探究數學建模思想在高中數學教學的應用

曾眺英

嘉應學院數學學院 廣東梅州 514015

隨著科學技術的發展和社會的進步，數學在其他領域滲透的深度和廣度也在與日俱增。作為溝通數學和實際問題的橋梁，數學建模越來越受到人們的重視。伴隨數學課程的深入改革，高中生數學建模能力的培養已經成為當代教育教研工作中的重點之一。《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》首次提出把數學建模作為中學生必備的數學核心素養。筆者對高中數學骨干教師進行了深入訪談，在此基礎上對數學建模思想在高中數學課堂教學中的應用進行了探究，對高中數學教學中如何更好地融入數學建模思想提出自己的意見與建議。

一、什么是數學建模

在了解數學建模的內涵之前，需要先知道數學模型的定義。數學模型是為了一個特定目標，根據特有的內在規律，對于一個特定的對象做出一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到一個數學結構，數學結構可以是數學公式、算法、表格、圖示等。

數學建模是基于數學思維運用模型解決實際問題的綜合實踐活動。它的一般步驟可以概括為：通過實際情境尋找數量關系，提出相關的數學問題，利用綜合知識分析問題建立數學模型，利用數學運算對模型進行求解，將結果和實際情況進行比較，然后檢驗該模型是否合理和實用。假如得出的結果和實際并不相符，那么需要補充、修改相關條件，重新建立模型，有時需要多次反復和完善，直到得出一定滿意程度的檢驗結果為止。高中常用的模型有函數模型、幾何模型、數列模型等，在建立這些數學模型的過程中蘊含著數學建模思想。

二、高中開展數學建模活動對學生的影響

(一)培養學生發現問題和提出問題的能力

數學建模活動是主動性的行為。在實際的情境中，教師先引導學生用數學的眼光進行觀察，發現并提出實際問題，并且用數學思維和語言描述清楚這些問題。

學生用數學思維去分析影響問題解決的因素以及相互之間的關系，然后提出解決這些問題的思路。這就要求學生有一定的洞察能力，善于從實際問題原型抽取其數學本質。教師平時要引導學生帶著數學的慧眼去觀察客觀世界，發現生活中的數學現象。

(二)培養學生應用知識分析問題、解決問題的能力

數學建模能力是分析問題和解決問題能力的重要組成部分。數學建模的一般流程：創建問題情境，利用實例引導學生自主探索，建立數學模型，進行數學分析處理，解決實際應用問題。因此，學習和研究數學建模有利于學生探索數學的實際應用，激發學生應用數學的興趣，培養他們在實際生活中能習慣性地想到用數學思維解決問題。

(三)培養學生創新的精神和能力

數學建模本身是對現實問題進行科學處理和創造的思維過程。數學建模的問題一般都來自于實際生活，有著明確的背景和條件，沒有標準答案，主要看最后的結果能否經受得住實際檢驗。隨著模型的建立與問題的解決，學生可以養成科學的態度，利用數學方法，逐步形成創新性思維，提高他們的創新能力。

(四)鍛煉學生的搜集資料和自主學習的能力

數學建模是聯系數學和實際問題的橋梁。學生為了解決數學建模問題就需要深入調查問題背景，查找相關文獻資料，甚至在某些情況需要做實地調查，這些其實已經潛移默化地鍛煉了學生搜集資料和自主學習的能力。

(五)培養學生團隊協作的能力

數學建模是以小組為單位展開工作的，在這個過程中，要求小組團隊要有一個明確的工作職責分配。學生成員之間保持溝通與合作，懂得欣賞，尊重彼此，相互傾聽，在各種不同意見的爭辯中共同找出最佳的解決方案。數學建模體現的是團隊精神，培養的是團隊協作的能力。

(六)激發數學學習研究的興趣，增強撰寫論文的能力

撰寫論文的能力是數學建模的基本技能之一，也是科技人才的基本能力之一，是表現我們所做工作的唯一方式。撰寫出來的論文，要能讓讀者清楚地知道文章中使用了哪些方法解決了哪些問題，結果怎么樣，效果如何，等等。

(七)學生可以初步接觸計算機軟件的功能

建立數學模型需要創造性思維，也需要扎實的數學基本功與許多化學、生物、物理等其他學科知識，而求解數學模型常常離不開計算機。數學建模的很多問題中有大量的數據需要統計處理，有些數據量甚至多達幾百頁，必須借助計算機與數學應用軟件來處理這些海量數據和求解復雜的數學模型。教師們要教會學生使用Matlab等常用數學軟件來正確得到模型的解。在這個過程中，學生利用計算機制作圖像、處理數據的能力得到了提升，也讓他們體會到計算機學習的樂趣。

三、高中生數學建模的教學現狀

新頒布的數學課程標準中，高中數學教學中培養學生的創新能力和提高學生的實踐操作能力是新課程標準非常重要的組成部分，數學建模的教學活動正是實現這一標準的重要手段。目前，數學建模對于高中數學教學而言，還是相對新穎的事物，數學建模課程的教學現狀主要有以下幾個方面：

(一)高中數學課堂教學中對數學建模思想融入的重視度還不夠

不少高中數學教師沒有對學生進行研究性學習探索的引導，依然停留在數學教材內容的教學方面。教師們認為研究式數學建模教學實施起來非常困難，主要是因為平時的教學負擔比較重，高中課程教學內容多、學時少，完成教學計劃尚不十分從容，還要應付會考和高考。

(二)高中數學教師欠缺數學建模相關素養與經驗

由于多數中學教師在大學期間并沒有學習過有關數學建模的知識，沒有參加過數學建模的比賽，所以他們對數學建模的概念和建模的意識都比較模糊。數學建模是在2003年才正式進入高中數學建模教學中，真正出現在高中教材的時間還是比較短的。近年來，不少中學邀請了相關專家進校以報告、講座、論壇等形式對教師們進行培訓，提升了中學教師們的數學建模意識和教學能力。

(三)高中學生還缺乏豐富的數學知識

雖然不少學生對數學建模思想融入課堂教學中表現出很大的興趣，然而學生的知識儲備還不夠，因為它涉及的面比較廣泛，包括線性規劃、指數函數、冪函數、圓錐曲線等，此外還涉及物理學、化學、地理學等方面的知識。因此，在學生掌握了一定建模知識的基礎上，教師才能實現數學建模思想融入數學課堂教學中。

四、將數學建模思想融入高中數學教學的策略

(一)編寫相對合適的數學建模教材

當前適合高中生水平又與課本教學內容相結合的教材并不多，因此編寫一套合適的數學建模校本教材顯得尤為重要。建模教材應聯系實際生活，涉及時事熱點、市場經濟，諸如成本、利潤、儲蓄、保險等都是中學數學建模的好素材。適當地選取這些素材融入數學課堂教學活動中，讓高中學生掌握一些類型的數學建模方法，不但能培養他們正確的經濟意識，而且還為日后主動以數學的方法處理問題提供了能力上的準備。而中學數學教學內容中的函數、方程(組)與不等式、概率統計、排列組合、多面體等定義也涉及了數學模型。作為中學數學建模的內容相當豐富，比如增長率、環境保護、規劃、經濟圖表、市場預測、供求與存貯等問題，以及物理、化學、生物、醫學等學科方面的問題，這些學科應用題都是很好的建模素材。中學數學教師們可以在充分討論與通力協作的基礎上，編寫出適宜的應用性強的數學建模校本教材。

(二)深入挖掘高中教材內容蘊含的數學建模思想

教師們要轉變觀念，意識到數學課堂中融入建模思想的重要性。高中數學教材中很多環節都體現著數學應用的建模思想。教師們在備考課時需要認真研讀教材內容，深入挖掘和拓展相關知識的背景，精心設計好課堂情景。比如，在講授二次函數這節課前介紹炮彈的軌跡問題、數列的課前引入國王下象棋問題。教師們在講授這些問題情景時，可以把課前引入設計成微型的數學建模活動，引導學生進行自主探究，建立數學模型，然后利用新知識對模型進行分析。在課本的數學定義、定理和公式的教學中，教師可以引導幫助學生找到實際生活中的原型，將數學知識和實際應用聯系起來，設計一些對應性的練習題。比如，教師們在講解完定積分內容后，可以設計一些關于計算變速直線運動路程或者變速功的練習題。在講授“統計”這章內容時，教師們可以給學生布置實踐作業來加強他們在日常生活中的數學體驗。學生在這個過程中不僅可以對數學知識加深理解，同時也激發了學習興趣。

(三)從數學應用題到數學建模題

數學家張奠宙曾經說過：“應用題的本質是數學建模”。高中數學應用題一直是教學的重點與難點，應用題可以說是簡單初級的數學建模題，在實際問題中如果找出數學的模型，也就是純數學的問題，然后解決這個數學問題，再回到實際問題，也就解決了實際問題。

例如，下面這個關于價格與利潤的問題：

顧客第一次在商店購買件商品共花費了元，第二次去購買該商品時單價下跌，120件商品降價80元，第二次購買的商品比第一次多了10件，一共花費20元。如果該顧客第一次購買時至少花費10元，問他第一次至少購買多少件商品？

這個題目的情景反映了顧客兩次購買的總件數和消費的價格之間有著等式意義上的關聯性，所以可以使用方程模型進行求解，也即是，每件商品的價格×所購商品的數量=總花費。方程思想是高中階段數學學習的一個重要思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型，然后通過解方程(組)來求解問題。

(四)組建數學建模實驗室，分小組學習

以自愿為原則組織學生報名，在學校的支持和配合下成立中學數學建模實驗室。高中生必須在教師的指導下進行數學建模活動，對學生們進行分組，每組由一個教師負責指導，同時確定上課的教師，學生在一開始估計對數學建模都不是很清楚，所以在第一節課中，主要讓學生對數學建模有一個宏觀的了解，使得學生知道數學建模并不陌生，在生活學習中很多地方都在用這種建模思想，之后的課程主要讓他們掌握一些建模的方法。通過對數學建模思想方法的學習，學生或許躍躍欲試，想自己進行數學建模。另外，上課時也可以向學生展示往屆學生的優秀建模論文，使學生們更有信心和動力地進行數學建模。

由于高中生知識能力有限，讓他們自己找感興趣的問題進行數學建模比較困難，所以事先可以給出一些問題讓他們挑選自己感興趣的內容，在選好需要進行建模的問題后，由每一組的組長分工先找相關資料，周末大家到實驗室進行討論。此時教師正確引導很重要，不能過分要求數學建模過程的嚴密性、結果的準確性。及時評價學生在數學建模的表現，讓他們重過程、重參與，主動地參與數學建模活動，獲得應用數學的體驗和成功的喜悅非常重要。在教師的啟發、引導下，學生最終通過小組討論，完成模型選擇和建立、計算、驗證等過程，最后用小論文的形式呈現自己的研究成果，教師還需要對學生建模中的表現進行評價。在“教師給定問題型”的數學建模的實踐中，學生將經歷建模的全過程，其中在模型的求解這一環節，往往需要借助計算機選擇一個合適的數學軟件平合，通過數學實驗來求解模型。

在這種數學建模實踐中，學生的研究結果必須會用論文進行表達，會表達自己的研究思路及結果是一個學生綜合素質的體現。由于數學建模論文的撰寫有一定的格式要求，這種格式要求是為了讓作者更好地展現自己的研究結果，也是對論文質量的保證。所以，教師們在教學中需要對學生論文撰寫的格式進行專門的輔導。

(五)優化高中生數學建模活動的評價設計

數學建模活動不同于求解數學題目，學生在數學建模活動中所采用的方式是一種動態的表現，采用總結性的或者傳統意義上的形成性評價方式都難以測量和評價。教師們可以通過現場觀察、作品上交或研究報告撰寫開展評價活動，依據數學建模活動的特點，注重過程性的評價與交流。以數學建模活動的特點作為參考依據，教師們可以從選題、數學知識的應用、數據分析和處理、信息技術等工具的使用、交流和表達、數學建模的結果這六個角度進行評價設計。

高中新課程標準還指出，對于評價需要遵守的原則：重視學生數學學科素養的達成，以數學學科核心是素養的達成作為評價的基本要素；重視評價的整體性和階段性，把教學評價的總目標合理分解到日常教學評價的各個階段。因此，教師們可以分階段、多維度地對數學建模活動展開評價，從形式上看，除教師評價之外，還可以是學生的互評或者自評。無論采取何種方式，最終目的都是一致的，通過數學建模活動提升學生的綜合素養，為高中學生的終生發展奠定基礎。

結語

嚴士健教授曾經在《數學教育應面向21世紀而努力》的報告中指出：我國中學生所學的數學知識與學生的日常生活及他們具有的其他知識和經驗聯系太少，無疑會給他們以后的工作發展造成阻礙。由此可知，在高中階段開展數學建模活動是很有必要的，教師們要根據中學生數學建模能力的水平和現狀，研究出符合本校學生數學建模能力發展的實踐活動與教學設計。

學校要根據目前人才培養和教學革新的需要，盡力給學生們提供自主學習的環境。符合學校實際情況的數學建模活動，可以幫助高中學生體驗數學思維在解決實際問題中的意義與價值，在日常生活中體驗數學與其他學科之間的關聯，感受運用綜合知識解決實際應用問題的過程，有利于激發高中學生數學的學習興趣，提升他們的動手能力和創新意識。數學建模活動的開展有利于增強學生的形象思維能力，給他們創造力和團隊協作力的發展提供了極好的情境，同時幫助學生意識到數學存在于實際生活中的很多地方，數學對解決很多問題都是有用的，要學好數學知識并且學會用數學解決實際問題。