對比一般巧轉化 特殊思維妙應用

江蘇省高郵市第一中學 (225600) 郭 林

特殊與一般的數學思想方法是通過對數學問題的特殊情形(如特殊函數、特殊數列、特殊點、特殊位置、特殊值、特殊方程、特殊形狀等)的構建與解決，從而尋求對一般的、抽象的、運動變化的問題的解決思路與技巧方法，特別是解決一些小題(選擇或填空題)中比較常用的一類基本技巧策略.

1.特殊函數

例1 (多選題)函數f(x)的定義域為R，且f(x-1)、f(x+1)都為奇函數，則下列說法正確的是( ).

A.f(x)是周期為2的周期函數

B.f(x)是周期為4的周期函數

C.f(x+2)為奇函數 D.f(x+3)為奇函數

分析：根據題目條件，一般的常規解法是利用函數基本性質的定義加以化歸與轉化，結合函數的奇偶性的定義，利用定義建立相應的關系式，合理變形與轉化來分析與處理.而通過特殊函數的構建，結合函數的基本性質來合理配湊滿足條件的特殊函數，進而通過特殊函數來分析與判斷.

解法1：(常規解法)由f(x-1)、f(x+1)都為奇函數，則有f(-x-1)=-f(x-1)，f(-x+1)=-f(x+1)，從而f(x)=-f(-x-2)，f(x)=-f(-x+2)=-f(2-x)，故f(2-x)=f(-x-2)?f(x+2)=f(x-2)?f(x+4)=f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數；又由于f(x-1)為奇函數，結合f(x)是周期為4的周期函數，則f(x+3)=f(x-1)也是奇函數.綜上，故選BC.

點評：利用特殊與一般的思想，聯想到滿足條件的某一具體的特殊函數實例，以特殊(或具體)函數的特點來推斷一般函數的特點，通過“一般”與“特殊”之間的轉化，問題將歸結為具體的數學問題來求解，變得簡潔明了，有效地降低了問題的抽象程度.特殊函數法判斷此類問題，簡單快捷，只是在選取特殊函數時存在一定的難度，而且選取出來的特殊函數常不具有普遍性，容易出現誤判.

2.特殊值

例2 (多選題)已知函數f(x)=x3+ax+b，其中a，b∈R，則下列選項中的條件使得f(x)僅有一個零點的有( ).

A.a

分析：根據題目條件，一般的常規解法是利用函數與導數的關系，結合函數的零點來分析與判斷，過程比較繁雜，不易判斷(這里不對解析過程加以展示)；而利用特殊值法，結合不同的選項選取對應的特殊值加以分析與判斷，快捷易操作.

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解析：(特殊值法)對于選項A，由函數f(x)是奇函數，知b=0，結合a

點評：通過選項A、C中一個參數的確定，另一個參數可以利用條件取特殊值，進而確定函數的解析式，通過因式分解確定對應的零點情況，進而巧妙排除，結合多選題至少有兩項是正確的特點，直接確定剩下的兩選項為正確.

3.特殊位置

例3 已知△ABC是半徑為2的圓O的內接正三角形，P是圓O上的任意一點，則PA2+PB2+PC2的值為( ).

A.12 B.24 C.48 D.不能確定

分析：一般的常規解法是坐標法，利用構建平面直角坐標系，通過點的坐標的確定與設置，結合向量的模的運算與轉化來確定對應的值；而通過動點的特殊位置，直接利用三角形的邊長來確定向量的模的平方問題，更加簡單有效.

圖1

點評：利用動點的變化的“動”的過程與特殊位置的“靜”的狀態，實現借助特殊位置來表示動點所運動過程中一個“瞬間”，以特殊來解決一般性問題.在解決一些平面幾何、解析幾何以及立體幾何中的動點問題時，經常可通過考慮特殊位置來實現問題的破解.特別注意的是，特殊位置法中，經常通過選取動點的不同特殊位置時也是同樣的值，從而增強答案的可信度.

4.特殊形狀

A.0 B.2 C.-2 D.-4

分析：一般的常規解法是基底法，利用平面向量的線性關系與線性運算，結合基底法的轉化與應用，利用數量積公式來分析與求解；而通過特殊三角形形狀，利用直角三角形的直觀形象，涉及熟悉的直角三角形與等邊三角形問題，處理起來更加簡單快捷，方便問題的轉化與處理.

圖2

點評：利用選擇題中結論為定值，可以選取特殊形狀的平面幾何圖形(這里選取以C為直角的直角三角形)來特殊化處理，此時對應的直角三角形是一個非常熟悉且常用的直角三角形，結合邊與角的關系來分析與處理，進一步綜合等邊三角形的性質來分析與推理說明，很好減少推理與運算.

利用特殊與一般的數學思想方法來解決一些相關的選擇題與填空題，真正做到“小題小做”，一定程度上可以節約解題時間，進而快捷地作出正確的判斷或求解，提高解題速度，簡化解題過程.