基于“活教育”思想觀照，提升學生的高階思維能力
——以“釘子板上的多邊形”教學實踐為例

江蘇省南京市江寧區岔路學校 胡 靜

學校“活課堂”教改的理論依據來源于我國著名教育家陳鶴琴的“活教育”思想。陳鶴琴先生的教育主張：從兒童立場出發，發現和引領兒童；凡是兒童自己能夠做的，應當讓他自己做，在做中學；凡是兒童自己能夠思考的，應當讓他自己思考，在思中進。陳鶴琴先生的主張對“雙減”背景下的課堂教學仍有很大的指導意義。

“雙減”背景下，落實“學科核心素養”，應關注并努力思考和激活課堂教學要素，即問題情境、合作探究、傾聽與對話、交流與展示。催生指向“核心素養”的教與學，已根植、深入每位教師的內心并落實于行動，以此形成包括教師與學生、個體與小組、小組與小組間不同層次的互動。課堂上的教學互動，不僅要關注學生參與課堂交往的主動性，而且要把握學生的思維是否被激活，能否深化學生的數學思考，提升其高階思維能力，從而使課堂成為學生的成長之地。教師和學生組成活生生的學習型組織，學校成為應用之場、思辨之所、創新之地。

如何提升學生的高階思維能力？下面筆者就蘇教版數學五年級上冊的一節綜合實踐課“釘子板上的多邊形”談幾點實踐思考。

思考之一：自主建構的歷程需不需要錯誤磨礪——捕捉與摒棄

葉瀾教授說過，課堂應該是向未知方向不斷挺進的探究旅程，隨時都有可能出現意外的通道和美麗的風景，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情的行程。兒童的學習是兒童本身的認知框架不斷變革和重組建構的歷程。課堂有時會出現許多“意想不到”的生成性資源，有時是正確的，有時是錯誤的，作為教師，我們不能拘泥于先前的預設，回避或視而不見錯誤，必須捕捉有價值的“意外”資源，摒棄不合理的錯誤資源，巧妙地引導學生“數學地思考”，通過自省，更新重組認知結構，必然能達到提升思維能力的目的。

【片段一】自主探索內部只有1枚釘子的多邊形面積規律

（1）活動：下面的多邊形面積各是多少平方厘米？每個多邊形邊上的釘子數各有多少枚？數一數、算一算，將結果填入表中。

?

（2）發現規律：多邊形的面積=多邊形邊上的釘子數÷2。

（3）舉例驗證。

師：這個發現對不對呢？怎么驗證？

生：我們可以再舉幾個這樣的例子驗證一下?。▽W生驗證交流）

師：老師看到有些同學眉頭緊鎖，你們遇到了什么問題？能和大家分享一下嗎？

生1：老師，我的驗證符合剛才的規律。

生2：老師，我的不符合。

生3：老師，我的也不符合，但是我驗證的方法是對的。

師：哦？我們一起來看看！

圖1

師：看來，圖2和圖3確實不符合我們的規律！那為什么這個規律有時管用，有時卻用不了呢？別著急，請仔細觀察這些圖形，同桌之間討論你們的想法。

圖2

圖3

生1：我發現這些圖形的高都是2。

師：好，老師把你的發現記錄下來，是這樣的嗎？

生2：我不同意你的看法，我畫的圖形高是3cm，同樣符合規律。

生3：是的，我畫的圖形高是5cm，同樣也符合規律。

生4：我們小組發現，符合規律的都是內部釘子數是1的情況。

師：是這樣的嗎？

師：你們小組能從不同的圖形中發現共同點，真是善于觀察！也就是說，S=n÷2在什么情況下才成立呢？如果用a表示內部釘子數，即a=1時，S=n÷2。

師（小結）：看來不僅要善于發現規律，而且要主動去驗證規律，這樣才能得出正確的結論。

【解讀】本環節主要引導學生明白規律要具有普遍性。首先，由簡單的多邊形入手，初探規律。其次，延伸到用任意多邊形來驗證結論，發現結論不能適用于圍成的每一個多邊形。這就引發了學生的思考：“是剛才的結論錯了嗎?若沒有錯，為什么有些多邊形沒有這樣的規律呢?”產生了這樣的困惑，學生就會主動地去探究癥結所在，在這樣有目的的探究中終于明白結論不具有普遍性。最后，通過小組內的合作完善結論，在驗證成功、持續應用中形成第二次認知沖突，引發學生探究。學生發現釘子板上多邊形的面積不僅跟邊上的釘子數有關，還跟多邊形內部的釘子數有關，在產生猜想和驗證不成立的沖突后，學生提出：“這些圖形的高都是2cm。”教師對此并沒有采取否定和回避態度，而是讓學生通過自我辯論形成有價值的思考，從而實現認知結構的更新。

思考之二：怎樣驗證猜想——讓“數學模型”助力“符號意識”

“釘子板上的多邊形”是一節探究規律的實踐活動課，在學生通過數據整理初步提出猜想后，怎樣讓學生驗證猜想才能實現深度學習呢？

【片段二】探究內部釘子數

師：接下來，我們要研究內部釘子數a=3，a=4時的情況，誰能猜猜S等于什么？

生1：當a=3時，S=n÷2+2。

生2：當a=4時，S=n÷2+3。

師：這個猜想正確嗎？我們還需要進行——（生齊答“驗證”）

師：請大家選擇一個感興趣的多邊形進行研究，驗證面積與邊上釘子數是否有這樣的關系。

（學生驗證，匯報交流）

師：我們接著往下寫，寫得完嗎？誰能概括一下這個規律？

生3：S=n÷2+（a-1）。

師：那我們往上想，如果a=0，S 等于多少呢？你是怎么想到的？

生4：當a等于0時，S=n÷2-1。

師：到底對不對呢？我們來驗證一下。誰來指一指，這減少的1在哪里?

師：這個多邊形，內部釘子數是0，面積怎么算？

生5：S=6÷2+0。

師：老師把中間這個釘子上移1格，現在這個多邊形內部釘子數變成了多少？

生6：0。

師：面積怎么算？S=6÷2-1，減去的1在哪里？你能在圖中指一指嗎？（再次證明了這個規律）

師：我們再次回到黑板上，觀察我們得到的這些結論，你有什么發現？

師：當多邊形內部釘子數為a時，S=n÷2+（a-1）。

師：接下來，大家覺得我們會研究什么問題？研究的時候有什么好的建議？

1．基于學生學習的選擇

一節優質的數學課，不應該在各種“創新”的外表形式上賣力，而應變革教學方式方法，本真地對待學生。開展的教學活動應該有學生本位的思想，從學生的立場出發，引領學生。

（1）自己“做”研究材料。由教材例題提供研究材料轉為現場“做出”研究材料。首先組織學生研究多邊形內有1、2枚釘子的情況，研究的學習素材是教材提供的典型多邊形的材料，在驗證環節和研究多邊形內部有3、4枚釘子的多邊形面積時，所有的研究材料都是學生自己現場畫出來的。

（2）自己選擇探究方向。 每個環節結束，教師都會問：接下來我們將會研究什么？學生都能按照預設自己選擇下一個探究方向。

（3）自己選擇策略方法。 “從最簡單的內部釘子數是1研究起”“要驗證”“咱們多畫幾個多邊形舉例，固定內部釘子數，數出邊上的釘子數……”學生自己選擇研究策略，根據自己設計的研究方案，自主在釘子板上圍出幾個多邊形，計算并記錄數據。教師則相機引導學生把這些具有相同關系的多邊形進行對比，發現它們的共同點，繼而發現多邊形的面積與它邊上釘子數的關系。

自己選擇探究方向，自己選擇策略方法，自己“做”研究材料，這樣的探究活動更加原生態，能讓學生獲得探究過程的“真”體驗。由這樣的體驗中總結出來的活動經驗，更容易遷移到新的探索活動中。

2．觸及數學知識本質的“大問題”

“當多邊形內有1枚釘子時，它的面積和邊上的釘子數有什么樣的關系？”“圖形內有2枚釘子時，圖形面積和邊上的釘子數有怎樣的關系？”“圖形內有 3 枚、4 枚……釘子時，圖形面積和邊上釘子數分別有怎樣的關系？”“你能用一個含有字母的式子概括出以上所有的規律嗎？”這一連串的提問能夠引發學生思考，直到觸及數學知識本質的“大問題”，從而將學生思維引向深入，引導學生由淺入深、由表及里地剖析問題本質。

3．數學模型助力符號意識

數學學科是強調“建?！钡膶W科：建立模型—解釋模型—應用模型。其實，這就是一個符號化的過程。因此，數學模型的建立與學生符號意識的培養密不可分。

本節課教師從內部釘子數為1開始探究規律，引導學生運用不完全歸納法發現了格子中多邊形的面積與相關格子點數之間的關系，應該說這一過程側重培養了學生的合情推理能力。學生通過尋找不同式子的共同特點，類比推理得到了更具一般意義的 “通用公式”，這一過程側重鍛煉了學生初步的建模能力。歸納推理與演繹推理交相呼應、相映生輝，學生的推理能力和初步的建模能力在充分思辨的過程中得到了實質性的提升。

思考之三：永續的“學力”：從“知識本位”走向“方法習得”——自我性監控

對于探索規律的教學，教師除了要關注“探究什么”，更應關注“用什么探究”和 “如何探究”，不僅要讓學生習得規律性的知識，還要教給他們“能夠帶得走”的永續的學力。

自我性監控是一種高層次的思維活動，是指學生自主設計探究方案、自我實施方案以及回顧反思整個學習歷程，以加深對知識的理解，促進思維品質的提升。本節課在探究S=n÷2規律后，設計了及時組織學生進行回顧探究過程、掌握自主操作探究的方法這樣一個環節：確定內部釘子數、畫出多邊形—算出多邊形的面積—觀察類比、提出猜想—舉例驗證—得出結論—用含字母的式子表示規律。通過對學習過程或某一環節的回顧、整理，展開思辨性、批判性思維，這就是自我性監控的思維。它是一種反思性思維，有利于學生數學活動經驗的積累。學生有了這些數學活動經驗的指引，內部釘子數是2、3、4……的多邊形面積與邊上釘子數和內部釘子數存在的規律就水到渠成地被探究出來。這種經驗的改造和重組、超越與提升，使探究學習不斷向縱深處推進，不僅讓學生掌握了科學的探究方法，而且發展了學生的高階思維能力，從而為后續學習提供不竭的動力。

本節課的探究活動并不以得到皮克定理而終止，“為什么要再減去1？”“經歷了探索的過程，對于皮克定理你還有什么想進一步了解的嗎？”這些問題將學生帶入深層次的思考：立體圖形也有皮克定理嗎？進而引發學生新一輪的思考和探索。