例析函數對稱性質及其應用

福建省廈門實驗中學 (361100) 沈振軍

在近年高考數學試題中，以抽象函數或具體函數為載體考查函數的對稱性題型是常考和創新題型，此類題型突出對轉化與化歸思想、數形結合思想的考查與應用；要求學生具備獨立分析問題，解決問題的重要能力；同時體現了對數學抽象，邏輯推理等數學核心素養考查.本文從關于軸對稱的函數、關于點成中心對稱的函數、關于直線y=x對稱的兩個函數、函數與導函數的對稱性關系、利用函數的對稱性找不等關系等五個方面的性質例析其應用.

1.關于軸對稱的函數

性質1 函數y=f(x)關于直線x=a軸對稱等價于f(a+x)=f(a-x)(或f(2a-x)=f(x)).

例1 若函數f(x)=2|x-a|(a∈R)滿足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在區間[m,+∞)上單調遞增，則m的最小值等于.

解析：由函數f(x)滿足f(1+x)=f(1-x)，可得其關于x=1對稱，故a=1，則f(x)=2|x-1|，利用復合函數單調性的判斷方法，可知函數f(x)在區間[1,+∞)遞增，所以m的最小值為1.

性質2 若函數y=f(x)同時關于直線x=a與x=b軸對稱，則函數f(x)是周期函數，且周期T=2|a-b|.

A．f(2)

C．f(-2)

性質3 若函數y=f(x)關于直線x=a軸對稱，且在x=a處可導，則f′(a)=0.

2.關于點中心對稱的函數

性質4 函數y=f(x)關于點(a,b)中心對稱等價于f(a-x)+f(a+x)=2b(或f(2a-x)+f(x)=2b).

性質5 (1)若函數y=f(x)同時關于點(a,0)和點(b,0)中心對稱，則函數f(x)是一個周期函數，且周期T=2|a-b|；(2)若函數y=f(x)既關于直線x=b對稱，又關于點(a,0)成中心對稱，則函數f(x)是一個周期函數，且周期T=4|a-b|.

例7 若函數f(x)的定義域為R，且f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，則( ).

A.f(x)是偶函數 B.f(x)是奇函數

C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函數

解析：f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，則函數f(x)關于(1,0)和(-1,0)中心對稱，則函數f(x)是周期函數，且周期T=4，則f(x+3)=f(x+3-4)=f(x-1)，則f(x+3)是奇函數，故選D.

3.關于直線y=x對稱的兩個函數

性質6 若兩個函數f(x)和g(x)互為反函數，則這兩個函數的圖像關于直線y=x對稱.

4.函數與導函數的對稱關系

性質7y=f(x)是可導函數，若y=f(x)的圖像關于點(m,n)對稱，則y=f′(x)圖像關于直線x=m對稱；若y=f(x)圖像關于直線x=m對稱，則y=f′(x)圖像關于點(m,0)對稱.

5.利用函數的對稱性找不等關系

性質8 (1)已知函數f(x)關于點(m,n)成中心對稱，且f(x)為增函數.若x1+x2>2m，則有f(x1)+f(x2)>2n.若x1+x2<2m，則有f(x1)+f(x2)<2n，反之亦然;(2)已知函數f(x)關于點(m,n)成中心對稱，且f(x)為減函數.若x1+x2>2m，則有f(x1)+f(x2)<2n.若x1+x2<2m，則有f(x1)+f(x2)>2n，反之亦然.

例13 定義在R上的連續函數f(x)滿足f(-x)=-f(x+4)，當x>2時，f(x)單調遞增，若x1+x2>4且(x1-2)(x2-2)<0，則f(x1)+f(x2)和0的大小關系為.

解法一(代數方法)：由x1+x2>4且(x1-2)(x2-2)<0，則可假設x1<2，可得x2>4-x1>2，利用函數f(x)在x>2單調遞增，可得f(x2)>f(4-x1),利用f(-x)=-f(x+4)，可得f(4-x1)=-f(x1)，則可得f(x1)+f(x2)>0.

解法二(對稱函數的方法)：由f(x)滿足f(-x)=-f(x+4)，可知函數f(x)關于點(2,0)成中心對稱，連續函數f(x)在x>2單調遞增，可得f(x)在整個定義域上單調遞增，由x1+x2>4,則可得f(x1)+f(x2)>0.

綜上實例可以看出，函數的對稱性與函數的奇偶性、單調性、最值、周期性、方程的根及圖像的交點等性質結合，即考查從特殊(奇偶性)到一般(軸對稱和點對稱)的推理能力，又考查了化歸轉化能力.此類題靈活性強，條件較隱蔽，能較較好地考查學生數學核心素養的要求.