡脈動的峰值正好作用于鞭狀運動的上升階段，氣泡膨脹對結構做功為正，因此，對應的鞭狀運動響應的幅值較大；當134 ≤≤145 時，多個氣泡脈動的峰值處于結構鞭狀運動的下落階段，氣泡壓力方向與加強殼運動方向相反，氣泡膨脹對結構做功為負，因此，加筋加強殼本身動能減少，鞭狀運動響應變小。

3.2 爆距對鞭狀運動響應影響

除了炸藥深度會對鞭狀運動產生影響外，爆距對于鞭狀運動的幅值和變化趨勢也會產生顯著影響。不同長度的模型對于爆距的敏感程度不同，為了減少這部分誤差，以得到適用于不同模型的普遍規律，因此引入無量綱系數：

式（12）中：為爆距；為結構特征長度。

具體工況設置，如表6所示。

表6 工況設置Tab.6 Setting of working conditions

不同爆距下，加筋加強殼鞭狀運動響應應變幅值情況，如圖8所示。

圖8 不同爆距下加筋加強殼鞭狀運動應變時歷曲線Fig.8 Time-history curves of whip motion strain of the reinforced cylindrical shell at different detonation distances

從圖中可以看出，爆距對于鞭狀運動的周期影響較小，但對鞭狀運動幅值影響卻很大。隨著爆距增大，鞭狀運動的應變幅值逐漸減小，爆距和鞭狀運動應變幅值呈負相關。

表7顯示了不同工況下鞭狀運動最大應變幅值同爆距和加強殼特征長度比之間的關系。

表7 不同工況下鞭狀運動最大應變幅值Tab.7 Maximum strain amplitude of whip motion under different working conditions

為了能夠更加直觀地分析規律，使用3 次樣條插值的方法，將數據繪制成圖9。圖中顯示了炸藥深度為15 m時，鞭狀運動最大應變幅值隨長度比的變化趨勢。從圖可以看出：當05 ≤≤07 時，應變幅值隨長度比變化速率較快；當07 ≤≤167 時，應變幅值變化速率逐漸減慢。從整體上看，應變幅值和長度比呈反比例函數關系，其原因是：隨著爆距增加，經過流場作用于結構體上的壓力幅值逐漸減??；結構體特征長度相對于爆距比例逐漸減小，作用于結構體上的壓力載荷沿著長度方向分布逐漸均勻，結構體響應中剛體位移所占比例逐漸升高，而鞭狀運動就是由于作用在結構體上的載荷不均而造成的。最終得出：結構體鞭狀運動應變幅值隨長度比升高而降低。

圖9 鞭狀運動最大應變幅值隨η 變化曲線Fig.9 Curve of maximum strain amplitude of whipping motion with η

3.3 爆點軸向位置對鞭狀運動響應影響

爆點沿船長方向的位置也會對船體梁的響應產生影響，仍以試驗加筋加強殼模型為考察對象，分析爆點位置偏移對鞭狀運動響應的影響規律。同理設置無量綱系數：

式（13）中：為爆點的軸向位置；為結構特征長度。

由于加筋加強殼為對稱結構，因此，只選取模型的一半進行考察。具體工況設置，如表8所示。

表8 工況設置Tab.8 Setting of working conditions

每種工況下，分別對=0 m、=1.5 m、=3 m、=4.5 m 和=6 m 的截面應變狀況進行考察。

由于加強殼為對稱結構，爆點軸向位置為0 m、1.5 m 時典型截面應變時歷曲線與4.5 m、6 m 時應變時歷曲線相同，因此只展示工況1、2 和3 的應變時歷曲線。從圖10可以看出，3種工況下,爆點軸向位置改變，但對于每個工況而言，船舯截面的響應應變幅值仍然要比兩側截面的應變幅值大。爆點軸向位置為3 m 時，不同截面的應變時歷曲線波形較為簡單；爆點軸向位置為0 m和1.5 m時，不同截面的應變時歷曲線波形比較復雜，在原有基礎波形上有其他小波疊加。

圖10 不同軸向位置爆點下典型截面應變時歷曲線Fig.10 Time-history curves of typical cross-sectional strain at different axial positons of the burst point

分別對不同工況下不同截面的應變時歷曲線進行傅里葉變換，得到不同工況下的典型截面應變響應傅里葉譜,如圖11所示。

圖11 不同軸向位置爆點下典型截面應變響應傅里葉譜Fig.11 Fourier spectrum of typical cross-sectional strain response at different axial positions of the burst point

使用工程計算方法得到的加筋加強殼前三階濕模態頻率與圖中傅里葉譜峰值對應頻率相吻合。從圖11 可以看出：爆點軸向位置3 m 時，爆炸載荷主要引起的是結構一階模態共振，對應的應變曲線波形較為簡單，只由一階模態響應組成；爆點位置偏移至軸向1.5 m 時，加強殼的二階、三階模態比例升高，一階模態響應比例下降，但對于總響應而言，仍占很大比重，對應的應變時歷曲線由一階、二階和三階模態響應共同組成，因此波形較為復雜；當爆點軸向位置為0 m 時，總體響應相對于爆點軸向位置1.5 m 時的二階、三階模態響應成分下降，一階模態響應成分上升。

為探究爆點軸向位置的改變對加強殼鞭狀運動響應的影響規律，現將考察截面位置確定，只改變爆點軸向位置，對比分析同一截面不同工況下鞭狀運動響應情況。不同工況下考察截面的最大應變幅值，如表9所示。

表9顯示了不同工況下鞭狀運動最大應變幅值同爆點軸向位置和加強殼特征長度比之間的關系。為了能夠更加直觀地分析規律，使用3 次樣條插值的方法，將數據繪制成圖12，由于模型對稱，因此只分析考察截面位置為0 m、1.5 m和3 m時的情況。

表9 不同工況下典型截面最大應變幅值Tab.9 Maximum strain amplitude of typical sections under different working conditions 10-6

圖12 典型截面下鞭狀運動最大應變幅值隨λ 變化曲線Fig.12 Curve of maximum strain amplitude of whip motion under typical sections with λ

圖12顯示了不同考察截面位置下，船體梁鞭狀運動響應應變幅值同爆點軸向位置和加強殼特征長度比之間的關系?？傮w上看，在不同考察截面位置條件下，船體梁鞭狀運動應變幅值都存在隨著先增大后減小的趨勢，當=0.5 時，應變幅值達到峰值，因此，對于均勻對稱分布的船體梁模型，爆點軸向位置在船舯時鞭狀運動最為劇烈。

當考察截面位置=0 m 時，0 ≤≤0.5 部分比0.5 ≤≤1部分應變幅值要大，考察截面位置=1.5 m時也有類似規律，原因是0 ≤≤0.5 時考察截面與爆點位置之間距離比0.5 ≤≤1 時要大，鞭狀運動響應隨著爆距增大而減小，這與3.2 節得到的爆距對鞭狀運動響應影響規律相吻合。

4 結論

本文基于水下爆炸載荷下加強殼結構總縱強度預報的工程解析解法，以試驗模型為研究對象，計算試驗工況下加強殼鞭狀運動應變響應。并將通過試驗、解析解法和數值仿真解法得到的應變響應曲線從最大應變幅值和首次鞭狀運動峰值時間2方面進行對比分析，驗證數值解法在預報鞭狀運動應變響應方面的有效性。使用解析解法分別討論了炸藥深度、爆距和爆點軸向位置對鞭狀運動響應的影響規律，并對典型工況下船體梁振型圖進行分析，得到主要結論如下：

1）在鞭狀運動應變幅值與首次氣泡脈動產生應變峰值時間預報方面，解析解法和數值解法準確性相差不大，均能很好地計算船體梁在水下爆炸載荷下的響應；

2）結合文中所示不同工況條件下的模擬計算結果，當不考慮自由面效應時，船體梁結構鞭狀運動應變幅值隨著周期比先增加后減小，當周期比取值為1.34時，應變幅值達到峰值；

3）結合文中所示不同工況條件下的模擬計算結果，當不考慮自由面效應時，鞭狀運動應變幅值和長度比呈反比例函數關系；

4）結合文中所示不同工況條件下的模擬計算結果，當不考慮自由面效應時，船體梁鞭狀運動響應應變幅值隨著長度比先增大后減小，當長度比取值為0.5時，應變幅值達到峰值。