基于球頭刀具的螺旋錐齒輪齒廓倒棱軌跡規劃＊

胡 敏 洪榮晶 孫小敏 張建坤 林曉川

（①南京工業大學機械與動力工程學院，江蘇南京 211816；②南京工大數控科技有限公司，江蘇南京 211899）

與其他普通的齒輪相比，螺旋錐齒輪承載能力強、傳動效率高且噪聲小，這些優點使得螺旋錐齒輪被廣泛用于各個領域。但是，在加工過程中，加工刀具對螺旋錐齒輪毛坯的切齒，會在其兩端的齒廓處留下殘刺，這些殘刺大大增加了齒輪嚙合時的磨損，造成傳動不穩定，并降低齒輪的使用壽命，因此在完成齒輪的加工后需要進行齒廓倒棱[1]。由于螺旋錐齒輪齒廓倒棱多為自由曲面，現有的倒棱方式多以手工倒棱為主，國內外未見公開的螺旋錐齒輪齒廓倒棱的技術文獻報道。然而，手工倒棱會帶來很多明顯的問題：加工效率低下、工件的表面難以保證以及工人的工作環境惡劣等。隨著五軸加工機床的誕生，在解決自由曲面加工問題上起到了很大的作用。但是，額外的兩個旋轉軸在軌跡規劃上也產生了很多問題。為了實現螺旋錐齒輪在五軸機床上進行倒棱加工，有必要針對倒棱軌跡規劃上深入研究。

在倒棱研究方面，公開的技術文獻對螺旋錐齒輪齒廓倒棱研究少之又少。翟明偉[2]設計的端面齒廓旋分倒棱刀具實現漸開線圓柱齒輪齒廓倒棱的連續分度加工，極大地提高了加工效率；張亞斌[3]針對齒輪齒廓倒角加工過程的研究，以漸開線圓柱齒輪為對象，開發出直齒圓柱齒輪數控齒輪倒角加工軟件；李佳等[4]為解決螺旋錐齒輪在實際生產中依靠人工實現齒頂倒棱的問題，建立出砂輪中心的中心軌跡和理論軌跡逼近模型，研究各參數對逼近誤差的影響從而實現砂輪軌跡的優化，最后實現可行的齒頂倒棱；郭曉東等[5]提出一種螺旋錐齒輪端銑加工刀位的計算方法，通過調整盤銑刀與加工面間的相對位置，以及刀軸矢量的控制，從而實現高效率的齒頂倒棱；魏巍等[6]提出實現高效加工的倒棱方法，該方法基于錐形砂輪，遵循砂輪垂直于弧齒錐齒輪齒面的原則，最終實現端銑加工；卞博等[7]基于建立的齒頂棱線方程推導出刀具軌跡，并經過幾何變化計算出刀位點以及刀軸矢量，最后實現精確控制螺旋錐齒輪齒頂倒棱。

在軌跡規劃方面，Toumier C等[8]基于等殘留高度法進行五軸加工刀具的軌跡規劃研究，使加工后的零件表面獲得基本一致的殘留高度；吳寶海等[9]提出自由曲面五軸數控加工的刀具軌跡規劃需要從三維的角度出發，研究出刀具與自由曲面治安的幾何嚙合關系；樊文剛等[10]指出五軸端銑加工中，刀具軌跡的規劃應該盡可能從整體出發，要充分考慮機床的運動學等研究；黃曼曼等[11]提出一種對斜齒輪齒頂線同時進行倒棱的方法，通過計算刀具參數來規劃刀具的軌跡；崔雪瑩等[12]僅對用于齒廓弧面倒棱的擠棱刀廓形進行了設計，張飛等[13]僅提出了一種基于CAD圖形的齒輪齒廓倒棱方法，均未對螺旋錐齒輪的齒廓倒棱進行研究。

結合以上相關的齒頂倒棱研究，本文提出一種適合螺旋錐齒輪小輪的齒廓倒棱加工技術：從螺旋錐齒輪的齒廓線入手，根據球面漸開線的原理獲得完整齒廓曲線方程；基于空間坐標轉換原理獲得刀位點和刀軸矢量，并規劃出倒棱加工的軌跡；最后通過實例來驗證該軌跡的可行性，達到替代傳統的人工倒棱、提高加工效率的目的，實現螺旋錐齒輪齒廓在中低端數控機床上的倒棱。

1 齒廓線方程

1.1 建立齒廓線方程

根據球面漸開線齒面相形成理論[14]，建立如圖1所示的球面漸開線數學模型。以基圓錐頂點O作為新建坐標系的原點，以頂點O與 圓心O1之間的連線作為直角坐標系的Z軸，且由O到O1的指向為Z軸的正方向，以圓心O1與 基圓上點K之間的連線作為坐標系的X軸，且方向由圓心O1指 向點K，并根據笛卡爾坐標系確定坐標系的Y軸。

圖1 球面漸開線數學模型

由圖1可知，球面漸開線位于以點O為圓心、半徑為R的球面上，因此可知其參數方程為

根據球面漸開線數學模型中的幾何關系整理出式（2），δb為基錐角，θ為發生面與基錐底圓切點間的展開角，α為壓力角，δ為節錐角。

螺旋錐齒輪的一個完整齒廓線包括：齒頂圓弧曲線、工作齒廓曲線、過渡圓弧曲線以及齒根圓弧曲線，且工作齒廓曲線和過渡圓弧曲線均有兩條。齒根圓弧曲線和齒頂圓弧曲線分別是上述半徑為R球面上齒根圓和齒頂圓的一段圓弧，因此可得

當βa換 為βf、δas換 為δf s、δa換為δf，式（3）即可變成齒根圓弧曲線的參數方程。

過渡圓弧沒有具體的參數方程，可以近似為一段平面的圓弧，其圓弧半徑rc選取為式（4），rb為基圓半徑，r f為齒根圓半徑，rm為加工螺旋錐齒輪刀具的最大半徑，mn為法面模數。

以上為螺旋錐齒輪小輪大端的完整齒廓方程。

1.2 齒廓線方程的驗證

以螺旋錐齒輪小輪大端為例以此驗證方程，主要參數為：小輪齒數為15，內錐距為30 mm，外錐距為95.295 mm，節錐角為28.18°，齒形角為20°，螺旋角為39°，齒頂高系數為0.7，頂隙系數為0.2。將參數代入1.1節中的小輪大端的齒廓線方程以及王占福[15]構建的球面漸開線模型中推導出的圓錐齒輪球面漸開線方程，繪制的兩組齒廓線如圖2所示。式（1）～（3）繪制的曲線為圖2中實線即理論齒廓曲線，雙劃線為對比齒廓曲線；由圖2c的工作齒廓z軸差值折線可知，在相同的x、y坐標值下，兩齒廓線方程上對應z軸的差值在0.063～0.066 mm，可知差值波動范圍為0～0.003 mm。這些點分布在整個齒廓線上，由于存在球面半徑R以及其他角度參數位數取舍時帶來的誤差問題，因而對比齒廓曲線和理論齒廓曲線呈現近似平行的狀態，可以證明該理論齒廓曲線方程是準確的。

圖2 螺旋錐齒輪齒廓線

2 齒廓線目標離散點的獲取

根據式（1）～（3）的理論方程，按照等弧長的原則對其進行處理，獲得齒頂線、工作廓線以及齒根線上的離散點，過渡圓弧曲線需要近似處理，基圓半徑小于齒根圓半徑，因此過渡圓弧處的圓弧半徑可由式（4）計算得到。

由圖2中繪制的齒廓線可知，過渡圓弧處Z軸變化最小，因此等分Z軸，作為過渡圓弧處離散點的Z軸坐標。假設過渡圓弧為平面XOY上的一段圓弧，根據等弧長的原則計算出數據點的X軸和Y軸坐標，最后繪制出所有的離散點，并與理論齒廓線方程對比，如圖3所示，圖中齒頂線、齒廓線以及齒根線離散點與齒廓線方程基本重合，保證了后續對倒棱軌跡的研究。

圖3 目標離散點與齒廓線方程對比圖

3 刀位點和刀軸矢量的計算

3.1 空間坐標轉換

建立圖4中工件坐標系和刀具坐標系的關系[16]，坐標系S2(O2-X2,Y2,Z2)為工件坐標系，坐標系S3(O3-X3,Y3,Z3)為 刀具坐標系，坐標系S(O-X,Y,Z)與圖1球面漸開線數學模型的坐標系一致，建立的坐標系S1(O1-X1,Y1,Z1)是為了方便目標離散點從坐標 系S(O-X,Y,Z)到 工 件 坐 標 系S2(O2-X2,Y2,Z2)之間的轉換，L為坐標系S(O-X,Y,Z)與 坐標系S1(O1-X1,Y1,Z1)之間的距離。

圖4 工件坐標系與刀具坐標系關系

設坐標系S(O-X,Y,Z)下 某一點的坐標為(x,y,z),轉為坐標系S1(O1-X1,Y1,Z1)后 該點的坐標為(x1,y1,z1)，由圖4關系可知：

根據圖4，假設坐標系S1(O1-X1,Y1,Z1)與工件坐標系S2(O2-X2,Y2,Z2)之 間的Z1軸 與Z2軸的夾角為β，因此X1軸 與X2軸 所夾的銳角為β，設轉為工件坐標系S2(O2-X2,Y2,Z2)后 的坐標為(x2,y2,z2)，則由空間坐標轉換原理可得：

其中，M21為 坐標系S1(O1-X1,Y1,Z1)向工件坐標系S2(O2-X2,Y2,Z2)轉換的變化矩陣，且變換矩陣如下。

3.2 計算刀位點和刀軸矢量

對于五軸數控機床，工件的端面齒廓一般采用端銑刀和球頭銑刀加工，其中，螺旋錐齒輪倒棱加工大多采用錐形銑刀。相較于錐形銑刀，球頭銑刀可以降低實際切削半徑，適當減小切削加工時的切削功率和切削扭矩；另外，在球頭銑刀加工時切入角是連續變化的，不存在突變的現象，此情況下的切削力是一個連續變化的過程，這樣可以保證切削狀態更加穩定，加工表面光潔度更高，因此選擇球頭銑刀對齒廓進行倒棱加工[17-18]，并對倒棱的軌跡進行規劃[19-20]。

對獲取的目標離散點進行空間坐標轉換，設坐標系S(O-X,Y,Z)下齒廓線上的某一點的坐標為(x,y,z)，由式（5）～（7）可以計算出工件坐標系S2(O2-X2,Y2,Z2)下 的 坐 標(x2,y2,z2)，并 以 轉 換 后 的一些列數據點作為刀具軌跡的刀位點。

球頭銑刀對齒廓的倒棱位姿如圖5所示，點O表示球頭銑刀的刀心點，R表示刀具半徑，r表示刀具刃口的半徑，且刀具半徑與刀具刃口半徑相等。L表示螺旋錐齒輪小輪大端處的某一齒廓線，L1表示刀具對齒廓加工時在齒廓上端面的交線，L2表示刀具與齒廓下端面的交線，點P1表示刀具與齒廓線L的交點，點P2表 示刀具與交線L2的交點，點P3表示刀具與交線L1的 交點，點P為齒廓線上的目標離散點。向量n表示球頭銑刀的刀軸矢量，起點在刀心點O上 ，且過齒廓線上的目標離散點，點P與點P2沿刀軸矢量間的距離表示刀具切削的深度。

圖5 刀具倒棱位姿

由圖1中建立的數學模型可知，螺旋錐齒輪齒廓線分布在半徑為R的球面上，且球面上任一點的法向量是唯一的，因此不會出現球頭刀具與工件的干涉問題。設齒廓線所在的球面方程為

則齒廓線方程在點(x,y,z)的單位方向矢量可以表示為

故單位方向矢量中各個分量nx、ny、n z表示為

工件坐標系下的刀軸矢量可由向量n來表示，且刀軸矢量與Z軸的夾角如圖6所示，銳角?即為刀軸矢量與坐標系Z軸之間的夾角，點p為齒廓線上的目標離散點，由圖6的關系可以計算出式（11），即圖4中刀具坐標系下Y3軸與工件坐標系下Y2軸之間所夾的銳角。

圖6 刀軸矢量的夾角

4 倒棱軌跡的仿真

為了驗證本文中螺旋錐齒輪齒廓倒棱軌跡規劃的有效性，現以驗證齒廓線方程的小輪大端參數為例進行球頭銑刀倒棱軌跡的仿真。

4.1 MATLAB軟件中倒棱軌跡的仿真

首先對獲取的目標離散點進行坐標轉換，由式（5）～（7）可以計算出工件坐標系下的數據點，獲得刀具軌跡。由式（8）～（10）計算球頭刀具的刀軸矢量，并經式（5）～（7）轉換為工件坐標系下的刀軸矢量，如圖7所示。

圖7中采用基于積累弦長法的NURBS曲線插補對刀具的倒棱軌跡進行仿真，根據目標離散點計算出控制頂點，選取權重因子后最后實線繪制出齒廓線軌跡，基于該插補算法可以最大限度地繪制出齒廓線過渡圓弧處的軌跡，圖中軌跡線上各離散點的箭頭即為球頭刀具的刀軸矢量，保證每一點處的方向唯一。

圖7 刀具倒棱仿真

4.2 VERICUT軟件中倒棱軌跡的仿真

在VERICUT軟件中進行螺旋錐齒輪模型小輪大端的倒棱仿真，模型參數與前面一致。首先添加SINUMERIK 840D作為數控控制系統，根據五軸數控機床各軸的實際關系定義X、Y、Z等軸，設置工件坐標系與刀具坐標系之間的位置，在“Stock”中導入工件模型文件，在加工刀具處添加球頭刀具，并設置刀具必要的參數，最后添加已經編寫好的數控程序，模型倒棱仿真如圖8所示。

圖8 模型倒棱仿真

圖8中球頭刀具的刀軸矢量可由公式（10）計算出各值的大小，方向設置表示為數控程序中的A軸，且由圖4中刀具坐標系與工件坐標系之間的關系可知A=-φ。

圖9為模型在不同深度下切削后的對比圖，刀具在模型上加工出一個內凹槽；切削深度為0.1 mm和0.2 mm時，球頭刀具加工過的齒廓線處明顯不平整，加工效果差；切削深度為0.3 mm和0.4 mm時，加工留下的曲面相對均勻，加工效果明顯更好，但當加工深度不斷增大時會導致齒廓處切削過大，給工件的嚙合產生不好的影響，降低使用壽命。

圖9 模型切削對比

5 結語

本文研究了基于球頭刀的螺旋錐齒輪齒廓倒棱軌跡規劃，基于空間坐標轉換以及球頭刀倒棱時與工件的位姿關系，計算出了齒廓倒棱軌跡，最后在MATLAB和VERICUT軟件上進行倒棱仿真，得出以下結論：

（1）根據球面漸開線模型計算出的完整齒廓線方程，經對比分析驗證了方程的準確性。

（2）獲得的齒廓線目標離散點，根據空間變換矩陣及設計的刀具倒棱位姿關系，成功計算出倒棱軌跡的刀位點和刀軸矢量。

（3）倒棱加工可以按照計算出的齒廓倒棱軌跡進行，且加工表面相對均勻。

（4）利用該方法可以對螺旋錐齒輪小輪大端和小端進行倒棱，補足了國內螺旋錐齒輪在中低端數控機床上的倒棱，可以替代人工倒棱從而提高加工效率。